2019-2020学年娄底市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省娄底市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】化简集合，根据交集的定义，结合数轴，即可求解【详解】因为，所以.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2下列说法中正确的是()A圆锥的轴截面是等边三角形B用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【解析】根据圆锥的结构特征即可判断A选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D正确【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系(3)通过反例对结构特征进行辨析3以为圆心，且经过点的圆的方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题可知圆心和半径，代入圆的标准方程即可.【详解】设所求圆的半径为，则，故所求圆的方程是.故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题.4函数的零点所在区间为 （ ）ABCD【答案】C【解析】令函数f（x）0得到，转化为两个简单函数g（x）2x，h（x），最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案【详解】令0，可得，再令g（x）2x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法考查数形结合思想是中档题5已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为()ABCD【答案】B【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为因为该圆柱的体积为，解得，所以该圆柱的侧面积为【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积，体积.6已知函数，若，则实数（ ）A1BCD【答案】C【解析】利用分段函数中的三个区间分别讨论对进行求解即可.【详解】当时, 显然无解.当时,有不满足.当时, 有满足.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型.7如图，在长方体中，为棱上的点，且，过三点的平面把长方体分成两个部分，记多面体的体积为，三棱锥的体积为，则（ ）A14B15C16D17【答案】D【解析】设长方体的体积和底面面积，从而计算出三棱锥体积，用长方体体积减去三棱锥体积求得剩余多面体的体积，求得比值.【详解】设长方体的体积为，底面的面积为，由题意可得，则，故.故选：D.【点睛】本题考查长方体中的截面问题，涉及棱锥体积、不规则几何体体积的求解.8函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答案】C【解析】可判断为奇函数，图像关于原点对称，排除选项，再判断当时，函数值的正负，即可求得结论.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以排除A，B；当时，；当时，排除D.故选:C.【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的对称性和函数值符号判断，属于基础题.9设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列判断正确的是()A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】选项A由线面垂直的性质定理可得；选项B，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D，找到反例即可.【详解】A选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得；B选项正确，若，则存在，在平面内存在，由，可得 ，由线面垂直的判定定理可得；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“在平面内或者平行于”这个条件，才能判定；D选项不正确，直线可能在平面上【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确10已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】在上恒成立，则抛物线在间的部分都在轴上方或在轴上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得，求解即可得出结论.【详解】因为在上恒成立，所以解得.故选:A.【点睛】本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次函数图像特征，考查数形结合思想，属于基础题.11在三棱锥中，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】通过证明，又，可得的中点为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为，再利用球的面积公式求得.【详解】解：因为，所以.因为，所以，所以，则的中点为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为，其表面积为.故选：【点睛】本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题.12已知函数的图象分别如图1，2所示，方程，的实根个数分别为a、b、c，则（ ）ABCD【答案】A【解析】结合函数图像可知方程根的个数，根据个数确定a,b,c的值，即可求解.【详解】由方程，可得.此方程有4个实根，所以方程有4个实根，则；由方程，可得或.所以方程有2个实根，则，由方程，可得或或或，这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0.则.故，故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，方程的根的个数即为函数图象交点的个数，数形结合，属于难题.二、填空题13的定义域是 【答案】（0,2）【解析】试题分析：，得故定义域为【考点】函数的定义域【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：负数没有偶次方根，分母不为零，0次幂底数不为0，函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集14已知直线与直线垂直，则_.【答案】2.【解析】两直线垂直，则其斜率相乘为-1，由此求得.【详解】因为，所以，所以.故答案为：2.【点睛】本题考查由直线垂直求参数的值，属基础题.15已知直线与圆的两个交点关于直线对称，则_.【答案】【解析】由题意可得直线与直线互相垂直且直线过圆心，由此可列出关于，的方程组，解出方程组即可得结果.【详解】由题意可得解得，故，故答案为：.【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的对称性，属于中档题16设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【解析】先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，于是等价转化为，得，即对任意的， 从而有，即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，且定义域为R.又因为函数在上为增函数所以在上为减函数，从而在R上为减函数.于是等价于，所以，即.因为，所以，所以，解得.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题17设集合.（1）全集，求；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出集合，再按集合运算法则计算；（2）说明，由集合的包含关系列出的不等关系可求解，注意讨论为空集的情形。【详解】（1）. .（2）.当时，. 当时，依题意得，解得,综上所述， 的取值范围是.【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，属于基础题。18已知的顶点坐标分别为，（1）求边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出线段BC的中点D，求出直线AD的斜率，写出点斜式方程，再化简成一般式；（2）由直线与直线平行可得直线l的斜率与直线AC的斜率相等，根据斜率计算公式求出斜率，然后得直线l的点斜式方程，再化为一般式【详解】（1）设的中点为，因为，所以因为直线的斜率，所以所求直线的方程为，即（2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率故的方程为，即【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程与直线与直线平行的判定，属于基础题19如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，且，平面，分别为棱的中点.（1）证明：平面.（2）若四棱锥的体积为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】（1）在平面PBC中，找到与直线EF平行的直线，由线线平行，推出线面平行；（2）由等体积法，求得点A到平面PBC的距离.【详解】（1）证明：取的中点，连接，作图如下：因为为棱的中点，所以.因为底面是菱形，所以，所以.因为为棱的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）连接.因为底面是边长为4的菱形，且，所以，菱形的面积为.因为平面，所以四棱锥的体积，所以，则，故的面积为.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.因为，所以，所以.故点到平面的距离为.【点睛】第一问考查由线线平行，证明线面平行；第二问考查由等体积法求解点面距离，属综合基础题.20已知圆.（1）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程；（2）已知圆的圆心在直线上，且与圆外切于点，求圆的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）由圆的弦长公式可得直线斜率，由点斜式可得直线方程，注意斜率不存在的情况；（2）设出圆的标准方程，根据圆M的圆心、切点、圆C的圆心共线，求得参数，写出圆的方程.【详解】（1）可化为：，圆心到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，即，所以，解得.所以直线的方程为或.（2）设圆的方程为，所以三点共线，则，即.所以圆的半径.所以圆的方程为.【点睛】本题考查由圆中弦长，求解直线方程，需要注意斜率不存在的情况；同时考查了圆方程的求解，属基础综合题.21某工艺公司要对某种工艺品深加工，已知每个工艺品进价为20元，每个的加工费为n元，销售单价为x元.根据市场调查，须有，同时日销售量m（单位：个）与成正比.当每个工艺品的销售单价为29元时，日销售量为1000个.（1）写出日销售利润y（单位：元）与x的函数关系式；（2）当每个工艺品的加工费用为5元时，要使该公司的日销售利润为100万元，试确定销售单价x的值.（提示：函数与的图象在上有且只有一个公共点）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由日销售量m（单位：个）与成正比，设，根据条件求出，再由，即可求出函数关系式；（2）当时，结合（1）的函数关系可得，观察可得是方程的解，再由条件可知方程在上有且只有一个解，即可求得结论.【详解】（1）设.当时，则，所以，所以.（2）当时，整理得.因为函数与的图象在上有且只有一个公共点，且当时，等式成立，所以是方程唯一的根，所以销售单价为26元.【点睛】本题考查函数的应用问题，利用待定系数法求解析式，考查方程的解，要注意解方程的特殊方法应用，属于中档题.22已知二次函数.（1）若是的两个不同的根，是否存在实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（2）设，函数已知方程恰有3个不同的根.（）求的取值范围；（）设分别是这3个根中的最小值与最大值，求的最大值.【答案】（1）不存在，理由见详解；（2）（）；（）.【解析】（1）由韦达定理，可得的取值；由，进行取舍；（2）（）