7.矩阵的初等变换_64580406.ppt

1 第七讲矩阵的初等变换 一 矩阵的初等变换及其与初等矩阵的关系 定义1在第四讲我们定义了矩阵的三种初等行变换 类似地我们可以定义矩阵的三种初等列变换 1 倍法变换用一个非零数乘以某一列 ci 0 ci 2 消法变换将一列的 倍加到另一列 ci cj cj 3 换法变换交换两列的位置 ci cj 它们统称为矩阵的初等变换 问题 如果对于单位矩阵进行一次初等变换 它会变成什么样 如果矩阵A经过一次初等变换变为B 那么A与B之间究竟有何种关系 2 定义2单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵 为什么要引入 初等矩阵 呢 问题 就是为了回答我们刚才的第二个问题 1 给单位矩阵I的第i行乘以非零数c 或给I的第i列乘以非零数c 第i行 第i列 3 2 将单位矩阵I的第i行的k倍加到第j行 第j行 第i行 第i列 第j列 或看作是将I的第j列的k倍加到第i列 4 3 交换单位矩阵E的第i行与第j行 或交换E的第i列与第j列 第i行 第j行 第i列 第j列 5 如果矩阵A经过一次初等变换变为B 那么A与B之间究竟有何种关系 定理1用初等矩阵右乘一个矩阵 相当于对它进行一次相应的初等列变换 用初等矩阵左乘一个矩阵 相当于对它进行一次相应的初等行变换 证明 第i列 第i行 6 第i列 第i行 7 第j行 第i行 第i列 第j列 第j行 第i行 第i列 第j列 8 第i行 第j行 第i列 第j列 9 第i行 第j行 第i列 第j列 10 推论在书上第54 55页定理2 7 若A和B是两个同阶方 阵 则 AB A B 的证明中将 通过n2次消法 行初等变换把左上角的A化为零矩阵即给 左乘 n2个初等矩阵 这n2个初等矩阵的乘积为 11 初等矩阵可逆且逆还是初等矩阵 定理2 第i行 第i列 第j行 第j列 12 第i行 第j行 第i列 第j列 二 求逆矩阵的初等变换法 定义3若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得到 则称A与B相抵 等价 记为 13 定理3任意矩阵A都可以经过一系列初等变换化为如下形式 A的相抵标准形 证明由高斯消元法矩阵A通过初等行变换 并适当调换变元的下标 即通过列换法变换 一定可以化为如下的阶梯形 其中 再通过初等列消法变换一定可以化为 14 由定理3 任意矩阵A都可以经过一系列初等变换化为A的 相抵标准形 设把矩阵A化为标准形时用了s次初 等行变换 t次初等列变换 由定理1存在s个m阶初等矩阵 和t个n阶初等矩阵 使得 由于初等矩阵都可逆 如果令P Ps P1 Q Q1 Qt 则有 P和Q都可逆 而 1 可以表示为 15 特别地 当矩阵A可逆时 由 A 0和行列式的性质可知 U 0 在此没用书上第54页定理2 7 所以r n 故U为单位阵 且在高斯消元法的过程中不需调整变元的下标 所以A仅经过初等行变换可化为I 故存在s个同阶初等矩阵 使得 说明A仅经过初等列变换 可化为I 所以完全相同的变换可以把I化为A 1 记 则P A I PA P 由此可得到求逆矩阵的初等变换法 方法1 构造一个分块矩阵 仅用行初等变换 构造一个分块矩阵 方法2 仅用列初等变换 16 例1 用初等行变换求矩阵A的逆矩阵 解 先将A化为阶梯形矩阵 再化为单位阵 17 例2 设 解 试判断A是否可逆 A经初等行变换化为阶梯形矩阵时出现全零行 则A的行列式为零 故A不可逆 所以求逆和判断是否可逆可以同时进行 用初等变换求得A 1后应验算AA 1 I 18 三 分块矩阵的初等变换 对分块矩阵同样可以引进初等变换和初等矩阵的概念 分块矩阵关于子块的一次初等变换 可以看作是关于元素的一批初等变换的合成 我们只以分成4块的情况简单解释 设 定义4下面三种针对分块矩阵M的变形 统称为分块矩阵的初等变换 1 用可逆矩阵P左 右 乘M的某一行 列 2 用矩阵Q乘M的某行 列 加到另外一行 列 3 交换M的两行 列 这里要假定运算满足可行性原则 为什么要求P可逆 19 定义5将单位矩阵分块成准对角形矩阵I diag Is It 对其进行一次初等变换 可以得到分块矩阵的初等矩阵 对分块矩阵进行一次初等行 列 变换 相当于给它左 右 乘以一个相应的分块初等矩阵 20 例3 设A可逆 D为方阵 则 进一步若M可逆 则 可逆 并求M的逆 证明 由书上第13页行列式的性质6可知 在此没用书上第54页定理2 7 由书上第23页例1 17可知 进一步若M可逆 则 可逆 且 21 例4 设A为m n矩阵 B为n m矩阵 则 证明 由书上第13页行列式的性质6可知 在此没用书上第54页定理2 7 由书上第13页行列式的性质6可知 在此没用书上第54页定理2 7 22 例5若A和B是两个同阶方阵 则 AB A B 证明 由书上第13页行列式的性质6可知 在此没用书上