材料力学-弯曲应力分析与强度计算幻灯片.ppt

第八章弯曲应力分析与强度计算 1 8 1引言 8 2梁的内力 剪力与弯矩 8 3纯弯梁横截面上的正应力分析 8 4纯弯应力公式的应用 8 5矩形截面梁的弯曲剪应力简介 8 6弯曲强度计算 8 7弯曲应力与强度计算例体 8 8提高梁的强度的主要措施 第八章弯曲应力分析与强度计算 弯曲 2 弯曲 8 1引言 一 弯曲的概念 1 弯曲 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时 轴线变成了曲线 这种变形称为弯曲 2 梁 以弯曲变形为主的构件通常称为梁 3 3 工程实例 弯曲 4 弯曲 5 弯曲 6 弯曲 7 4 平面弯曲 杆发生弯曲变形后 轴线仍然和外力在同一平面内 对称弯曲 如下图 平面弯曲的特例 弯曲 8 非对称弯曲 若梁不具有纵对称面 或者 梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内 这种弯曲则统称为非对称弯曲 下面几章中 将以对称弯曲为主 讨论梁的应力和变形计算 弯曲 9 二 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂 为了便于分析计算 应进行必要的简化 抽象出计算简图 1 构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁 2 载荷简化作用于梁上的载荷 包括支座反力 可简化为三种类型 集中力 集中力偶和分布载荷 3 支座简化 弯曲 10 固定铰支座2个约束 1个自由度 如 桥梁下的固定支座 止推滚珠轴承等 可动铰支座1个约束 2个自由度 如 桥梁下的辊轴支座 滚珠轴承等 弯曲 11 固定端3个约束 0个自由度 如 游泳池的跳水板支座 木桩下端的支座等 4 梁的三种基本形式 简支梁 悬臂梁 弯曲 12 外伸梁 5 静定梁与静不定梁 静定梁 由静力学方程可求出支反力 如上述三种基本形式的静定梁 静不定梁 由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力 弯曲 13 8 2梁的内力 剪力和弯矩 一 弯曲内力 举例已知 如图 P a l 求 距A端x处截面上内力 l A A B B 解 求外力 弯曲 14 求内力 截面法 A Q M M Q 弯曲构件内力 1 弯矩 M构件受弯时 横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩 C C 弯曲 15 2 剪力 Q构件受弯时 横截面上其作用线平行于截面的内力 3 内力的正负规定 剪力Q 绕研究对象顺时针转为正剪力 反之为负 弯矩M 使梁变成凹形的为正弯矩 使梁变成凸形的为负弯矩 Q Q Q Q M M M M 弯曲 16 例1 求图 a 所示梁1 1 2 2截面处的内力 解 截面法求内力 1 1截面处截取的分离体如图 b 示 图 a Q1 A M1 图 b 弯曲 17 2 2截面处截取的分离体如图 c 图 a q Q2 B M2 图 c 弯曲 18 内力与截面位置坐标 x 间的函数关系式 二 剪力方程和弯矩方程 三 剪力图和弯矩图 弯曲 19 例2 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图 解 求支反力 写出内力方程 P YO L 根据方程画内力图 Q x M x x x P PL YO 弯曲 20 解 写出内力方程 根据方程画内力图 L q Q x x qL 弯曲 21 四 剪力 弯矩与分布荷载间的关系 对dx段进行平衡分析 有 q x q x M x dM x Q x dQ x Q x M x dx A y 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小 弯曲 22 q x M x dM x Q x dQ x Q x M x dx A y 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小 弯矩与荷载集度的关系是 弯曲 23 简易作图法 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法 例3 用简易作图法画图示梁的内力图 解 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图 特殊点 端点 分区点 外力变化点 和驻点等 弯曲 24 左端点 分区点A M的驻点 右端点 Q x x M 弯曲 25 例4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图 解 求支反力 左端点A B点左 B点右 C点左 M的驻点 C点右 右端点D q qa2 qa RA RD Q x qa 2 qa 2 qa 2 A B C D qa2 2 x M qa2 2 qa2 2 3qa2 8 弯曲 26 8 3纯弯梁横截面上的正应力分析 1 梁的纯弯曲实验 横向线 ab cd 变形后仍为直线 但有转动 纵向线变为曲线 且上缩下伸 横向线与纵向线变形后仍正交 一 变形几何规律 纯弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲 27 横截面上只有正应力 平面假设 横截面变形后仍为平面 只是绕中性轴发生转动 距中性轴等高处 变形相等 可由对称性及无限分割法证明 3 推论 2 两个概念 中性层 梁内一层纤维既不伸长也不缩短 因而纤维不受拉应力和压应力 此层纤维称中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 弯曲 28 4 几何条件 弯曲 29 二 物理关系 假设 纵向纤维互不挤压 于是 任意一点均处于单项应力状态 三 静力学关系 弯曲 30 对称面 3 弯曲 31 四 最大正应力 5 弯曲 32 例5 矩形截面悬臂梁如图所示 FP lkN 试计算1 1截面上A B C各点的正应力 并指明是拉应力还是压应力 解 1 求1 1截面的弯矩由截面法得N m计算截面惯性矩mm4 弯曲 33 计算应力A点MPaB点MPaC点MPa求得的A点的应力为正值 表明该点为拉应力 B点的应力为负值 表明该点为压应力 C点无应力 当然 求得的正应力是拉应力还是压应力 也可根据梁的变形情况来判别 弯曲 34 例6 受均布载荷作用的简支梁如图所示 试求 1 1 1截面上1 2两点的正应力 2 此截面上的最大正应力 3 全梁的最大正应力 4 已知E 200GPa 求1 1截面的曲率半径 解 画M图求截面弯矩 弯曲 35 求应力 弯曲 36 求曲率半径 弯曲 37 8 5矩形截面梁的弯曲剪应力简介 矩形截面梁横截面上的剪应力 1 两点假设 剪应力与剪力平行 矩中性轴等距离处 剪应力相等 2 研究方法 分离体平衡 在梁上取微段如图b 在微段上取一块如图c 平衡 Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 图a 图b 图c 弯曲 38 Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 图a 图b 图c 由剪应力互等 弯曲 39 t方向 与横截面上剪力方向相同 t大小 沿截面宽度均匀分布 沿高度h分布为抛物线 最大剪应力为平均剪应力的1 5倍 弯曲 40 8 6弯曲强度计算 1 危险面与危险点分析 一般截面 最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上 最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处 一 梁的正应力和剪应力强度条件 弯曲 41 2 正应力和剪应力强度条件 带翼缘的薄壁截面 最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同 还有一个可能危险的点 在Q和M均很大的截面的腹 翼相交处 3 强度条件应用 依此强度准则可进行三种强度计算 弯曲 42 4 需要校核剪应力的几种特殊情况 铆接或焊接的组合截面 其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时 要校核剪应力 梁的跨度较短 M较小 而Q较大时 要校核剪应力 各向异性材料 如木材 的抗剪能力较差 要校核剪应力 校核强度 弯曲 43 例7 矩形截面外伸梁受力如图a 所示 已知l 4m b 160mm h 220mm FP 4kN q 8kN m 材料的许用应力 10MPa 试校核梁的强度 解 1 作弯矩图作出的弯矩图如图b 所示 由图中可知Mmax 4 1kN m 8 7弯曲应力与强度计算例题 弯曲 44 2 校核强度 故梁的强度足够 弯曲 45 例8 T形铸铁梁 受力和截面尺寸如图a 所示 已知截面对中性轴z的惯性矩 材料的许用拉应力 40MPa 许用压应力 160MPa 试校核梁的强度 弯曲 46 解作梁的弯矩图如图b 所示 由图中可知MA 15kN m MB 30kN m 在A截面上 弯矩MA为正的最大值 梁下凸变形 最大拉应力发生在该截面下缘处 最大压应力发生在该截面上缘处 其值分别为 弯曲 47 在B截面上 弯矩MB为负的最大值 梁上凸变形 最大拉应力发生在该截面上缘处 最大压应力发生在该截面下缘处 其值分别为由此可见 全梁的最大拉应力为 发生在A截面下缘处 全梁的最大压应力为 发生在B截面下缘处 故均满足强度要求 弯曲 48 解 画内力图求危面内力 例9 矩形 b h 0 12m 0 18m 截面木梁如图 7MPa 0 9MPa 试求最大正应力和最大剪应力之比 并校核梁的强度 A B L 3m 弯曲 49 求最大应力并校核强度 应力之比 弯曲 50 解 画弯矩图并求危面内力 例10 T字形截面的铸铁梁受力如图 铸铁的 L 30MPa y 60MPa 其截面形心位于C点 y1 52mm y2 88mm Iz 763cm4 试校核此梁的强度 并说明T字梁怎样放置更合理 画危面应力分布图 找危险点 弯曲 51 校核强度 T字头在上面合理 A3 弯曲 52 一 矩形木梁的合理高宽比 北宋李诫于1100年著 营造法式 一书中指出 矩形木梁的合理高宽比h b 1 5 英 T Young 于1807年著 自然哲学与机械技术讲义 一书中指出 矩形木梁的合理高宽比为 8 8提高梁的强度的主要措施 弯曲 53 强度 正应力 剪应力 1 在面积相等的情况下 选择抗弯模量大的截面 二 其它材料与其它