2019-2020学年武汉市（第二十三中学、第十二中学、汉铁高中）高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省武汉市（第二十三中学、第十二中学、汉铁高中）高一上学期期末联考数学试题一、单选题1已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由三角函数的定义求解即可.【详解】解：由三角函数的定义有：.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.2若幂函数的图像过点，则（ ）ABCD【答案】B【解析】将已知条件代入函数解析式求解即可.【详解】解：将点代入函数解析式中可得，解得.即，故选：B.【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，属基础题.3下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）ABCD【答案】A【解析】结合函数的单调性逐一判断即可得解.【详解】解：函数对称轴为y轴，开口朝上，所以上为增函数.函数在为减函数，函数与函数在不具有单调性，故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.4（a为常数）与图像相交时，相邻两交点间的距离为（ ）ABCD【答案】C【解析】由（a为常数）与图像相交时，相邻两交点间的距离为函数的一个周期，再结合函数周期的求法即可得解.【详解】解：的周期为，所以（a为常数）与图像相交时，相邻两交点间的距离为.故选：C.【点睛】本题考查了正切函数的周期，重点考查了函数的性质，属基础题.5若，则有（ ）ABCD【答案】A【解析】由即可得解.【详解】解：，故选：A.【点睛】本题考查了对数值，指数幂及三角函数值的运算，属基础题.6扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（ ）A1或5B1或2C2或4D1或4【答案】D【解析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解.【详解】设扇形的半径为cm，圆心角为，则解得或故选D.【点睛】扇形的弧长和面积计算公式：弧长公式：；面积公式：，其中是扇形圆心角弧度数，是扇形的半径.7已知，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由即可求值.【详解】因为，所以由诱导公式知，故选：C.【点睛】本题主要考查诱导公式的灵活应用，属基础题.8已知函数，若，则的值为（ ）A3B4C5D与a有关【答案】C【解析】由函数为奇函数，再求解即可.【详解】解：根据题意，函数，则函数为奇函数，则，又由，则，故选：C.【点睛】本题考查了函数的性质的应用，属基础题.9函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象 （ ）A每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】C【解析】根据函数的图象，设可得 再根据五点法作图可得 故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到 函数的图象，故选C10函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最大值为（ ）ABCD1【答案】D【解析】先由函数的奇偶性求出，再利用三角函数值域的求法求出最大值即可.【详解】解：函数图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，函数为奇函数，又，得，由于，当，故选：D.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.11中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数在，处的函数值分别为，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，若令，请依据上述算法，估算是（ ）ABCD【答案】D【解析】先阅读题意，再结合过两点的直线的斜率公式求解即可.【详解】解：函数在，处的函数值分别为，故，.故，即，故选：D.【点睛】本题考查了斜率公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题.12已知定义在区间上的函数满足，当时，如果关于x的方程有解，记所有解的和为S，则S不可能为（ ）ABCD【答案】A【解析】讨论直线与函数的图象的位置关系，结合函数的对称性求解即可.【详解】解：依题意作出在区间上的简图，当直线与函数的图象有交点时，则可得，当，有2个解，此时；当时，有3个解，此时；当时，有4个交点，此时；时，有2个交点，此时.故S不可能为，故选：A.【点睛】本题考查了方程的根与函数图像交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题13已知函数，则的值为_.【答案】【解析】结合分段函数解析式求解即可.【详解】解：由分段函数解析式可得：，故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，属基础题.14求值：_.【答案】【解析】由三角函数的诱导公式结合两角和的正弦公式求解即可.【详解】解：由两角和的正弦公式可得：，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.15下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式，则函数关系式为_.【答案】【解析】先阅读题意，再求出即可得解.【详解】解：水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，.又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，.顺时针旋转时，.，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了对数据的处理能力，属中档题.16定义在R上的奇函数满足，且当时，则下列四个命题：；的最小正周期为2：时，方程有2020个根：有4个根，正确命题序号为_.【答案】【解析】先由函数的奇偶性、对称性推出周期性，再结合函数的周期性及方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系逐一判断即可得解.【详解】解：，则，可得.，则每个选项判断如下：对于，正确.对于最小正周期为4，错误.当时，则，.时，有1个根；时，有1个根，由于，说明每个周期内都有2个根，故，一共有个周期，则有2020个根，正确.图像如下：由图可得有5个交点，错误.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，主要考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题17已知，求下列式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）将分子分母同时除以即可得解； （2）将分子分母同时除以即可得解.【详解】解：（1）原式.，原式.（2）原式.【点睛】本题考查了齐次式的求法，重点考查了诱导公式及同角三角函数的关系，属基础题.18已知集合，.（1）求；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解指数不等式及对数不等式可得集合,再求解即可； （2）利用指数函数的单调性求函数值域即可.【详解】解：（1）由，知，由，知，.（2）由（1）知任取，则，在上单调递减，即，函数在时的值域是.【点睛】本题考查了指数不等式及对数不等式的解法，重点考查了指数型函数值域的求法，属中档题.19已知函数.（1）求的最小正周期，并求出的单调递减区间；（2）求函数的零点.【答案】（1），；（2）或.【解析】（1）先利用降幂公式化简可得，再求函数最小正周期及单调递减区间即可；（2）解三角方程即可得解.【详解】解：（1）由题意知：，令，的单调减区间为.（2）令，则，或，即函数零点为或.【点睛】本题考查了三角恒等变换及辅助角公式，重点考查了三角方程的解法，属中档题.20王久良导演的纪录片垃圾围城真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：年份x2016201720182019包装垃圾y（万吨）46913.5（1）有下列函数模型：；.试从以上函数模型中，选择模型_（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：）【答案】（1），；（2）2022年【解析】（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型，再结合题设数据求解即可；（2）由题意有，再两边同时取对数求解即可.【详解】解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型符合，设，将，和，代入得；解得.故函数模型解析式为：.经检验，和也符合.综上：；（2）令，解得，两边同时取对数得：，.综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题.21已知函数.（1）已知，求的值；（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值.【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由三角恒等变换可得，再结合求值即可；（2）由函数在区间上是增函数，可得，再求解即可.【详解】解：（1）.，.（2）由（1），所以在R上的单增区间有：，.因为函数在区间上是增函数， 所以，所以.即的最大值为1.【点睛】本题考查了三角恒等变换及给值求值问题，重点考查了函数单调性的应用，属中档题.22已知函数，（，且）.（1）若，求的值；（2）若为定义在R上的奇函数，且，是否存在实数，使得对任意的恒成立若存在，请写出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）47