等差数列的概念及其通项公式.doc

等差数列的概念及其通项公式一、基础知识1. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)将条件概括地说，就是an=an-1=d(n2) 2.通项公式： 3.等差中项：如果在 a与b之间插入一个数 A, 使a、A、b成等差数列，那么A叫做 a与b的等差中项。，即 2A=a+b任何两个数都存在等差中项且唯一。 4. 等差数列的性质（1） 若an是等差数列，则an=an+b ,特别地，若a=0, 则an是常数列。 （2）若an是等差数列，则 aman(mn)d，m，nN*，即（3）若是等差数列，且，则二、典型例题分析【例1】（1）求等差数列8，5，2,的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得 a20=8+(20-1)(-3)=-49. （2）a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 令-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 【例2】已知等差数列an中，（1）a7a916，a41，求a12的值;（2）已知a2a3a23a2448，求a13.解：（1）方法一由a7a916，得即，又 a41， 解方程组 ，得所以 方法二 由于a8是a7和a9的等差中项，则， a12+a4a8a82 a8=15. a122a8a415.（2）由mnpqamanapaq，得a2a24a3a232a13. a2a3a23a2448， 4a1348，a1312.【例3】在-1与7之间插入三个数a,b,c，使这五个数成等差数列，求此数列。解：方法一由已知，a1=-1，a5=7 7=-1+（5-1）d，即d=2。所求数列为-1，1，3，5，7.方法二 -1，a，b，c，7.成等差数列。 b是-1，7的等差中项，则 b=。又a是-1，3的等差中项，c是3，7的等差中项， a=1,c=5.所求数列为-1，1，3，5，7.例4在数列an中，a1=4，递推公式an=an-1+2,数列an是不是等差数列？如果是，求其通项公式。解： an=an-1+2,（n2）, an an-1= 2故an是公差为2的等差数列。 a1=4，d=2， an=5+4（n-1）,即an=4n+1。例5(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数解(1)法一设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad.依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故三个数为2,2,6或6,2，2.法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2.(2)解法一设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4解法二若设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意，2a3d2，且a(a3d)8，化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，故所求的四个数为2,0,2,4.三、训练题（一）选择题1.已知等差数列an中，a31，a79，则a5(A)A4B4 C8 D82. 已知等差数列首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有（D）A13项 B .14项 C15项 D16项3.在等差数列an中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（B ）A9B8 C7 D44.已知等差数列的通项公式为an=-3n+a，a为常数，则公差d=（ A ）A3B3 C D5. 在等差数列an中，若a1+a2=-18，a5+a6=-2，则30是这个数列的（ A）A第22项 B第21项 C第20项 D第19项6.等差数列an的前三项依次是，则a101=（ D ）A B C24 D提示： 7. 差数列an中，2an+1=2an+1(nN+),则a101的值为（ D）A49 B50 C51 D52,8. 设an为公差为-2的等差数列，如果a1+a4+a7+a97=50,则a3+a6+a9+a99=（D ）A-182 B-78 C-148 D-82,解：a3+a6+a9+a99= （a1+2d）+(a4+2d）+(a7+2d）+(a97+2d）=a1+a4+a7+a97+2d33=50+（-4）33=-82（二）填空题1. 在等差数列中，已知，则a3=_4_.2. 等差数列中，若，则的值。_。解 方法一：将条件转化为 ，求得 ，而方法二 （2）- （1） 得而方法三 ， ， 又 3. ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B_60_4. 已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=_1_.5. 已知数列an满足a2n1a2n4，且a11，an0，则an_4n3_.解析：根据已知条件a2n1a2n4，即a2n1a2n4，数列an是公差为4的等差数列，ana1(n1)44n3.an0，an4n3.答案：4n36. 若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(),7. 在等差数列中，_0_8. 两个数列，和各成等差数列，则是_（三）（三）解答题1. 在等差数列an中，（1）已知求；（2）求和d.；（3）已知求.解：（1）（2）（3）解得当时；当时；2. 在等差数列an中，（1）若，求（2）若，求的通项公式。解：（1） （2）由得于是解得或当时，此时，当时，此时，3.在数列an中，已知，且求数列an的通项公式。4. 在数列an中，求an的通