80第五章频域法4Nyq.ppt

第六节 奈奎斯特稳定判据及其应用 5 6奈奎斯特稳定判据及其应用 本节讨论频率分析法的中心问题 用频率分析法分析控制系统的稳定性 Nyquist稳定判据 通过本节的学习 应掌握以下问题 What 奈奎斯特判据的内容Why 奈奎斯特判据的原理How 如何利用奈奎斯特判据来判定闭环系统的稳定性 分析系统稳定性的方法 1 时域分析法 Routh稳定判据 代数法 2 复数域 S域 分析法 根轨迹法 图解法 3 频率域 域 分析法 Nyquist稳定判据 图解法 5 6 1奈氏稳定判据的基本原理 1 闭环系统稳定的充分必要条件 闭环系统特征方程的根 或闭环传递函数的极点 具有负的实部 2 结论 F s 的零点是闭环传递函数的极点 F s 的极点是开环传递函数的极点 用Z表示F s 在s右半平面的零点个数 用P表示表示F s 在s右半平面的极点个数 则闭环系统稳定的充分必要条件改为F s 的零点数Z在s右半平面为零 即Z 0时闭环系统稳定 控制系统稳定性的分析 例 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试分析闭环系统的稳定性 解 闭环系统特征方程为 则闭环系统稳定的充分必要条件是闭环特征方程的根即F s 的零点都在s左半平面 F s 在s右半平面没有零点 本节要解决的问题 如何通过开环传递函数WK s 判断F s 在s右半平面没有零点 与实轴交点 1 Re WK j 0 5K K 2s j1 1 j0 K 1 K 2 与实轴交点 1 Re WK j 0 5K 与虚轴交点 K 2 S j10 K 2 闭环系统稳定 K 3 5 6 2 映射定理 设F s 为S的有理函数 则对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线 在F s 平面上必存在一条封闭曲线与之对应 引入映射定理的目的 寻找s平面和F s 平面的关系 其闭环特征方程为 设s平面上有一点 则由函数关系在F s 平面上有一个映射点与之相对应 例如考虑下列开环传递函数 0 0 当s平面上的闭合曲线包围两个F s 的极点时 在F s 平面上 F s 的轨迹逆时针绕原点旋转两周 当s平面上的闭合曲线包围F s 的两个极点和两个零点时 则其相应的在F s 平面上的映射轨迹将不包围F s 平面的原点 0 0 如果s平面上的封闭曲线只包围F s 的一个零点 则在F s 平面上的映射轨迹将顺时针包围s平面原点一次 如果s平面上的封闭曲线既不包围F s 的零点又不包围F s 的极点 那么其在F s 平面上的映射轨迹将永远不会包围F s 平面的原点 数学基础 映射定理 数学基础 从s平面 F s 平面的映射 若s平面Q曲线包围F s 的一个零点 极点 则在F s 平面上的映射曲线顺时针 逆时针 包围原点一圈 即角度变化 3600 3600 映射定理 设除了有限个奇点外 F s 是一个解析函数 如果s平面上闭合曲线Cs以顺时针方向包围了F s 的Z个零点和P个极点 且此曲线不经过F s 的任何极点和零点 则其在F s 平面上的映射曲线CF将围绕坐标原点逆时针旋转N周 其中 若N 0 表示曲线CF以逆时针方向围绕 若N 0 表示曲线CF以顺时针方向围绕 5 6 3 奈氏路径及其映射 系统的开环传递函数 系统的闭环传递函数 闭环系统的特征方程为 注意 F s 的极点是系统开环传递函数的极点 F s 的零点是闭环系统的特征根 闭环的极点 决定系统的稳定性 1 辅助函数 5 6 3 奈氏路径及其映射 闭环系统稳定的充分必要条件 F s 在s右半平面没有零点 即Z 0 映射 S平面 F s 平面 WK j 奈氏路径CS F s 和WK s 的关系 F s 绕原点 0 j0 的旋转是WK s 绕 1 j0 点的旋转 5 6 4 奈奎斯特稳定判据 如果开环系统是稳定的 则其闭环系统稳定的充分必要条件是 当 由 变到 时 开环频率特性曲线WK j 不包围 1 j0 点 如果开环系统是不稳定的 且已知有P个开环极点在S的右半平面 则其闭环系统稳定的充分必要条件是 当 由 变到 时 开环频率特性曲线WK j 按逆时针方向围绕 1 j0 点旋转P圈 否则闭环系统是不稳定的 稳定的充要条件 Z N P 0 奈奎斯特稳定判据说明 1 例1二阶系统 系统开环传递函数为 试判断系统的稳定性 解 已知开环系统是稳定的 绘制开环系统的频率特性如图所示 从图中可知 无论K值如何变化 0 开环频率特性曲线都不包围 1 j0 点 所以闭环系统是稳定的 奈奎斯特稳定判据说明 2 例2已知一单位反馈系统 开环传递函数为 试判断系统的稳定性 解 已知开环系统是不稳定的 即P 1 绘制开环系统的频率特性如图所示 从图中可知 开环频率特性曲线逆时针围绕 1 j0 点一圈 即N 1 由奈氏判据 N P 所以闭环系统是稳定的 奈奎斯特稳定判据 穿越频率 x 其中 各参数均为正值 试求使系统稳定的各参数之间的关系 例3 一单位负反馈系统的开环传递函数为 解 绘制奈氏曲线 并求出与负实轴的交点 得系统稳定的关系为 5 6 5开环有串联积分环节的系统 有积分环节的系统 5 6 7 应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性举例 例 结论 开环系统是稳定的 即P 0 而奈氏曲线不包围 1 j0 点 N 0 所以 Z 0 闭环系统是稳定的 W平面 5 6 例5 6 设系统具有下列开环传递函数 试判断系统的稳定性 闭环系统是稳定的 闭环系统是不稳定的 点两次 所以函数 在右半s平面内存在两个零点 因此 系统是不稳定的 例5 10 例5 7设开环传递函数为 该系统的闭环稳定性取决于 和 相对大小 试画出该系统的奈奎斯特图 并确定系统的稳定性 WK s 曲线通过 1 j0 点 这表明闭环系统有极点位于虚轴上 相应的闭环系统不稳定