线性规划与函数最值.doc

浅谈运用线性规划思想求最值阜阳市城郊中学 李雷【摘要】：运用线性规划思想去解高中数学中一些求最值，是对数形结合思想的提升,应用线性或非线性函数的几何意义,经过作图处置最值效果。是从一个新的角度对求最值的了解,对学生最优化思想的构成是十分有益的。 【关键词】：线性规划 目的函数 最值线性规划是高中数学教学的新内容之一,是处置一些在线性约束条件下的线性目的函数的最值(最大值或最小值)的效果。它是运筹学的一个重要内容,关于构成最优化思想有着重要的作用,并且在实践消费活动中也有着普遍的运用,可以完成对资源的最佳应用。线性规划的基本思想即在一定的约束条件下,经过数形结合求函数的最值。处置效果时主要是借助平面图形,运用这一思想可以比拟有效地处置一些二元函数的最值效果。本文将从规划思想来分析一些高中数学中一些特殊的函数最值。1.线性约束条件下线性函数的最值线性约束条件下线性函数的最值,它的线性约束条件是一个二元一次不等式组,目的函数是一个二元一次函数,可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域,区域内的各点的点坐标(x,y)即线性规划可行解,在可行解中的使得目的函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即线性规划的最优解。1.1线性约束条件下与斜率有关的最值问题y=txx-y-2=0yA2B1 2 4Ox-2x+2y-4=0图1例：设实数满足，则的最大值是_解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图1），C表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值由图1可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即A点故答案为注：解决本题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设，则，即为求的斜率的最大值由图1可知，过点A时，t最大代入，求出，即得到的最大值是 1.2线性约束条件下与截距有关的最值问题例：已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围 x-2=0y12x解析：由线性约束条件画出可行域如图2，考虑，y=x把它变形为，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线是直线在y轴上的截距当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数取得最大值为2；y-1=0直线经过点（0，1）时，目标函数取得最小值为1O注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），x+2y-2=0（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的图2取值范围为1，2更为简单这需要有最值在边界点取得的特殊值意识当线性约束条件中的二元一次不等式组中出现一个二元一次方程(或一元一次方程)时,则可行域就转变成一条线段(或一条直线,或一条射线)。这类问题的处置,关键在于可以正确了解线性约束条件所表示的几何意义,并画出其图形,应用线性规划求最优解方法求出最优解及目的函数的最大值或最小值。2、线性约束条件下非线性函数的最值这类题目也是高中数学中少见的,它也可以用线性规划的思想来处理。它的约束条件是一个二元一次不等式组,目的函数是一个二元函数,可行域是直线所围成的图形(或一条线段),区域内的各点的点坐标(x,y)即可行解,在可行解中的使得目的函数取得最大值和最小值的点的坐标(x,y)即最优解。2.1线性约束条件下与距离有关的最值问题CBAy例：已知，求的最小值x解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标图3OA（1，3）、B（3，1）、C（7，9）而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足在线段上，故z的最小值是注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等这类问题的处置,关键在于可以正确了解非线性目的函数所表示的几何意义,并应用图形及非线性目的函数所表示的几何意义求出最优解及目的函数的最大值或最小值。Oxy2图 43. 非线性约束条件下线性函数的最值例：已知满足，求的最大值和最小值解析：约束条件：，是关于的一个二元二次方程；目标函数：，是关于的一个二元一次函数；可行域：是圆上的圆周（如图4）可行解：所有满足（即圆周上的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得一组平行线（为参数）中的取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标就是线性规划的最优解。4.非线性约束条件下非线性函数的最值在高中数学中还有一些常见的问题也可以用线性规划的思想来解决，它的约束条件是一个二元不等式组，目标函数也是一个二元函数，可行域是由曲线或直线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即最优解。例：已知满足，求的最大值和最小值解析：约束条件：是一个关于的一个二元方程；目标函数：是一个关于的一个二元函数，可以看作是一点与点的斜率；可行域：以原点为圆心，1为半径的在轴上方的半圆及与轴的交点（如图5）；可行解：所有满足（即半圆（包括交点）上的点的坐标）实数都是可行解；最优解：，即可行域内一点，使得它与点的斜率取得最大值和最小值，此时所对应的点的坐标就是最优解。这类问题的解决，关键在于能够正确理解非线性约束条件与非线性目标函数所表示的几何意义，利用非线性约束条件作出图形并利用非线性目标函数所表示的几何意义求出最优解及目标函数的最大值或最小值。5.可转化为线性规划的方程问题例：已知，若方程与方程都有实数根，求的最小值bA解：由题意，得即画出其可行域为如图6所示阴影部分aO令，故要求的最小值，即求过可行域内的点，图6使得在轴上截距最小的点的坐标由图知