§8.3 Z变换的收敛域.ppt

8 3z变换的收敛域 一 收敛域的定义二 收敛域的两种判定法三 序列z变换的收敛域问题四 总结 返回 一 收敛域的定义 收敛的所有z值之集合 则称为z变换X z 的收敛域 对于任意给定的序列x n 能使 ROC Regionofconvergence 不同的x n 的z变换 由于收敛域不同 可能对应于相同的z变换 故在确定z变换时 必须指明收敛域 返回 即满足的区域 ROC 这是z变换式X z 收敛的充要条件 二 收敛域的两种判定法 1 比值判定法 若有一个正项级数 则 1 发散 即令正项级数的一般项 的n次根的极限等于 则 1 发散 2 根值判定法 返回 三 序列z变换的收敛域问题 1 有限长序列 2 右边序列 3 左边序列 4 双边序列 x n n 返回 x n n n1时 x n 0 x n n n2时 x n 0 注意 1 以上讨论了各种序列的双边z变换的收敛域 显然 收敛域取决于序列的形式 2 任何序列的单边z变换的收敛域和因果序列z变换的收敛域是类同的 为 z Rx1 1 有限长序列 例8 3 1 这类序列只在有限的区间n1 n n2具有非零的有限值 此时z变换为 由于n1 n2是有限整数 z变换式为有限项级数 由该级数可以看出 1 当n10时 X z 除z z 0外在z平面上处处收敛 即收敛域为0 z 2 当n1 0 n2 0时 X z 除z 外在z平面上处处收敛 即收敛域为 z 3 当n1 0 n2 0时 X z 除z 0外在z平面上处处收敛 即收敛域为 z 0 可见有限长序列的z变换收敛域至少为0 z 而且有可能还包括z 0或z 这由序列x n 的形式决定 返回 2 右边序列 例8 3 2 返回 有始无终序列 即 n n1时 x n 0 若满足 即 则级数收敛 Rx1为收敛半径 1 当n1 0时 收敛域包括z 点 则 z Rx1 因果序列为特例 2 当n1 0 时 收敛域不包括z 点 则Rx1 z 可见 右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分 如因果序列 3 左边序列 无始有终序列 即 n n2时 x n 0 若满足 即 则级数收敛 Rx2为收敛半径 可见 左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分 1 当n2 0时 收敛域不包括z 0点 则0 z Rx2 2 当n2 0 时 收敛域包括z 0点 则 z Rx2 ROC 例8 3 3 返回 例如n 0时 x n 0的情况 4 双边序列 x n n 可见 一个双边序列可看作一个左边序列和一个右边序列之和 其收敛域则是两个序列z变换收敛域的公共收敛区间 如果Rx2 Rx1 则存在公共收敛区间 其收敛域为Rx1 z Rx2的圆环部分 如果Rx2 Rx1 则不存在公共收敛区间 X z 不收敛 左边序列 右边序列 例8 3 4 返回 例如 四 总结 x n 的收敛域 ROC 为z平面以原点为中心的圆环 ROC内不包含任何极点 以极点为边界 有限长序列的ROC为整个z平面 可能除去z 0和z 右边序列的ROC为的圆外 左边序列的ROC为的圆内 双边序列的ROC为的圆环 返回 例8 3 1 所以