圆锥曲线中的易错题型剖析.docx

圆锥曲线中的易错题型剖析 我们在高三复习中，经常精选解法有误的题目让学生辨析，也经常故意设计解法的典型错误进行“错在哪里？”的训练下面是圆锥曲线的错解辨析题组，从中可见其教法1 发下讲义，在讲义中精选了五个题目及解答例1.设一动点到点和它到直线的距离之比为，求动点的轨迹方程解法1：由圆锥曲线的统一定义知，此动点的轨迹为椭圆，直线是准线，为焦点故有,从而所求轨迹方程为解法2：有题设条件知，所求轨迹为椭圆就是离心率的值即又故所求轨迹方程为例2.过点作椭圆的弦，求弦长的最大值解：设使椭圆上任一点，则弦长的平方为由，得代入上式得有最大值 的最大值为 例3.过定点的直线与抛物线交与不同的两点,求线段中点的轨迹方程解：由题意，列方程组 消去得：设是轨迹上任意一点，的坐标分别为，则有，即，又在直线上，故所求的轨迹方程为例4.试求出过点且和抛物线仅有一个交点的直线方程？解：设所求直线方程为由题意有方程组消去整理得，令，则所以所求直线方程为例5.求底边和顶角大小均为定值的三角形的定点的轨迹解：设的底边，顶角为，以所在边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则设为轨迹上任意一点（1） 当时，即得所求的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆（2） 当时，存在，设（定值），整理得故所求轨迹是以为圆心，以为半径的圆2、 针对所发讲义，引导学生进行错解辨析，总结所犯错误的原因和类型学生阅读讲义之后，教师提问：讲义上五个题目的解法中，哪些是正确的？哪些是错误的？错在哪里？然后让学生各抒己见，充分调动其积极性和创造性，最后由教师总结并概述错误类型讲义上五个题目的解法都是错误的例1中两种解法都不正确，错就错在对定义缺乏理解从题意中并不知道椭圆的中心在原点，而圆锥曲线的统一定义是普遍适用的所以不能从特殊方面去考虑事实上，应由求轨迹方程的一般步骤，列出方程，化简得所求轨迹方程为例2解法中的错误在于忽视了自变量（即）的取值范围，机械地套用二次函数求极值的公式事实上，可整理为当时，才能达到最大值但是的取值范围是，故不一定等于令，则所以（1）当，时，；（2）当，时，例3中的错误是没有考虑未知数的隐含限制条件既然直线与抛物线交于不同两点、，那么方程的判别式应该大于零而题解中恰恰忽视了这一点，也就是忽视了，即或这一隐含条件事实上，由或，而，得或故所求的方程为或例4中的错误在于忽视了对特殊情况的考虑我们知道，直线和圆锥曲线相切时，只有一个交点，但对直线和抛物线来说，除掉相切时只有一个交点，这时直线方程为，另外，轴过点，与抛物线也只有一个交点（相切）但轴的斜率不存在，它的方程在例4的解法中是求不出来的，故所求的方程除外，还有和例5的错误在于分类讨论不够详细在解法中，当时，还可以分为和，此时就分别是正的和负的另外，点在轴上方和轴下方时所列出的方程是不同的，得到的轨迹也就是不同的解法中也忽视了这一点事实上，当时，应讨论如下：A） 当点在轴上方时 化简得；B） 当点在轴下方时 化简得故当时，所求轨迹是分别以，为圆心，以为半径的，不包括端点、的两个优弧；当时，所求轨迹与上述共轭的两个劣弧，不包括、这样讨论过后，是否就完美了呢？（提问）学生很容易看出，当，所得到的圆也应除去端点、最后，教师引导学生总结所犯错误的类型如下：I）对定义缺乏深