2004研究生数学建模竞赛优秀论文.doc

研究生录取的最大匹配模型一、问题重述研究生录取工作一般根据学生初试成绩从高到低排序之后按1:1.5的比例选择进入复试的名单，复试由专家组对学生的综合素质面试考核，最后由主管部门综合所有学生的初、复试成绩等因素确定录取名单。现计划从15名进入复试的学生中招收10名研究生，所有复试学生的初试成绩、专业志愿、各专家对学生复试的评分，以及10名拟招收研究生的导师的基本情况等都对外公开。需解决以下问题：(1)首先从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从15名候选研究生中筛选10名研究生的方案，然后给出一名导师配对多名学生和一名导师配对一名学生这两种情形下10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案，使师生双方的满意度最大。(2)首先从导师的角度，不考虑学生申报志愿，给出由导师筛选10名研究生的新方案。然后给出一名导师配对一名学生的最佳双向选择方案。并在选中的即为确定的前提下，给出这10名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。(3) 从学校的角度考虑，充分考虑学生和导师的综合情况给出选择5名导师的方案。再给出这5名导师择优筛选10名研究生的方案，以及每一名导师带名研究生的双向选择最佳策略。(4)设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，提供给主管部门参考，并说明方案的优越性。 二、模型假设1 在硕士研究生录取中，按目前国内大多数高校惯例假定初试和复试成绩所占比例（）固定，取值0.7：0.3。2 假设模型中各部分（如成绩、导师水平各方面、导师对学生要求等）所占权重和具体水平的量化在录取工作之前已对导师、学生和社会完全公开，体现了公平、公正和公开。3 本模型假定，作为某学生甲，他对导师A的满意程度，不会因为导师A带的学生数增加而改变。4 同时假定，某导师A对学生的满意程度是相互独立，且不会因为所带学生数多少而改变。5 模型假定，每一导师和学生配对产生的总合意指数是相互独立，且可以叠加。6 模型假定，师生双方的整体满意度用模型中的总体合意指数矩阵中的相应元素和来度量，选择最佳的方案，即等价于寻找一个最大匹配，使得在约束下的指数和最大。三、问题分析题目中要求根据所给数据表格，给出各种不同的筛选方案、最佳双向选择方案以及一些配对的策略。由于所给表格中除初成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须根据比较、分散、公平、实际水平和量化数字正相关(即等级高的实际数据量化后的量化值也高) 等原则，对数据进行量化工作及标准化。量化这些数据后就可以根据这些数据统计出学生的综合水平及导师的整体评价，从而可以确定出不同的筛选方案。对于其中的“满意度”，这是一个抽象的量，所以在此将其量化为“满意指数”，这样使得最佳双向选择方案的问题转化为关于整体满意指数最大化的问题。而如何使得师生双方配对的满意度最高，是解决问题的一个关键所在。而题目中要求提供一些双向选择过程中的选择策略，这可以类似于一个动态规划的问题求解，为导师（或学生）提供策略，使得每一步他和某学生（或导师）之间相互选择的的机率最高。四、符号定义、 ：初始时参与的导师（Director）、学生（Student）、专家（Expert）人数。在本模型中取15；第（3）问中10名导师与10名学生一对一双向选择，则。、 ：最后参加双向选择配对的导师、学生人数。 ：在本模型中表示学生、导师（或专家）和涉及讨论各部分各因素的索引下标。、 ：第个学生笔试（Examination）的原始成绩和标准化的成绩。 ：第个专家对第个学生面试（Interview）第方面的评分。其中分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。、 ：专家组对第个学生面试（Interview）第方面的原始评分和标准化后的评分。：复试面试中五个方面相对总体的权重（Weight），。 ：研究生录取工作中初试占初试复试总成绩的权重，由假设1取。：第个学生的专业发展意愿与第个导师专业方向的吻合度，具体取值如下：则 表示学生专业意愿与导师专业方向的吻合度矩阵（）。 ：整体学生的专业意愿和第个导师专业方向的吻合指数。：第个导师的第个学术（Academic）水平的原始指标数，其中 分别表示发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数。例如，表示第2个导师的编（译）著作数目为1。 ：第个导师的第个学术水平的标准化指标数。 ：导师各学术水平指标占总体学术水平的权重。、 ：第个导师对学生专长的第个方面的期望要求（Requirement），及标准化后的期望要求，其中分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。 表示导师对学生专长的期望要求矩阵（）。：以第个学生第k方面专长占该学生整体专长的比重，作为该学生评价导师时，导师对学生该方面期望占全部期望的权重。：以第个导师对学生第k方面专长期望占总体期望的比重，作为该导师评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重。 ：以整体学生在第k方面专长占总体专长的比重，作为主管部门评价导师时，导师对学生该方面期望占总体期望的权重。 ：以导师组对学生第k方面专长期望占总体的期望的比重，作为导师组评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重。 ：第个学生对第个导师的满意（Satisfaction）指数，表示一个学生对导师的满意指数矩阵。 ：第个导师对第个学生的满意指数，表示一个导师对学生的满意指数矩阵。：第个学生配对第个导师双方产生的总体合意指数，表示一个总体合意指数矩阵。：学生对导师的满意指数所涉及三个方面的权重，。：导师对学生的满意指数所涉及三个方面的权重，。：导师(Director)评价(Evaluation)指数中所涉及三个方面的权重，。：对第个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student）指数。：对第个导师的综合评价（The Integrated Evaluation of Director）指数。：导师组对第个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student by Director Group）指数。 ：表示第个学生和第个导师间的配对关系。具体如下：五、模型的建立1量化数据首先，由于所给表格中除初试成绩以外，其他大部分数据都只是半量化的量，所以首先必须按公平、合理、正相关（即等级高的实际数据量化后的量化值也高）原则对数据进行量化。在面试评分中给出了A、B、C、D四种等级。基于一般学校评分的惯例，A、B、C、D四种等级（有时为优、良、中、差）与100分制的对应关系如下：ABCD四等级对应100分制的范围（分）近似量化分数（分）A8510092.5B708577.5C607065D06040表中最后一列给出100制中对应的近似量化分数，那么本模型中将学生的面试等级ABCD换算为近似量化的分数。导师对学生在某方面专长（如外语）的期望也给出了A、B、C、D四种等级。这里可以将它理解为评价该方面专长对总体重要性的等级，与评价学生水平的等级不同。本模型将把它与重要性评分的4分制对应起来：ABCD四等级对应4分制的分数A4B3C2D1然后需要进行不同指标的标准化，标准化目的是使取值范围不同、分散集中程度不同的数据能够进行公平比较。一种简单的标准做法就是：以学生笔试成绩为例，标准化后的笔试成绩为：，则。2给出选取（筛选）方案在对数据进行量化后，接着再根据题目要求给出方案先挑选学生或导师，此方案中根据不同题目要求需提供下列方案：（1） 从主管部门的角度考虑，给出综合学生的初试和复试成绩从15名候选研究生中筛选10名研究生；（2） 从导师的角度，不考虑学生申报志愿，给出由导师组筛选10名研究生的新方案。（3） 从学校的角度考虑，充分考虑学生和导师的综合情况给出选择5名导师；根据题目的不同要求，我们将在接下来模型的应用求解中给出不同的方案（先对学生或先对导师进行筛选）。3建立满意度指标 经过前面的方案的第一轮筛选，最后剩下的导师数为（），学生数为（），双方再进行双向选择。为了衡量双方选择的满意程度，我们引入了满意度指标，其中学生对导师的满意指数是衡量学生i对导师j满意程度的量化指标。同理，导师对学生的满意指数是衡量导师j对学生i满意程度的量化指标。而两者之间的乘积则是衡量他们相互选择产生的双方总体合意程度的量化指标，记为。一定程度上，它也表示师生双方互相选择的概率，这是他们相互选择时要考虑的重要参数。接下来，我们先考虑学生对导师的满意指数。学生会根据自己的专业发展意愿、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师，所以我们必须充分考虑这三方面的因素。图1：学生对导师的满意度指标上图是学生对导师的满意指数与导师基本情况的AHP图。首先，对与第一层次的三个因素的考虑，一般认为三个因素对的影响程度依次递减，不妨将权重取为、和。即如下表：表1：学生对导师的满意（Satisfaction）指数影响的因素影响因素序号影响具体因素所占权重1自己专业发展意愿与导师专业方向的吻合程度；取2导师的基本学术情况；取3自己专长与导师对学生期望的符合程度；取对于第1个因素，考虑第个学生的专业发展意愿与第个导师专业方向的吻合度，具体取值如下：如本题中，15个学生的专业发展意愿与10个导师专业方向的吻合度表格如下：表2：学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合度导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生1000110.50.50.500学生20.50.50.50011100学生31110.50.500000学生4000000.50.50.511学生50000.50.511100学生6000001110.50.5学生70.50.50.50000011学生8000110000.50.5学生9111000.50.50.500学生100.50.50.50011100学生110.50.50.50000011学生12000001110.50.5学生130.50.50.51100000学生14111000.50.50.500学生151110.50.500000对于剩下的个学生数和个导师数，只要从上表中抽取相应行和列构成学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合度矩阵（）。如下：对于第2个因素，考虑到导师的总体学术水平由四方面（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数）体现。定义表示第个导师的第个学术（Academic）水平的原始指标数，其中分别表示四种指标。例如，表示第2个导师的编（译）著作数目为1。经过标准化后，得到：考虑到4个学术指标对导师整体的学术水平重要程度均等，权重取，。表3：影响第个导师的总体学术水平指数的各指标学术指标序号第个原始指标数标准后指标数所占权重发表论文数；论文检索数；编（译）著作数；科研项目数；如本题中，10个导师的标准化后的学术水平指数表格如下：表4：导师标准化后的学术水平指数表导师序号导师的学术水平指标发表论文数论文检索数编(译)著作数科研项目数导师10.190.880.670.2导师20.850.850.380.33导师31.00111导师40.080.080.131导师50.270.2700.33导师60.420.420.250导师70.310.310.130.33导师80.0000.130导师90.850.850.630.67导师100.270.270.50.67对于剩下的个导师，只要从原始的量化表（即非标准化）中抽取相应的行先构成了学术水平矩阵，再标准化，得到标准化后的学术水平指数矩阵()。对于第三个因素，定义为第个导师对学生专长的第个方面的期望要求（Requirement），其中分别表示：灵活性、创造性、知识面、表达力和外语。由问题分析中提到，取值为1到4间的某个整数。标准化后，得到：接着，引入表示：以第个学生第k方面专长占该学生整体专长的比重，作为该学生评价导师时，导师对学生该方面期望占全部期望的权重，具体为：，则 。如下表所示：表5：第个学生的专长与第个导师的期望吻合度专长方面序号第个方面的期望标准后的期望所占权重灵活性；创造性；知识面；表达力；外语如本题中，10个导师的标准化后的期望要求表格如下：表6：导师标准化后的期望要求表导师序号对学生专长的期望要求灵活性创造性专业面表达力外语导师11000.50.5导师20110.50.5导师310101导师40010.51导师50000.51导师611100.5导师700010导师801010.5导师901100.5导师101100.50.5对于剩下的个导师，只要从原始的量化表（即非标准化）中抽取相应行构成了期望要求矩阵，接着标准化，得到标准化后的期望要求指数矩阵为。15个学生在某方面专长占该生整体专长的比重形成的用于评价导师对学生该方面期望占全部期望的权重，表格如下：表7：学生各成绩的优势比重复试学生各成绩的优势比重灵活性创造性知识面表达力外语学生10.2120.1870.2020.1920.207学生20.2110.1810.2160.1810.211学生30.2170.2280.1770.1820.196学生40.2140.2040.1890.1890.204学生50.2150.2100.1850.1850.205学生60.2090.1790.2250.2120.175学生70.2520.1920.2020.1770.177学生80.1980.1990.2260.1790.199学生90.2140.1800.2150.1980.193学生100.1730.2380.2500.1990.141学生110.1430.2070.2070.2410.202学生120.2210.1940.1940.1910.200学生130.2160.1870.2010.2180.178学生140.1740.1980.2360.2030.189学生150.2180.1920.1830.2070.201对于剩下的个学生，只要从上表中抽取相应行便构成了期望权重矩阵（）。综上所述，学生对导师的满意度为：，其中，。由此构成的个学生对个导师的满意度矩阵（）为：其中，为由构成的一个常量权重矩阵（），而和分别表示矩阵和的转置。类似地，我们可以考虑导师对学生的满意度。导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。所以我们必须充分考虑这三方面的因素。图2：导师对学生的满意度指标上图是导师对学生的满意度指数与学生基本情况的AHP图。首先，考虑第一层次的三个因素，一般认为三个因素对总体的影响程度均等，不妨将权重取为，。即如下表：表8：导师对学生的满意（Satisfaction）指数影响的因素影响因素序号影响具体因素所占权重1导师专业方向与学生专业发展意愿的吻合程度；取2学生的初试成绩；取3导师对学生的期望与学生专长的符合程度；取对于第1个因素，与前面类似的，对于剩下的个学生数和个导师数，只要从上表8中抽取相应行和列构成学生专业发展意愿与导师专业方向的吻合矩阵为。对于第2个因素，对剩下的个学生数的笔试成绩进行标准化形成列向量。这个列向量再乘以一个的常数1横向量，形成成绩矩阵为。对于第3个因素，引入表示：以第个导师对学生第k方面专长期望占总体期望的比重，作为该导师评价学生面试成绩时，该方面专长占整体的权重。具体为：，则。如下表所示：表9：第个导师的期望与第个学生的专长吻合程度专长方面序号第个方面的期望标准后的期望所占权重灵活性；创造性；知识面；表达力；外语如本题中，15个学生的面试成绩标准化后如下表：表10：标准化后的学生面试成绩复试学生专家组对学生专长的面试评分灵活性创造性知识面表达力外语学生10.950.60.730.720.95学生20.950.510.551学生30.78100.230.65学生40.730.520.150.310.7学生50.840.810.230.390.8学生60.6400.650.630.4学生710.160.2300.39学生80.630.520.830.230.7学生90.840.240.740.630.7学生100.180.710.730.160学生1100.410.310.61学生120.950.590.450.560.79学生130.730.160.30.750.44学生140.320.330.820.470.53学生150.890.50.230.810.79对于剩下的个学生，只要从原始的量化表（即非标准化）中抽取相应行构成了期望要求矩阵，再标准化，得到标准化后的面试成绩矩阵为。10个导师自己对学生面试成绩的侧重如下：表11：导师对学生面试成绩的侧重导师序号对学生专长的期望要求的偏重灵活性创造性专业面表达力外语导师10.250.190.190.190.19导师20.180.240.240.180.18导师30.240.180.240.120.24导师40.180.180.240.180.24导师50.190.190.190.190.25导师60.240.240.240.120.18导师70.20.20.20.270.13导师80.180.240.180.240.18导师90.190.250.250.130.19导师100.240.240.180.180.18对于剩下的个导师，只要从上表中抽取相应的行便构成了期望权重矩阵（）。综上所述，导师对学生的满意度为：，其中，。由此构成的个导师对个学生的满意度矩阵，这里也为：其中，表示矩阵的转置。最后我们定义表示第个学生配对第个导师双方产生的总体合意指数，用于描述师生间通过双向选择后搭配的总体效用。为一个总体合意指数矩阵。4进行双向选择 在进行双向选择中，导师在学生心目中有一个满意度，而导师也对学生有个满意度。如果两个人相互选择，则此时师生的满意程度就是。那么为了让整体师生之间满意度最大，也就是在这总体合意指数矩阵的选择某几个位置的量相加，此时问题的最优化便转化为二部图问题中的最大匹配问题，对这一问题的求解可以用广义的匈牙利算法求解。六、模型的应用求解1问题（1）的求解： 首先确定筛选方案，学校主管部门筛选学生，考虑因素有两个：初试成绩、复试时专家组面试成绩。见以下AHP模型表示图：图3：主管部门选研究生的标准为进行公平比较，将初试笔试成绩标准化：，则。题目中提到每位专家根据自己看法和偏好对每个复试学生的各方面进行评价。为了保证专家组整体的评价更加客观，这里借鉴体操或跳水运动中的计分规则，在8位专家的评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到专家组对第个学生面试（Interview）第方面的原始评分：；标准化后的评分为：，则。对于面试中的五个方面（灵活性、创造性、知识面、表达力和外语），这里假设对于一名合格的硕士研究生，必须同时兼顾这五个方面。每个方面同等重要，取。那么结合初试笔试和复试面试成绩后，可以得到对第个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student）指数：，其中。综上所述，第一问中从15名学生中筛选10名的解决过程：求出，的具体数值，并排序，如下表所示。前10名即为被录取学生。表12：学生的综合评价指数表排名学生号1学生10.942学生20.873学生30.744学生40.625学生50.66学生60.537学生80.488学生90.469学生70.4410学生120.3911学生110.3812学生100.3613学生150.214学生130.1915学生140.18然后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，为了更好体现师生间的双向选择过程，这里用学生对导师的满意指数矩阵和导师对学生的满意指数矩阵，来表示他们的满意程度。根据前面定义，我们可以算出学生对导师的满意指数矩阵如下：表13：问题1中学生对导师的满意指数矩阵导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10.230.300.440.690.620.460.370.340.330.24学生20.480.550.690.190.120.710.620.590.330.24学生30.730.800.930.430.370.210.120.100.330.25学生40.230.300.430.190.120.460.370.340.830.74学生50.230.300.430.440.370.710.620.590.330.25学生60.230.300.430.190.120.710.630.590.580.49学生80.230.300.440.690.620.210.120.090.590.49学生90.730.800.940.190.120.460.370.340.330.24学生70.480.550.690.190.120.210.120.090.830.75学生120.230.300.440.190.120.710.620.590.580.49导师对学生的满意指数矩阵如下：表14：问题1中导师对学生的满意指数矩阵导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10.610.560.530.800.760.560.520.500.360.27学生20.780.730.710.480.430.740.680.670.370.27学生30.810.770.720.490.460.280.220.220.250.16学生40.460.410.370.320.280.420.370.360.560.46学生50.520.480.440.540.510.650.590.590.290.20学生60.430.390.340.300.250.550.530.500.360.26学生80.470.450.400.680.630.280.220.210.420.31学生90.860.820.780.390.350.480.440.420.280.19学生70.610.550.520.280.240.240.170.150.530.44学生120.560.510.470.410.380.680.630.620.480.40最后确定学生配对导师双方产生的总体合意指数矩阵如下：表15：问题1中师生双方合意指数表导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生12.012.393.141.921.552.712.222.062.742.25学生22.312.713.512.121.722.802.282.102.792.27学生31.742.042.641.641.352.141.751.622.001.60学生41.531.802.351.331.061.911.561.432.081.72学生51.812.142.801.711.382.341.911.772.371.94学生61.511.782.321.371.101.861.511.391.971.61学生81.461.742.301.371.102.031.671.552.111.75学生92.032.383.061.891.542.391.941.792.291.84学生71.461.712.231.281.031.771.441.331.851.52学生121.982.333.041.791.432.462.011.852.592.12本模型将全部的师生双方的满意度用总体合意指数矩阵中的元素和来度量，选择最佳的方案，即等价于寻找在约束下的一个最大匹配。本问题可以归结为非严格一对多的最优匹配问题：其中 ，表示第个学生和第个导师间的配对关系。具体含义：。（下同）此问题的求解比较容易，只要选出每一行的最大数就行了。也即对于中的每个行，令，即表示第个学生和第个导师标搭配。经过次后得到的方案，即为最优方案。如表所示：表16：问题1中师学双方相互选择表（1对多）导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10.140.170.230.550.470.260.190.170.120.07学生20.370.400.490.090.050.530.420.390.120.07学生30.590.620.670.220.170.060.030.020.080.04学生40.110.120.160.060.030.190.140.120.460.34学生50.120.140.190.240.190.460.370.350.100.05学生60.100.120.150.060.030.390.330.300.210.13学生80.110.140.180.470.390.060.030.020.250.15学生90.630.650.730.070.040.220.170.140.090.05学生70.290.300.360.050.030.050.020.010.440.33学生120.130.150.210.080.050.490.390.370.280.20注：表中灰色即为该行学生和该列学生配对。总体合意指数和为：5.19图4：合意指数立体示意图2问题（2）的求解：此问题要求将第（1）问中选取的10个学生与10个导师之间做双向选择，规定每一位导师只能带一名研究生，给出一种最佳双向选择方案，使师生双方的满意度最大。本问题可以归结为严格一对一的最优匹配问题。一个导师配对一名学生的最优匹配问题：， 其中 ，。运用最大匹配问题的匈牙利算法可以求解，输入的总体合意指数矩阵，运行程序即可得到匹配结果。如表所示：表17：问题2中师学双方相互选择表（1对1）导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10.140.170.230.550.470.260.190.170.120.07学生20.370.400.490.090.050.530.420.390.120.07学生30.590.620.670.220.170.060.030.020.080.04学生40.110.120.160.060.030.190.140.120.460.34学生50.120.140.190.240.190.460.370.350.100.05学生60.100.120.150.060.030.390.330.300.210.13学生80.110.140.180.470.390.060.030.020.250.15学生90.630.650.730.070.040.220.170.140.090.05学生70.290.300.360.050.030.050.020.010.440.33学生120.130.150.210.080.050.490.390.370.280.20总体合意指数和为：4.64。在1对1的约束条件下，这里最优方案的总体合意指数和明显小于1对多的第一个问题方案。3问题（3）的求解：首先确定筛选方案，10个导师组成的导师组筛选学生，考虑因素有两个：初试成绩、复试时专家组面试成绩。见以下AHP模型表示图：图5：导师组选学生的标准这个问题的解答与第(1)问很相似，不同的地方在于此次导师组选学生，那他们会根据自己对学生的期望来挑选学生。也就是说学生在面试中各方面的比重将不再是相同，而是根据导师组的情况而确定。所以根据导师组情况确定学生面试成绩中各方面的比重，如下式：,当然，和第(1)问一样：也要对学生的各项成绩进行标准化，然后结合初试笔试和复试面试成绩后，可以得到对第个学生的综合评价（The Integrated Evaluation of Student By director Group）指数：，其中。综上所述，第（3）问中从15名学生中筛选10名的解决过程：求出，的具体数值并排序，如下表所示。前10名即为被录取学生。表18：导师组对学生的综合评价指数表排名学生号1学生10.942学生20.873学生30.744学生40.625学生50.616学生60.527学生80.488学生90.479学生70.4510学生120.3911学生110.3812学生100.3713学生130.1914学生150.1915学生140.17由于此次筛选后的学生刚好和第（1）问的学生一样，所以最后确定学生配对导师双方产生的总体合意指数矩阵仍如表16所示；这里引入的根据导师组情况确定学生面试成绩中各方面的比重，由于具体数值（0.206 0.212 0.212 0.176 0.194）与相差不大。所以对筛选结果没影响。题目中要求在选中的即为确定的前提下，给出这10名研究生各申报一名导师的策略和导师各选择一名研究生的策略。这是一个互动的过程，一个导师配对一名学生，如果相互选中即为确定，如果不中则要重复进行直到每个导师都带一个研究生。由于是衡量彼此互选的重要参数，也就是说越大，两人相互选中的几率越大。所以可以通过每一轮从选择中的最大合意指数的角度来实现最优配对方案时，这是一个动态规划中步步最优的问题。为此，假设现在剩下个学生和个导师还没选中，则此时学生和导师则选择中自己对应的行或列中最大合意指数对应的导师或学生。假如师生双方一开始采用该策略，则每一步配对的总体合意指数都是选最大的。最后的配对方案可以具体分为个步骤确定。步骤如下：Step 0：初始化，将个学生和个导师标记为未分配。Step 1：求解。令，并将第个学生和第个导师标记为分配，即两者配对。重复求解直至做完Step ，即找到一种双向互动选择的分配方案。结果如下表：表19：动态相互选择步骤序号匹配的学生匹配的导师双方配对的合意指数1学生9导师30.732学生3导师20.623学生1导师40.554学生2导师60.535学生4导师90.466学生12导师70.397学生8导师50.398学生5导师80.359学生7导师100.3310学生6导师10.1匹配结果如下，其总体合意指数和为：4.45。由于在每一轮的确定和重新选择中，可能丢失许多数值较大的总体合意指数，所以得到最优方案的指标值明显又小于问题1、2中的方案。作为导师或学生，其策略在于：想在动态的双向选择中求得自己的最优配对结果，要在每一轮中根据新的寻找自己所在行或列最大数值所在的位置，数值最大即兼顾了自己满足程度最大和配对成功可能性最大的综合。那么该位置便可为指导自己在本轮进行选择。表20：问题3中师生采用最佳策略双方相互选择表（1对1）导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10.140.170.230.550.470.260.190.170.120.07学生20.370.400.490.090.050.530.420.390.120.07学生30.590.620.670.220.170.060.030.020.080.04学生40.110.120.160.060.030.190.140.120.460.34学生50.120.140.190.240.190.460.370.350.100.05学生60.100.120.150.060.030.390.330.300.210.13学生80.110.140.180.470.390.060.030.020.250.15学生90.630.650.730.070.040.220.170.140.090.05学生70.290.300.360.050.030.050.020.010.440.33学生120.130.150.210.080.050.490.390.370.280.204问题（4）的求解：首先确定筛选方案，学校选择5名导师，需要考虑的因素是学生申报志愿与导师的专业方向的吻合度、导师的学术水平指标、学生专业水平与导师对学生期望之间的吻合度。见以下AHP模型表示图：图6：学校选导师的标准由于对5位导师的选择影响到后面由这5位导师选择接收研究生的结果，考虑到双向选择这一大局，要求尽量公正客观的选择出这五位导师，我们在这里引入导师评价系数，并且设定这三个方面因素所占的权重，和，由于这里三个因素的重要性依次减少，不妨取。即如下表：表21：导师评价指数影响的因素影响因素序号影响具体因素所占权重1自己专业发展意愿与导师专业方向的吻合程度；取2导师的基本学术情况；取3自己专长与导师对学生期望的符合程度；取对于第1个因素，考虑整体学生的专业发展意愿与第个导师专业方向的吻合度，参照前面的定义，得到标准化的学生志愿和导师方向的吻合度（）表：表22：学生志愿与导师方面吻合度表导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10吻合度0.8000.8000.8000.0000.0001.0001.0001.0000.0000.000对于第2个因素，考虑到导师的总体学术水平由四方面（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数和科研项目数）体现。也是采用前面的定义和10个导师的标准化后的学术水平指数表格，如表4；对于第三个因素，需要考虑整体学生的综合能力和导师对学生期望的符合程度对导师评价系数的影响。这里引入，表示以整体学生在第k方面专长占总体专长的比重，作为主管部门评价导师时，导师对学生该方面期望占总体期望的权重。，采用前面对的定义，由量化后的15个学生的复试成绩表计算出表23：整体学生在第k方面专长占总体专长的比重灵活性创造性知识面表达力外语权重0.2062110.1979340.2066470.1965640.192644那么结合三方面因素后，可以得到对第个导师的评价（The Integrated Evaluation of Director）指数：。综上所述，从10名导师中筛选5名导师的解决过程：求出，的具体数值并排序，如下表所示。前5名即为被选取的导师。表24：导师评价指数表排名导师号1导师30.802导师20.673导师60.664导师10.565导师80.516导师70.497导师90.428导师100.349导师40.2710