直线和平面所成角.ppt

直线和平面所成的角 如图 点Q是 是点P到平面的垂线段 过一点向平面引垂线 垂足叫做这点在这个平面上的射影 这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段 一 斜线在平面内的射影 垂线 斜线 射影 垂线 点P在平面内的射影 线段PQ 2 斜线 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜足 从平面外一点向平面引斜线 这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段 P R 问题1 平面外一点到一个平面的垂线段有几条 斜线段有几条 P R Q S T 如图 是斜线AC在内的射影 线段BC是 A C B 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 射影 直线BC 斜线段AC在内的射影 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 垂线段比任何一条斜线段都短 2 射影长定理 例1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 求 1 AB1在面BB1D1D中的射影 2 AB1在面A1B1CD中的射影 3 AB1在面CDD1C1中的射影 A D C B 外 中 垂 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O OA OB OC O为三角形ABC的外心 已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC两两垂直 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的垂心 D O 已知三棱锥P ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等 试判断点P在底面ABC的射影的位置 P A B C O为三角形ABC的内心 O E F 二 直线和平面所成的角 斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角 规定 一条直线垂直于平面 它们所成的角是直角 一条直线和平面平行 或在平面内 它们所成的角是0 的角 直线和平面所成角的范围是 0 90 3 如何作出直线与平面所成的角 过直线与平面交点外任意一点 作平面的垂线 则斜足与垂足之间的连线AO与直线PA之间所成的锐角 直角或零角 就是直线与平面所成的角 注意区别两条异面直线所成的角是 00 900 直线与平面所成角 斜线与平面所成角 2 注意 例1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 求 1 直线A1B与平面ABCD所成的角 2 直线A1B与平面BCC1B1所成的角 3 直线BD1与平面AD1所成的角的正切值 2 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 求 1 A1C1与面ABCD所成的角 2 A1C1与面BB1D1D所成的角 3 A1C1与面BB1C1C所成的角 4 A1C1与面ABC1D1所成的角 A D C B 练习 4 求斜线与平面所成的角一般步骤 三步曲 1 作图 作 或找 出斜线在平面上的射影 将空间角 斜线和平面所成的角 转化为平面角 两条相交直线所成的锐角 作射影要过斜线上一点作平面的垂线 再过垂足和斜足作直线 2 证明 证明某平面角就是斜线和平面所成的角 3 计算 通常在垂线段 斜线段和射影所组成的直角三角形中计算 一 作 二 证 三 计算 关键 确定斜线在平面内的射影 例2如图 在长方体ABCD A B C D 中 AA 3 AB 4 BC 5 求直线A C和平面ABCD所成的角的正弦值 练习2 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角 O 3 如图 在四棱