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第四章随机分析及均方微分方程 第一节二阶矩过程 第二节均方极限 第三节均方连续性 第四节均方导数 第五节均方积分 第六节均方黎曼 司蒂吉斯积分 第七节均方导数与均方积分的分布 第八节均方微分方程 第一节二阶矩过程 定义 则称为二阶矩过程 首页 例1 其中和V是相互独立且都服从正态分布N 0 1 的随机变量 解 由于和V都服从正态分布 所以也具有正态分布 且 首页 性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在 证 由许瓦兹不等式得 故 即二阶矩过程的协方差函数存在 注 首页 说明 在讨论二阶矩过程中 常假定均值为零 这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同 返回 首页 第二节均方极限 一 均方收敛 定义1 设随机变量序列 n 1 2 和随机变量X都存在二阶矩 如果 则称 均方收敛于X 或称X是 的均方极限 记作 或简记为 首页 二 均方收敛准则 定理1 柯西准则 则均方收敛的充要条件为 证 只证必要性 因为均方收敛于X 所以有 首页 又由 所以 故 首页 注 等价 存在 其说明随机变量序列均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛 三 均方收敛性质 性质1 若 则 证 由许瓦兹不等式得 因 故得证 注 当均方收敛于X时 的期望收敛于X的期望 首页 性质2 若 则 证 由许瓦兹不等式得 因 故得证 首页 性质3 若 则对任意常数a b都有 证 因为 故得证 首页 性质4 若 则 注 因 证 于是 即 返回 首页 第三节均方连续性 均方收敛 定义1 即 则称在点t均方连续 一 均方连续 称在时均方收敛于 首页 二 均方连续准则 定理1 则 证 充分性 则 所以 首页 再证必要性 又 由均方收敛性质2得 定理2 证 由定理1知 首页 再由均方收敛性质2 得 即 首页 定理3 则 证 由均方连续定义 从而 说明 在均方连续的条件下 均值运算与极限运算的次序可以互换 但要注意 上式左边为普通函数的极限 而右边表示均方收敛意义下的极限 首页 例1 试讨论其均方连续性 解 泊松过程的均值 方差函数为 则相关函数 首页 同样 因此 由于 故 注 此例说明均方连续的随机过程 其样本曲线不一定是连续的 返回 首页 第四节均方导数 一 均方导数的定义 定义1 如果均方极限 存在 则称在t处均方可微 并将此极限记作 即有 或 首页 二次均方可微 二阶均方导数 定义2 广义二次可微 存在 首页 二 均方可微准则 定理1 证 由均方收敛准则知 的充要条件是 存在 而 存在 首页 三 均方导数的性质 性质1 性质2 首页 性质3 性质4 证1 首页 其它类似可证 性质5 首页 四 1 证 注 均方导数的均值等于均值函数的导数 而为普通意义下的确定性函数 故可用分析的方法求导 首页 2 证 首页 注 求偏导数得到 3 证明 首页 即 同理可得 又因 故 首页 注 随机过程的相关函数求两次混合偏导数 例1 证明 返回 首页 第五节均方积分 一 均方黎曼可积 定义1 分割 作和式 如果 则称 并称 记作 即 首页 二 均方可积准则 定理1 即黎曼积分 存在 证 由均方收敛准则可知 即 存在 首页 如果上式极限存在 其极限值就是黎曼积分 首页 定理2 证明 由定理1知 三 均方积分的性质 性质1 首页 性质2 其中 性质3 首页 性质4 性质5 均方可积的唯一性 四 均方积分的数字特征 1 随机过程积分的期望 首页 证 注1 注2 首页 2 均方积分的方差及协方差函数 则 证 首页 注 同样可以证明 3 均方积分的自相关函数及互相关函数 则 首页 证 只证明 其他类似可证 首页 例1 解 在定义中可取 则 所以 首页 例2 解 讨论维纳过程的均方可积性 且有 由于 对一切有穷的u存在 首页 例3 解 设 所以 首页 同样可得 故得 返回 首页 第六节均方黎曼 司蒂吉斯积分 一 定义 1 有界变差函数 对任意一组点 作和式 变差 如果对一切可能的分组点 变差所形成的数集有界 有界变差函数 首页 2 Rieman Stieltjes积分 记 如果均方极限 存在并与分割和的取法无关 首页 则 均方黎曼 司蒂吉斯积分 记为 二 和积分存在条件 定理1 首页 则存在 则存在 1 2 定理2 且有 注 反之也成立 首页 定理3 三 期望与二阶矩 返回 首页 第七节均方导数与均方积分的分布 一 特征函数族 问题 如何利用随机过程的特征函数族 求出其均方导数及均方积分的特征函数族 定理1 其有穷维特征函数族为 1 若的均方导数存在 有 首页 2 有 其中 首页 二 正态过程的均方导数 积分的性质 性质1 即对每个i有 则X也是k维正态随机向量 性质2 首页 性质3 则 也是正态过程 三 正态过程的均方导数 积分的特征函数 定理2 1 特征函数为 首页 2 则 返回 首页 第八节均方微分方程 一 考察随机微分方程 其中是二阶矩过程 是二阶矩随机变量 1 微分方程在均方意义下的唯一解是 2 微分方程解的均值和相关函数 首页 在与独立时 的均值函数 的相关函数 当 注 有 此时有 首页 微分方程的解的均值函数与相关函数完全由与的相关函数所决定 注 二 考察一阶线性微分方程 其中是普通的函数 是二阶矩过程 是二阶矩随机变量 1 方程的解 定理1 一阶线性微分方程的解为 首页 证 显然 其次 利用求