二次函数与一元二次方程（复习）.doc

二次函数与一元二次方程复习 段村一中 温建城 类型之一抛物线的平移例1将抛物线y3x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，那么得到的抛物线的函数表达式为()Ay3(x2)23 By3(x2)23Cy3(x2)22 Dy3(x2)23答案 A 类型之二二次函数的图象和性质例2如图2T1为二次函数yax2bxc的图象，在下列说法中：ac0；当x1时，y随x的增大而增大其中正确的说法有_(把正确答案的序号都填在横线上)图2T1答案 解析 图象开口向上，a0.图象与y轴交于原点的下方，c0，ac4的整数值都可以)解析 抛物线yx24xc与x轴没有交点，一元二次方程x24xc0没有实数根，(4)24c164c4(c为整数)点评 考查二次函数图象与x轴的交点个数和一元二次方程的解之间的关系 类型之四二次函数最值的应用例4水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图2T2所示的一次函数关系求y与x之间的函数表达式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润销售收入进货金额)图2T2解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根据题意，得80(a2)88a，解得a20.答：现在实际购进这种水果每千克20元(2)y是x的一次函数，可设函数表达式为ykxb，将(25，165)，(35，55)分别代入ykxb，得解得k11，b440，y11x440.设最大利润为W元，则W(x20)(11x440)11(x30)21100，当x30时，W最大值1100.答：将这种水果的销售单价定为30元/千克时，能获得最大利润1100元 类型之五二次函数与几何的综合例5益阳中考 如图2T3，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线ya(x2)2k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P.(1)求a，k的值；(2)在抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长图2T3解析 (1)先求出直线y3x3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入ya(x2)2k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；(2)设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x2于点E.在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2AF2QF21m2，BQ2BE2EQ24(3m)2，由AQBQ，得到方程1m24(3m)2，解方程求出m2，即可求得点Q的坐标；(3)当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P(2，1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MFNFAFCF1，且ACMN，则四边形AMCN为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长解：(1)直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，B，A(1，0)，B(0，3)又抛物线ya(x2)2k经过点A(1，0)，B(0，3)，解得即a，k的值分别为1，1.(2)如图2T4，设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x2于点E.在RtAQF中，AQ2AF2QF21m2，在RtBQE中，BQ2BE2EQ24(3m)2.AQBQ，AQ2BQ2，1m24(3m)2，m2.点Q的坐标为(2，2)图2T4(3)如图2T4，当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线又对称轴直线x2是AC的中垂线，点M与顶点P(2，1)重合，点N为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)此时，MFNFAFCF1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN，即正方形的边长为.怎样解二次函数的应用题二次函数的应用题是各个省市中考的重点内容之一，也是初、高中数学的衔接点二次函数的应用很广，既有求什么时候面积最大，也有求什么时候用料最省那么我们怎样来把握呢？若以是否必须建立平面直角坐标系来划分，二次函数的应用题可分为以下三种类型一、不需要建立平面直角坐标系例1心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化讲课开始时，学生的注意力逐渐增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散经过试验分析可知学生的注意力y随时间t的变化规律有如下的关系：y(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多少分钟？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？解：(1)当t5时，y195；当t25时，y205.讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中(2)当0t10时，yt224t100(t12)2244，此二次函数图象的对称轴是直线t12，抛物线的开口向下，该图象在对称轴的左侧，y随t的增大而增大，当t10时，y有最大值240.当20t40时，y7t380，y随t的增大而减小，当t20时，y有最大值240，讲课开始后第10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟(3)当0t10时，令yt224t100180，解得t4.当20t40时，令y7t380180，解得t28.57.学生的注意力在180以上的持续时间为28.57424.57(分钟)因此，老师经过适当的安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目二、必须用到平面直角坐标系，但是题目已给出例2一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图2T5所示)，拱高为6 m，跨度为20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2T6所示)，其函数表达式是yax2c的形式请根据所给的数据求出a，c的值； 图2T5 图2T6(2)求支柱MN的长度；(3)拱桥下地平面是双行车道(正中间是一条宽2 m的隔离带)，其中一条行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车？(汽车间的间隔忽略不计，请说说你的理由)解：(1)根据题目的条件知A，B，C三点的坐标分别是(10，0)，(10，0)，(0，6)将点B，C的坐标代入yax2c中，得解得(2)设N(5，yn)，于是得yn0.065264.5.所以支柱MN的长度是104.55.5(m)(3)设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度之和，则点G的坐标是(7，0)过点G作GHAB，交抛物线于点H，则yH0.0672633.由此可知一条行车道能并排行驶三辆汽车三、必须用到平面直角坐标系，但是平面直角坐标系需要解题人自己独立建立例3某一建筑物如图2T7所示，从该建筑物10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，抛物线所在的平面与墙面垂直，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，求水流的落脚点B与墙的距离图2T7解：建立如图2T6所示的直角坐标系，由题目的条件，知抛物线的顶点坐标是M，并且抛物线也经过点A(0，10)用抛物线的顶点式，设ya(x1)2.抛物线经过点A(0，10)，有10a(01)2，解得a.抛物线对应的函数表达式是y(x1)2.求水流的落脚点B与墙的距离，也就是求抛物线与x轴的交点的横坐标令y0，即0(x1)2.解得x13，x21(不合题意，舍去)水流的落脚点B与墙的距离是3米点评 此题也可以尝试在不同的位置建立平面直角坐标系，直角坐标系的位置不同，得出二次函数的表达式也不同，但是最终求得的结果是一样的因此，建立平面直