二次函数综合应用.ppt

第六节二次函数的综合应用 第三章函数 第一部分教材知识梳理 考情解读 二次函数与特殊三角形的判定近10年仅2016年考查1次 考查内容 抛物线平移 等腰直角三角形的性质 考查方式为平移抛物线构造等腰直角三角形求平移过程 重难点精讲优练 二次函数与特殊三角形的判定 类型1 专题链接 二次函数与特殊三角形的判定专题见本书P114 P117 方法指导 对于二次函数与等腰三角形结合的动点问题 解决的方法一般为 1 用变量表示三角形三边长的平方 2 根据等腰三角形的性质 分别令三边长中两两相等 得到三组方程 3 分别解这几个方程组 若能得到方程的根 则这个根即为所求 若方程无解 则不存在这样的三角形 例1如图 已知抛物线y x2 2x 3与x轴交于A C两点 与y轴交于B点 直线l为它的对称轴 1 求点A B C的坐标及对称轴 2 在x轴上是否存在一点E 使得 ABE为等腰三角形 若存在 求出点E的坐标 若不存在 请说明理由 1 思维教练 要求抛物线与坐标轴的交点坐标 可分别令其解析式中x 0或y 0 求得相应的y值或x值即可确定 其对称轴为过与x轴两交点形成的线段的垂直平分线 解 对于抛物线y x2 2x 3 令y 0 即0 x2 2x 3 解得x1 3 x2 1 A 1 0 C 3 0 令x 0 即y 3 B 0 3 抛物线的对称轴是直线x 1 2 思维教练 题中只说明 ABE为等腰三角形 未说明到底哪两条边相等 故先设出点E的坐标 然后分AB BE AB AE和BE AE三种情况讨论求解 解 存在 设E x 0 AE2 x 1 2 BE2 x2 9 AB2 12 32 10 当AB BE 即AB2 BE2时 10 x2 9 解得 x1 1 x2 1 舍去 E 1 0 当AB AE 即AB2 AE2时 10 x 1 2 解得 x1 1 x2 1 E 1 0 或E 1 0 当BE AE 即BE2 AE2时 x2 9 x 1 2 解得 x 4 E 4 0 综上所述 存在符合条件的点E 点E的坐标为 1 0 或 1 0 或 1 0 或 4 0 考情解读 二次函数与图形面积近10年3考 2015 2014 2009均在24题考查 涉及到图象变化后求特殊四边形面积问题 已知特殊四边形面积求平移方式 及根据面积相等确定点坐标 二次函数与图形面积 类型2 方法指导 与图形面积数量关系有关 弄清其取值范围 画出符合条件的图形 确定其存在的情况有几种 然后分别求解 在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线 画出所求面积为定值的三角形 过动点作有关三角形的高或平行于y轴 x轴的辅助线 利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式 列方程求解 再根据实际问题确定方程的解是否符合题意 从而证得面积等量关系的存在性 例2如图 抛物线y x2 bx c的图象经过A B两点 且OA 1 OB 5 1 求这个抛物线的函数表达式 2 设抛物线与x轴的另一个交点为C 点P是线段OC上的一点 过点P作PH x轴 与抛物线交于点H 若直线BC把 PCH分成面积比为2 3的两部分 请求出点P的坐标 1 思维教练 根据线段OA与OB的长度 可以确定点A B的坐标 然后代入抛物线的表达式中 运用待定系数法求解即可 解 根据题意可知点A B的坐标分别为 1 0 0 5 将其代入抛物线y x2 bx c中得 解得 抛物线的表达式为y x2 4x 5 2 思维教练 由于 PCH被直线BC分成两个等高的小三角形 因此面积比就等于底边的比 然后根据直线BC的表达式设出点E的坐标 进行分情况讨论 并借用方程求出点E的坐标 进而得出点P的坐标 解 由y x2 4x 5 令y 0 得 x2 4x 5 0 解得 x1 5 x2 1 点C的坐标为 5 0 如解图 设点P的坐标为 a 0 根据题意可得直线BC的解析式为y x 5 PH与直线BC的交点坐标为E a a 5 PH与抛物线y x2 4x 5的交点坐标为H a a2 4a 5 由题意分析得 若EH EP 即 a2 4a 5 a 5 a 5 解得 a 或a 5 舍去 若EH EP 即 a2 4a 5 a 5 a 5 解得 a 或a 5 舍去 点P的坐标为 0 或 0 考情解读 二次函数与特殊四边形的判定近10年3考 2015 2014年以平行四边形判定结合四边形面积的形式考查 其中2015年涉及了菱形的判定 2012年考查矩形的判定 专题链接 二次函数与特殊四边形的判定专题见本书P118 P121 方法指导 探究平行四边形的存在性具体方法如下 1 假设结论成立 二次函数与特殊四边形判定 类型3 以这两点所构成线段为对角线时 则该线段的中点为平行四边形对角线的交点 结合抛物线的对称性 画出符合题意的图形 3 建立关系式 并计算 根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后 利用平行四边形的性质进行计算 可利用全等三角形 相似三角形或直角三角形的性质进行计算 要具体情况具体分析 有时也可以利用直线的解析式联立方程组 由方程组的解为交点坐标的性质求解 2 找点 探究平行四边形的存在性问题 一般是已知两定点求未知点坐标 此时可以按两种情况 分别以这两点求所构成的未知线段为边和对角线来讨论 以这两点所构成线段为边时 可以利用平行四边形平行且等 画出符合题意的图形 例3已知抛物线C y ax2 bx c a 0 与x轴交于原点O及点 4 0 抛物线C顶点M的纵坐标为2 对称轴与x轴的交点为N 1 求抛物线C的对称轴和解析式 2 将抛物线C绕其与x轴的交点旋转 并记旋转后的抛物线为C 且抛物线C 的顶点为M 对称轴与x轴的交点为N 则是否存在以点M N M N 为顶点的平行四边形 若存在 请求出抛物线C 的解析式 若不存在 请说明理由 抛物线C的对称轴x 2 1 思维教练 已知抛物线过原点及点 4 0 可得出抛物线两点式及对称轴 结合题中给出的顶点纵坐标代入即可求解 解 抛物线C与x轴交于原点O 0 0 及点 4 0 顶点M坐标为 2 2 设抛物线解析式为y a x x1 x x2 a 0 即y a x 0 x 4 ax2 4ax 抛物线顶点纵坐标为2 又 抛物线顶点坐标为M 2 2 代入上述解析式中可得2 4a 8a a 抛物线C的解析式为y x2 2x 2 思维教练 已知抛物线与x轴有两个交点 则抛物线C绕其与x轴的交点旋转可分两种情况讨论 根据对边平行且相等的四边形是平行四边形 可知存在平行四边形M N MN 得出M 的坐标 由抛物线对称性可知旋转后抛物线与x轴另一交点的坐标 得出抛物线的两点式 再代入顶点M 即可求出抛物线解析式 解 存在 由题意可知抛物线C顶点M到x轴的距离为MN 2 要使以点M N M N 为顶点的四边形为平行四边形 则必有MN M N 如解图 当抛物线C绕原点O逆时针旋转180 时 M N 2 由于MN M N 分别垂直x轴 故MN M N 又 M N MN 故存在平行四边形M N MN 点M 的坐标为 2 2 旋转后抛物线对称轴为x 2 又 抛物线C 过原点O 故与x轴另一交点为 4 0 设抛物线C 解析式为y ax x 4 a 0 将M 2 2 代入可得a 故抛物线C 的解析式为y x2 2x 当抛物线C绕点 4 0 顺时针旋转180 同 方法可知存在平行四边形MNM N 则M 的坐标为 6 2 旋转后抛物线对称轴为x 6 此时抛