二次函数（一）.ppt

二次函数及其表达式 1 形如 a b c为常数 a 0 的函数叫做关于x的二次函数 思考1 函数y ax2 bx c当a时是二次函数 当a 0 b 0时是一次函数 当a 0 b 0 c 0时是正比例函数 2 三种表达形式 一般式 a b c为常数 a 0 顶点式 a 0 h k 是抛物线顶点 交点式 a 0 x1 x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标 第12讲二次函数 一 y ax2 bx c 0 y ax2 bx c y a x h 2 k y a x x1 x x2 1 二次函数的图象是一条 2 二次函数y ax2 bx c的图象和性质 二次函数的图象和性质 常考点 抛物线 增大 减小 减小 增大 思考2 1 两个二次函数形状相同 开口方向相同 则二次项系数 2 两个二次函数形状相同 开口方向相反 则二次项系数 3 抛物线y ax2 bx c中a b c的作用 1 a决定 a 0 抛物线开口 a0 抛物线与y轴交于正半轴 c 0 抛物线与y轴交于半轴 思考3 函数y ax2 bx c 当x 1时 y 当x 1时 y 相等 互为相反数 开口方向 向上 向下 越小 越大 y轴 左侧 右侧 负 a b c a b c y ax2 a 0 y a x h 2 k a 0 平移规律 上加下减 左右 实际是的平移 二次函数图象的平移 加 减 顶点 1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的解就是二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的坐标 2 抛物线与x轴的交点个数由的符号决定 b2 4ac 0时抛物线与x轴有个交点 当b2 4ac 0时 抛物线与x轴有个交点 b2 4ac 0时 抛物线与x轴交点 二次函数与一元二次方程的关系 横 b2 4ac 2 1 没有 解析 二次函数y x2 2x 3的二次项系数为a 1 0 函数图象开口向上 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点坐标为 1 4 故选A 二次函数y x2 2x 3的开口方向 顶点坐标分别是 A 开口向上 顶点坐标为 1 4 B 开口向下 顶点坐标为 1 4 C 开口向上 顶点坐标为 1 4 D 开口向下 顶点坐标为 1 4 A 1 2016怀化 在平面直角坐标系中 将抛物线y 3x2先向右平移1个单位 再向上平移2个单位 得到抛物线解析式是 A y 3 x 1 2 2 B y 3 x 1 2 2 C y 3 x 1 2 2 D y 3 x 1 2 2 C 2 2014包头 解析 观察图象可得a 0 对称轴为直线x 1 1 b 2a0 当x 1时 y 0 4a 2b c 0 a b c 0 故 错误 正确 当x 1时 y 0 即a b c 0 a c 2 b2 a b c a b c 0 a c 2 b2 正确 故选C 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 下列结论 b0 a c 2 b2 其中正确的结论是 A B C D C 3 2013包头 B C 如图 抛物线y x2 bx c交x轴于点A 1 0 交y轴于点B 对称轴是x 2 1 求抛物线的解析式 6 2015黑龙江 2 点P是抛物线对称轴上的一个动点 是否存在点P 使 PAB的周长最小 若存在 求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 二次函数的图象与性质 核心母题 思路点拨 根据一次函数和反比例函数的图象确定a b c的符号 再根据二次函数的性质即可做出判断 例1 2016湖北 一次函数y ax b和反比例函数y 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示 则二次函数y ax2 bx c的图象大致为 C 关于抛物线y x2 2x 1 下列说法错误的是 A 开口向上 B 与x轴有两个重合的交点 C 对称轴是直线x 1 D 当x 1时 y随x的增大而减小 D 考向训练1 1 2016益阳 二次函数y 2x2 3的图象是一条抛物线 下列关于该抛物线的说法 正确的是 A 抛物线开口向下 B 抛物线经过点 2 3 C 抛物线的对称轴是直线x 1 D 抛物线与x轴有两个交点 D 考向训练1 2 2016成都 解析 A a 2 则抛物线y 2x2 3的开口向上 所以A选项错误 B 当x 2时 y 2 4 3 5 则抛物线不经过点 2 3 所以B选项错误 C 抛物线的对称轴为直线x 0 所以C选项错误 D 当y 0时 2x2 3 0 此方程有两个不相等的实数解 所以D选项正确 故选D 已知二次函数y ax2 bx c中 函数y与x的部分对应值如下 则当y 5时 x的取值范围是 0 x 4 考向训练1 3 解析 由表格中的数据可知 x 2是抛物线的对称轴 且顶点为最小值 根据抛物线的对称性可得 当y 5时 x 0或x 4 所以当y 5时 x的取值范围是0 x 4 二次函数的平移 核心母题 将抛物线y x2 4x 4向左平移3个单位 再向上平移5个单位 得到抛物线的函数表达式为 A y x 1 2 13 B y x 5 2 3 C y x 5 2 13 D y x 1 2 3 D 例2 2016山西 思路点拨 先把一般式化成顶点式 再根据平移规律得到平移后的关系式 解析 因为y x2 4x 4 x 2 2 8 所以抛物线y x2 4x 4的顶点坐标为 2 8 把点 2 8 向左平移3个单位 再向上平移5个单位所得对应点的坐标为 1 3 所以平移后的抛物线的函数表达式为y x 1 2 3 故选D 二次函数的平移规律 m 0 把抛物线y x2先向右平移2个单位 再向上平移3个单位 平移后抛物线的表达式是 y x 2 2 3 考向训练2 1 2016舟山 解析 抛物线y x2的顶点坐标为 0 0 点 0 0 向右平移2个单位 再向上平移3个单位所得对应点的坐标为 2 3 所以平移后抛物线的表达式为y x 2 2 3 将抛物线y x 1 2向下平移2个单位 再向右平移1个单位 得到的抛物线解析式为 y x2 2 考向训练2 2 要得到二次函数y x2 2x 3的图象 需将y x2的图象 A 向左平移1个单位 再向上平移4个单位 B 向右平移1个单位 再向上平移4个单位 C 向左平移1个单位 再向下平移2个单位 D 向右平移1个单位 再向下平移2个单位 B 考向训练2 3 抛物线y x2 bx c的图象先向右平移2个单位 再向下平移3个单位 所得图象的函数解析式为y x 1 2 4 则b c的值为 A b 2 c 6 B b 2 c 0 C b 6 c 8 D b 6 c 2 B 考向训练2 4 解析 函数y x 1 2 4的顶点坐标为 1 4 先向右平移2个单位 再向下平移3个单位得到 1 2 1 4 3 1 平移前的抛物线的顶点坐标为 1 1 平移前的抛物线为y x 1 2 1 即y x2 2x b 2 c 0 二次函数的图象与a b c的关系 核心母题 如图 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下四个结论 abc 0 a b c 0 a b 4ac b2 0 其中正确的结论有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 例3 2016枣庄 C 特殊代数式a b c a b c 4a 2b c 4a 2b c等的符号 由图象上点 1 a b c 1 a b c 2 4a 2b c 2 4a 2b c 位置确定 即由当x 1 1 2 2时点的位置确定 考向训练3 1 2015巴中 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 对称轴是直线x 1 下列结论 abc0 4a 2b c 0 其中正确的是 A B 只有 C D D 已知二次函数y ax2 bx c的图象与x轴交于点 2 0 x1 0 且10 其中正确的结论是 A B C D 考向训练3 2 昆区模拟 C 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论 a 0 c 0 b 0 b2 4ac 0 其中正确的个数有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 考向训练3 3 D 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 对称轴是直线x 1 则下列四个结论错误的是 A c 0 B 2a b 0 C b2 4ac 0 D a b c 0 考向训练3 4 包头模拟 D 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 有以下结论 a b c1 abc 0 4a 2b c1其中所有正确结论的序号是 A B C D 考向训练3 5 包头模拟 C 确定二次函数的解析式 核心母题 例4 6分 在平面直角坐标系内 抛物线y ax2 bx c经过原点O A 2 2 与B 1 5 三点 1 求抛物线的表达式 思路点拨 1 把三点坐标分别代入函数解析式 求得a b c的值即可 规范解答 2 求出该抛物线的顶点坐标 思路点拨 2 把函数解析式化为顶点式 即得顶点坐标 规范解答 注意 把坐标代入后列出方程组 否则扣分 按要求写出函数的表达式 否则扣分 确定二次函数的解析式 待定系数法 1 已知抛物线上三个点的坐标可设一般式 2 已知顶点坐标或对称轴可设顶点式 3 已知抛物线与x轴的交点坐标可设交点式 考向训练4 1 2016丹阳市模拟 抛物线的图象如图 则它的函数表达式是 当时 y 0 y x2 4x 3 x3 解析 观察可知抛物线的图象经过 1 0 3 0 0 3 由 交点式 得抛物线解析式为y a x 1 x 3 将 0 3 代入 得3 a 0 1 0 3 解得a 1 故函数表达式为y x2 4x 3 由图可知当x3时 y 0 考向训练4 2 包头中考改编 已知抛物线y x2 bx c经过点A 3 0 B 1 0 1 求抛物线的解析式 2 求抛物线的顶点坐标 解 1 抛物线y x2 bx c经过点A 3 0 B 1 0 抛物线的解析式为y x 3 x 1 即y x2 2x 3 2 抛物线的解析式为y x2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的顶点坐标为 1 4 二次函数与方程 不等式的关系 易错点 核心母题 若二次函数y ax2 2ax c的图象经过点 1 0 则方程ax2 2ax c 0的解为 A x1 3 x2 1 B x1 1 x2 3 C x1 1 x2 3 D x1 3 x2 1 思路点拨 先求出抛物线的对称轴 再根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称得出答案 例5 2016宿迁 C 解析 二次函数y ax2 2ax c的图象经过点 1 0 方程ax2 2ax c 0一定有一个解为x 1 抛物线的对称轴为直线x 1 二次函数y ax2 2ax c的图象与x轴的另一个交点为 3 0 方程ax2 2ax c 0的解为x1 1 x2 3 故选C 关于二次函数二次项系数a的讨论 1 若函数y ax2 bx c的图象与x轴只有一个公共点 则需分类讨论 当a 0时为一次函数 当a 0时 b2 4ac 0 2 若函数y ax2 bx c的图象与x轴有两个公共点 则函数是二次函数 除b2 4ac 0外 不要漏掉隐藏条件a 0 已知二次函数y x2 3x m m为常数 的图象与x轴的一个交点为 1 0 则关于x的一元二次方程x2 3x m 0的两实数根是 A x1 1 x2 1 B x1 1 x2 2 C x1 1 x2 0 D x1 1 x2 3 解析 二次函数的解析式是y x2 3x m m为常数 该抛物线的对称轴是x 又 二次函数y x2 3x m m为常数 的图象与x轴的一个交点为 1 0 该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 2 0 关于x的一元二次方程x2 3x m 0的两实数根分别是x1 1 x2 2 故选B 考向训练5 1 B 如图 已知直线y kx b k 0 与抛物线y x2交于A B两点 A B两点分别位于第二和第一象限 且A B两点的纵坐标分别是1和9 则不等式x2 kx b 0的解集为 A 13 C 13 解析 由x2 kx b 0得x2 kx b A B两点的纵坐标分别是1和9 点A的横坐标为 1 点B的横坐标为3 当x3时 抛物线图象在直线图象上方 故不等式x2 kx b 0的解集为x3 故选B 考向训练5 2 B 若二次函数y ax2 bx c a0成立的x的取值范围是 A x2 B 4 x 2 C x 4或x 2 D 4 x 2 解析 二次函数y ax2 bx c a0成立的x的取值范围是 4 x 2 故选D 考向训练5 3 D 已知二次函数y kx2 2k 1 x 1与x轴交点的横坐标为x1 x2 且x1x2时 y 0 x1 1 其中正确的结论是 A B C D 解析 抛物线与x轴交点的横坐标为x1 x2 且x10 即x1 1 故 正确 故选C 考向训练5 4 C 若关于x的一元二次方程 x 2 x 3 m有实数根x1 x2 且x1 x2 有下列结论 x1 2 x2 3 m 二次函数y x x1 x x2 m的图象与x轴交点坐标为 2 0 和 3 0 其中正确结论的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 考向训练5 5 C 4 二次函数与图形综合应用 核心母题 例6 如图 抛物线y x2 bx c与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物线的解析式 思路点拨 1 把点A B坐标代入解析式 求出b c的值 2 设抛物线上有一个动点P 当点P移动到什么位置时 满足S PAB 8 并求出此时P点的坐标 思路点拨 2 根据S PAB 8 求得P的纵坐标 把纵坐标代入抛物线的解析式求解 根据三角形面积求抛物线上点的坐标 1 设出抛物线上点的坐标 2 根据三角形面积公式列方程 求出点的纵 横 坐标 3 把点的纵 横 坐标代入解析式 确定点的坐标 如图 在平面直角坐标系中 点A在抛物线y x2 2x 2上运动 过点A作AC x轴于点C 以AC为对角线作矩形ABCD 连接