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数学归纳法 问题1 大球中有5个小球 如何证明它们都是绿色的 问题2 完全归纳法 不完全归纳法 问题3 某人看到树上乌鸦是黑的 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的 问题情境一 费马 fermat 曾经提出一个猜想 形如fn 22n 1 n 0 1 2 的数都是质数 100年后 问题情境二 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法 归纳法 多米诺骨牌课件演示 2 验证前一问题与后一问题有递推关系 相当于前牌推倒后牌 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 1 处理第一个问题 相当于推倒第一块骨牌 问题情境三 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 归纳奠基 2 假设当n k k n k n0 时命题成立证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法 归纳递推 框图表示 例1 用数学归纳法证明 1 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 左边所得项是 当n 2时 左边所得项是 1 2 3 1 2 3 4 5 a 1 b 1 a c 1 a a2 d 1 a a2 a3 c 课堂练习 3 用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数列 则an a1 n 1 d对于一切n n 都成立 4 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 n2证明 1 当n 1时左 1 右 12 1 n 1时 等式成立 2 假设n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 当n k 1时左 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1时命题成立由 1 2 可知等式对任何n n 都成立 递推基础 递推依据 1 数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法 主要有两个步骤一个结论 归纳奠基 1 证明当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 2 假设n k时结论正
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