2019-2020学年新乡市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省新乡市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合，则( )ABCD【答案】A【解析】先确定集合中元素，然后根据交集定义求解【详解】由题意，故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题2已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )ABCD【答案】A【解析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，倾斜角为故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角3函数的零点所在的区间是( )ABCD【答案】C【解析】根据零点存在定理判断【详解】，零点在区间上故选：C【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题4已知，则的边上的中线所在的直线方程为( )ABCD【答案】C【解析】求出中点坐标，由两点式写出直线方程，再化为一般式【详解】由题意边的中点为，中线方程为，整理得故选：C【点睛】本题考查求直线方程，直线方程有多种形式，可根据条件用相应形式写出直线方程，然后整理为一般式5已知且，则函数和在同一个平面直角坐标系的图象可能是( )ABCD【答案】B【解析】按和分类，确定的单调性，的对称轴【详解】时，是增函数，只有C、D满足，此时的对称轴是，C、D都不满足，不合题意；时，是减函数，只有A、B满足，此时的对称轴是，其中只有B满足故选：B【点睛】本题考查函数的图象，根据和分类讨论指数函数的单调性和二次函数的对称轴从而得出结论6已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为( )ABCD【答案】C【解析】先研究时，的正负，然后根据奇函数性质得出时函数值的正负，从而可得不等式的解集【详解】时， ，时，时，又是奇函数，时，时，又，的解集为故选：C【点睛】本题考查奇函数的性质利用奇函数在关于原点对称的区间上函数值相反，可以通过只讨论时和的解得出时相应的解，从而得出在整个定义域上原不等式的解集7已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.【详解】选项A,C直线可能在平面内，故不正确；选项B, 若，则，或在平面内，而，故与可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D：由 ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线，故为正确.故选：D【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.8已知，则( )ABCD【答案】B【解析】把化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与比较【详解】，又，而，故选：B【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如等等9某几何体的三视图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:)是( )ABCD【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积【详解】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，其体积为故选：D【点睛】本题考查三视图，考查柱体的体积解题关键是由三视图还原出原几何体10在四面体中，则四面体外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】平面，是外接球球心，是的中心，得到平面，以及计算出的长度，从而可以得到外接球的半径，得到四面体外接球的表面积.【详解】，平面，平面. 如图，设是外接球球心，是的中心，则平面， ，则，故四面体外接球的表面积是. 故选：A.【点睛】本题考查求四面积外接球的表面积，需要一定的空间想象能力，属于中档题.11已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】计算圆关于轴对称的圆为，的最小值为，计算得到答案.【详解】圆关于轴对称的圆为圆则的最小值为.故选：【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.12已知函数，则方程的解的个数是( )ABCD【答案】C【解析】作出两函数的图象，观察交点个数注意函数在时的图象与周期函数相似【详解】根据的解析式知，在区间，（）上的图象相同，作出函数图象，如图，同时作出的图象，它是一条直线，由于，因此它们有4个交点即方程有4个解故选：C【点睛】本题考查方程根的个数问题，解题时转化为函数图象交点个数，通过作出函数图象观察分析得出结论只是要注意函数的图象在时呈现周期性的性质，其图象重复出现二、填空题13两平行直线与之间的距离_.【答案】【解析】由平行线间距离公式计算【详解】由题意所求距离为故答案为：3【点睛】本题考查平行线间距离公式，属于基础题求平行间距离时，两直线方程中的系数与的系数都要相同14已知集合，且，则的值为_.【答案】【解析】题意说明，由此求出，但要代入检验，必须符合集合元素的互异性，符合两集合交集为的条件【详解】，由，若，则，此时，舍去，解得（舍去），此时，由，又，故答案为：3【点睛】本题考查集合的交集，由交集的结论求参数，解题时要注意验证，特别是集合元素的互异性15在长方体中， ，点为长方形对角线的交点，为棱的中点，则异面直线与所成的角为_.【答案】【解析】作出异面直线所成的角，然后解三角形得角【详解】如图，取中点，连接，是中点，从而有，或其补角是异面直线与所成的角，在长方体中，易求得，异面直线与所成的角是故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角，然后通过解三角形求得此角，注意异面直线所成的角的范围是或写成16用表示三个数中的最大值，设，则不等式的解集为_.【答案】【解析】先求出分段函数的解析式，确定函数的单调性，然后解不等式，【详解】作出函数的图象，如图，由得，由得，在上递减，在上递增，或，不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查新定义函数，解函数不等式，解题关键是确定新函数的解析式，由数形结合思想很容易得结论三、解答题17(1)计算；(2)已知集合，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据根式的概念，幂的运算法则，对数运算法则进行计算；（2）先确定集合中元素，由要分类讨论，分和讨论【详解】（1）原式；（2）由题意，若，即，则满足题意，若，则，解得，综上，的取值范围是【点睛】本题考查根式的概念，考查幂的运算和对数的运算，考查集合的包含关系，在子集中要注意空集是任何集合的子集，因此子集问题中一般要分类18已知直线过点.(1)求直线的方程；(2)光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，试求入射光线和反射光线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）反射光线，入射光线【解析】（1）用截距式写出直线方程，然后化为一般式；（2）分别求出两点关于直线的对称点的坐标，就是反射光线所在直线，就是入射光线所在直线【详解】（1）由题意直线方程为，即（2）设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，即，同理可得点关于直线的对称点的坐标为，直线方程为，即，此为入射光线所在直线方程直线方程为，即，此为反射光线所在直线方程【点睛】本题考查求直线方程，直线方程有多种形式，可根据具体条件选用不同形式写出直线方程，但最后一般要化为一般式或斜截式反射光线与入射光线问题，可以通过求对称点坐标，利用入射光线与反射光线的对称性求得直线方程19已知是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)设，求在上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值，最小值【解析】（1）由奇函数定义求出，再由求得，得解析式；（2）是二次函数，由二次函数性质可得最值【详解】（1）是奇函数，解得，；（2）由（1），对称轴为，【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查求二次函数在给定区间上的最值，属于基础题20如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ，面，.(1)证明:平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在直角梯形中，由勾股定理逆定理得，再由面，得，于是有平面，从而可得面面垂直；（2）利用等体积法可求得到平面的距离.【详解】（1）证明：在直角梯形中，由，得，又面，平面，平面，平面平面；（2）由（1）得，设点到平面的距离为，则，点到平面的距离为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求点到平面的距离，立体几何中求点到平面的距离在高不易作出的情况下常用等体积法，即一个三棱锥的体积用两种方法表示，一种易求得体积，另一种只求得底面积，高（即所求距离）不易得，由两者相等即可得距离21直线：与坐标轴的交点为，以线段为直径的圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆交于，两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先计算交点为，根据得到，再计算圆心和半径得到答案（2）计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算得到答案.【详解】（1）直线：与坐标轴的交点为，.因为以线段为直径的圆经过点，所以，所以，解得.所以圆的圆心为线段的中点，其坐标为，半径，圆的标准方程为.（2）因为圆心到直线：的距离为，所以.【点睛】本题考查了圆的标准方程，弦长，意在考查学生的计算能力.22已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围【详解】（1）设，则，即，在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即