北京市人大附中高中数学第一章解三角形课件人教版必修五1.2 正、余弦定理应用举例.ppt

1 2正 余弦定理应用举例 中国人民大学附属中学 实际问题应用模型 问题1 怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度 如图 在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼 如何通过测量 求得角楼的高度 分析 如图 设线段ab表示角楼的高度 在宫墙外护城河畔的马路边 选位置c对角楼进行测量 设cc 为测量仪器的高 过点c 的水平面与ab相交于点b 这时由测点c 可测得点a的仰角 的大小 在 ab c 中 三条边的长度都无法测出 因而ab 无法求得 如果移动测量仪cc 到dd 测量仪高度不变 想想看 我们能测得哪些数据 使问题得以解决 事实上 如图所示 在点b c d 构成的三角形中 可以测得 和 的大小 又可测得b c 的长 这样 我们就可以根据正弦定理求出边b c 的长 从而求出ab 的长 使得问题得到解决 某校用自制的仪器 测得 20 99 45 cd 60m 测量仪器的高是1 5m 试求出故宫角楼的高度 精确到0 1米 解 在 b c d 中 由正弦定理得 因此 在 ab c 中 ab b c tan 72 17 tan20 26 3m 因此 ab ab bb 26 3 1 5 27 8 m 答 故宫角楼的高约为27 8m 问题2怎样测量地面上两个不能到达的地方间的距离 设a b是两个海岛 如何测量它们之间的距离 分析 如图 a b分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施 与问题1类似 如果只旋转一个测点c 那么在 abc中只能测得 acb的大小 问题不能得到解决 因此需要再选择一个测点d 构造一个能测出其一条边长的 bcd 要求出ab 还应先求出ac和bc 为此应先解决 acd和 bcd 解 如图在海边适当选取两个测点c d 使a b c d在一个平面内 测得cd a acb adc bcd bdc 在 bcd中 由正弦定理 得 即 在 acd中 a 180 由正弦定理 得 在 abc中 由余弦定理 得ab2 bc2 ac2 2bc accos 把bc ac代入上式即可求出ab 问题3 如图 墙上有一个三角形灯架oab 灯所受的重力为10n 且oa ob都是细杆 只受沿杆方向的力 试求杆oa ob所受的力 分析 点o处受到三个力的作用 灯线向下的拉力 记为f o到a方向的拉力 记为f1 从b到o方向的支持力 记为f2 这三个力是平衡的 即f f1 f2 0 解 如图作 将f沿a到o o到b两个方向进行分解 作 oced 则 由题设条件可知 在 oce中 由正弦定理得 因此 答 灯杆ao所受的拉力为11 3n 灯杆ob所受的压力为12 3n 问题4 如图 在海滨某城市附近海面有一台风 据检测 台风中心位于城市a的南偏东30 方向 据城市300km的海面p处 并以20km h的速度向北偏西45 方向移动 如果台风侵袭的范围为圆形区域 半径为120km 几小时后该城市开始受到台风的侵袭 精确到0 1h 解 如图所示 设台风的中心x小时到达位置q时 开始侵袭该城市 在 aqp中 依题意 得aq 120km ap 300km pq 20 x p 60 45 15 a 180 15 q 165 q 由正弦定理 得方程组 由 得 所以 q 40 3 不合题意舍去 q 139 7 因此 a 180 15 139 7 25 3 代入 得 所以 答 大约9 9小时后 该城市开始受到台风的侵袭 例5 甲船在a点发现乙船在北偏东60 的b处 乙船以每小时a海里的速度向北行驶 已知甲船的速度是每小时a海里 问甲船应沿什么方向前进 才能最快与乙船相遇 解 如图所示 设经过t小时两船在c点相遇 则在 abc中 有bc at ac at b 90 30 120 由 得 因为0 cab 90 所以 cab 30 故 dac 60 30 30 答 甲船应沿北偏东30 的方向前进 才能最快与乙船相遇 例4 如图所示 a是海面上一条南北方向的海防警戒线 在a上点a处有一个水声监测点 另两个监测点b c分别在a的正东方20km处和54km处 某时刻 检测点b收到发自静止目标p的一个声波 8s后监测点a 20s后监测点c相继收到这一信号 在当时的气象条件下 声波在水中的传播速度是1 5km s 1 设a到p的距离为xkm 用x表示b c到p的距离并求x的值 2 求静止目标p到海防警戒线a的距离 结果精确到0 01km 解 1 依题意知pa pb 1 5 8 12 km pc pb 1 5 20 30 km 因此pb x 12 km pc 18