高中数学2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征新课件课标人教B版必修3.ppt

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 某市高三数学抽样考试中 对90分以上 含90分 的成绩进行统计 其频率分布图如图 若130 140分数段的人数为90人 则90 100分数段的人数为 810 2 一个容量为20的样本数据 分组后 组距与频数如下 0 20 2 20 30 3 30 40 4 40 50 5 50 60 4 60 70 2 则样本在 50 上的频率为 7 10 2400 2700 3000 3300 3600 3900 x体重 y 0 001 3 观察新生婴儿的体重 其频率分布直方图如图所示 则新生婴儿体重 2700 3000 的频率为 0 3 一 复习众数 中位数 平均数的概念 2 中位数 将一组数据按大小依次排列 把处在最中间位置的一个数据 或最中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 1 众数 在一组数据中 出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 众数 中位数 平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数 只是描述的角度不同 其中以平均数的应用最为广泛 3 平均数 一般地 如果n个数 那么 叫做这n个数的平均数 1 求下列各组数据的众数 1 1 2 3 3 3 5 5 8 8 8 9 9 众数是 3和8 2 1 2 3 3 3 5 5 8 8 9 9 众数是 3 2 求下列各组数据的中位数 1 1 2 3 3 3 4 6 8 8 8 9 9 2 1 2 3 3 3 4 8 8 8 9 9 中位数是 5 中位数是 4 3 在一次中学生田径运动会上 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示 分别求这些运动员成绩的众数 中位数与平均数 解 在17个数据中 1 75出现了4次 出现的次数最多 即这组数据的众数是1 75 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的 其中第9个数据1 70是最中间的一个数据 即这组数据的中位数是1 70 答 17名运动员成绩的众数 中位数 平均数依次是1 75 米 1 70 米 1 69 米 这组数据的平均数是 通过抽样 我们获得了100位居民某年的月平均用水量 单位 t 如下表 在抽样调查的100位居民的月均用水量的数据中 我们得知这一组样本数据的 并画出这组数据的频率分布直方图 众数 2 3 t 中位数 2 0 t 平均数 2 0 t 现在 观察这组数据的频率分布直方图 能否得出这组数据的众数 中位数和平均数 众数 中位数和平均数 0 5 2 5 2 1 5 1 4 3 5 3 4 5 频率组距 2 25 分析总结得 因为在频率分布直方图中 各小长方形的面积表示相应各组的频率 也显示出样本数据落在各小组的比例的大小 所以从图中可以看到 在区间 2 2 5 的小长方形的面积最大 即这组的频率是最大的 也就是说月均用水量在区间 2 2 5 内的居民最多 即众数就是在区间 2 2 5 内 众数在样本数据的频率分布直方图中 就是最高矩形的中点的横坐标 0 5 2 5 2 1 5 1 4 3 5 3 4 5 频率组距 0 04 0 08 0 15 0 22 0 25 0 14 0 06 0 04 0 02 提示 中位数左边的数据个数与右边的数据个数是相等的 0 5 2 5 2 1 5 1 4 3 5 3 4 5 频率组距 0 04 0 08 0 15 0 22 0 25 0 14 0 06 0 04 0 02 前四个小矩形的面积和 0 49 后四个小矩形的面积和 0 26 2 02 分析总结得 在样本中 有50 的个体小于或等于中位数 也有50 的个体大于或等于中位数 因此 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 在这个频率分布直方图中 左边的直方图的面积代表50个单位 右边的直方图也是代表50个单位 它们的分界线与x轴交点的横坐标就是中位数 中位数在样本数据的频率分布直方图中 就是把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 思考讨论以下问题 1 2 02这个中位数的估计值 与样本的中位数值2 0不一样 你能解释其中原因吗 答 2 02这个中位数的估计值 与样本的中位数值2 0不一样 这是因为样本数据的频率分布直方图 只是直观地表明分布的形状 但是从直方图本身得不出原始的数据内容 直方图已经损失一些样本信息 所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致 0 5 2 5 2 1 5 1 4 3 5 3 4 5 频率组距 0 04 0 08 0 15 0 22 0 25 0 14 0 06 0 04 0 02 提示 在频率分布直方图中 各个组的平均数如何找 0 5 2 5 2 1 5 1 4 3 5 3 4 5 频率组距 0 04 0 08 0 15 0 22 0 25 0 14 0 06 0 04 0 02 0 75 1 75 2 25 2 75 3 25 3 75 4 25 1 25 0 5 请同学们看基础训练p69 例2 总结归纳得 平均数是频率分布直方图的 重心 是直方图的平衡点 先找出每个小长方形的 重心 即每小组的平均数 再按比例算出直方图的平均数 平均数在样本数据的频率分布直方图中 等于频率分布直方图中每个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 二 三种数字特征的优缺点 1 众数体现了样本数据的最大集中点 但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征 2 中位数是样本数据所占频率的等分线 它不受少数几个极端值的影响 这在某些情况下是优点 但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 3 平均数与每一个样本的数据有关 与众数 中位数比较起来 平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 但平均数受数据中的极端值的影响较大 使平均数在估计时可靠性降低 三众数 中位数 平均数的简单应用 例某工厂人员及工资构成如下 1 指出这个问题中周工资的众数 中位数 平均数 2 这个问题中 工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗 为什么 分析 众数为200 中位数为220 平均数为300 因平均数为300 由表格中所列出的数据可见 只有经理在平均数以上 其余的人都在平均数以下 故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平 答 这个企业的老板以员工平均工资收入水平去描述他们单位的收入情况 我觉得这是不合理的 因为这些员工当中 少数经理层次的收入与大多数一般员工收入的差别比较大 所以平均数不能反映该单位员工的收入水平 这个老板的话有误导与蒙骗行为 你认为 我们单位的收入水平比别的单位高 这句话应当怎么解释 二 用样本的标准差估计总体的标准差 数据的离散程度可以用极差 方差或标准差来描述 为了表示样本数据的单位表示的波动幅度 通常要求出样本方差或者它的算术平方根 来衡量这组数据的波动大小 并把它叫做这组数据的方差 一组数据方差越大 则这组数据波动越大 那么我们用它们的平均数 即 2 标准差 我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量 例2 计算数据5 7 7 8 10 11的标准差 例5 从甲 乙两名学生中选拔一人乘积射击比赛 对他们的射击水平进行测试 两人在相同的条件下各射击10次 命中环数如下 甲 7 8 6 8 6 5 8 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 1 计算甲 乙两人射击命中环数的平均数和标准差 2 比较两人的成绩 然后决定选择哪一人参赛 2 由 1 知 甲 乙两人平均成绩相等 但s乙 s甲 这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些 从成绩的稳定性考虑 可以选乙参赛 3 标准差和频率直方图的关系 从标准差的定义可知 如果样本各数据都相等 则标准差得0 这表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 若个体的值与平均数的差的绝对值较大 则标准差也较大 表明数据的波动幅度也很大 数据的离散程度很高 因此标准差描述了数据对平均数的离散程度 如果数据 的平均数为 方差为 则 4 方差的运算性质 练习 3 若k1 k2 k8的方差为3 则2 k1 3 2 k2 3 2 k8 3 的方差为 4 32 12 a b 6 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 9 5 0 016 三 回顾小结 1 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类 用样本平均数估计总体平均数 用样本方差 标准差估计总体方差 标准差 样本容量越大 估计就越精确 2 方差 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小 反映了一组数据变化的幅度 3 掌握样本平均数 方差和标准差计算方法 2 为了保护学生的视力 教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换 已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下 试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差 解 各组中值分别为165 195 225 285 315 345 375 由此算得平均数约为 165 1 195 11 225 18 255 20 285 25 315 16 345 7 375 2 267 9 268 天 这些组中值的方差为 1 165 268 2 11 195 268 2 18 225 268 2 20 255 268 2 25 285 268 2 16 315 268 2 7 345 268 2 2 375 268 2 100 2128 60 天2 故所求的标准差约 天 答 估计这