第一部分数学Ⅰ必做题部分专题Ⅰ-14课时达标自测.doc

1(2013新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为_解析：由题意知抛物线的焦点F(，0)，如图，由抛物线定义知|PF|PM|，又|PF|4，所以xP3，代入抛物线方程求得yP2，所以SPOF|OF|yP2.答案：22(2013淮安模拟)已知椭圆1及以下3个函数：f(x)x；f(x)sin x；f(x)cos x其中函数图像能等分该椭圆面积的函数有_解析：要使函数yf(x)的图像能等分该椭圆的面积，则f(x)的图像应该关于椭圆的中心O对称，即f(x)为奇函数，和均满足条件答案：3(2013镇江调研)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点若8a，则双曲线的离心率的取值范围是_解析：设|PF2|y，则(y2a)28ay(y2a)20y2acae3.答案：(1,34已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为_解析：由题意知，抛物线的准线l：y1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1.则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故M到x轴的距离d2.答案：25(2013苏州质检)过双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A，B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析：设双曲线C的一个焦点为F，则过点F作圆的两条切线，依题意得AOF60，cos 60，则双曲线的离心率e2.答案：26(2013苏北八校一模)若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_解析：由椭圆y21知c2413，c，C，D是该椭圆的两焦点令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案：17.如图，正方形ABCD内接于椭圆1(ab0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且点A，M都在第一象限(1)若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2.求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2k是定值解：(1)由题意知，解得椭圆的标准方程为1.(2)证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s2t，t)，代入椭圆方程1中，得整理可得e21.k，2e2k2，故2e2k为定值8(2013徐州二模)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3的直线l恰好与圆C2相切(1)求椭圆C1的离心率；(2)若的最大值为49，求椭圆C1的方程解：(1)由题意可知直线l的方程为bxcy(3)c0，因为直线l与圆C2：x2(y3)21相切，所以d1，即a22c2，从而e.(2)设点P的坐标为(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则1(c0)，又()()22x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当c3时，()max172c249，解得c4，此时椭圆方程为1；当0c3时，()max(c3)2172c249，解得c53但c533，故舍去综上所述，椭圆C1的方程为1.9已知椭圆C：1(ab0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：xy0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1k24，证明：直线AB过定点.解：(1)等轴双曲线离心率为，椭圆C的离心率e.e2，a22b2.xy0与圆x2y2b2相切，b1，a22.椭圆C的方程为：y21.(2)若直线AB的斜率不存在，设方程为xx0，则点A(x0，y0)，B(x0，y0)由已知4，得x0.此时AB方程为x，显然过点.若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm，依题意m1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(12k2)x24kmx2m220.则x1x2，x1x2.由已知k1k24，可得4.又y1kx1m，y2kx2m，4，化简整理得(2k4)x1x2(1m)(x1x2)(2k4)(1m)，整理得k(m1)2(m21)又m1，k2(m1)直线AB的方程为y2(m1)xm，即(2x1)my2x.令2x10，y2x0，即x，y1.直线AB过定点.10(2013南京师大附中适应性月考)已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点(1)若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率e，时，求椭圆长轴长的最大值解：(1)e，2c2，a，c1，则b 1，椭圆的方程为y21，联立消去y得3x24x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B(0,1)，|AB|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，0，即x1x2y1y20，由消去y得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得a2b21，又x1x2，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x