2013中考综合题(三季-四边形)(共七季).doc

湖北襄阳市47中 朱弟华2013中考综合题（三季-四边形）（共七季）1.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为. 点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.（3）若存在点P，使PCF=45，请直接写出相应的点P的坐标.OCDBA备用图yxPEOFCDBAxy解：（1）由题意知，点C是y=x+2与y轴的交点当x=0时，y=2 C（0，2）将C、D坐标代入抛物线解析式得： 解得b=，c=2抛物线的解析式为y=-x2+x+2（2）PFOC当四边形OCPF是平行四边形时，PF=OC=2由题意得，P（m，-m2+m+2），F（m，m+2）点P在y轴右侧 m0PF=|-m2+m+2-(m+2)|=|-m2+3m |=2当P在CD上方时，-m2+3m=2 则m2-3m+2=0，解得m=1或2当P在CD下方时，-m2+3m=-2则m2-3m-2=0解得m=或(舍去)故，当m=1或2或时，四边形OCPF是平行四边形（3）点P坐标为（，）或（，） 当P在CD上方时，PF=-m2+3m，如下左图。由PKFCHFGOC可求得：PK=(6m-2m2)，FK=(3m-m2)，CF=mPCF=45 PK=CK=CF+FK则(6m-2m2)=(3m-m2)+m整理得2m2-m=0解得m=0(舍去)或P（，） 当P在CD下方时，PF=m2-3m，如下右图。与同理，可求得：PK=(2m2-6m)，FK=(m2-3m)，CF=m由PK=CK=CF-FK得(2m2-6m)=m-(m2-3m)整理得6m2-23m=0解得m=0(舍去)或P（，）湖北襄阳市47中 朱弟华2如图，已知抛物线经过A（-8，0），B（2，0）两点，直线交轴于点C，交抛物线于点D. （1）求该抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，点E在直线上，若以A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；（3）若B，D，C三点到同一条直线的距离分别是，问是否存在直线l，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）抛物线经过A（-8，0），B（2，0）两点， 解得： 2分； 3分（2）点P在抛物线上，点E在直线上，设点P的坐标为，点E的坐标为,.如图1，点A（-8，0），.当AO为一边时，EPAO, 且，解得：，.P1(，14)，P2(4，6) 5分当AO为对角线时，则点P和点E必关于点C成中心对称，故. 解得： P3 (，).当P1(，14)，P2(4，6)，P3 (，)时，A，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形. 7分（3）存在直线，使. 8分的值为：，.12分OADCB（图1）OADCBOADB（图3）（图2）HGEFHEFCGI（3）参考答案：解:存在直线使.连BD.过点C作CHBD于点H.（如图2）由题意得C(-4，0) ，B(2，0) ，D(-4，-6），OC=4 ，OB=2，CD=6.CDB为等腰直角三角形. CH=CD，即:.BD=2CH，BD=.CO：OB=2：1，过点O且平行于BD的直线满足条件作BE直线于点E ，DF直线于点F，设CH交直线于点G.，即: .则， ，即，,.，即.如图2，在CDB外作直线l2平行于DB，延长CH交l2于点G,使, .如图3，过H，O作直线，作BE于点E，DF于点F，CG于点G，由可知，则，即: .CO：OB=2：1，.作HI轴于点I， HI= CI=3. OI=4-3=1，.OCH的面积=，.如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，易证：，.存在直线，使.的值为：，.3、如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，版若90，且交正方形外角的平分线于点。（1）图1中若点是边的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（3分）（2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）。是否总成立？请给出证明；（5分）在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标（4分）图1图2 解：（1）如图1，取的中点，连接 2分 与全等 3分（2）若点在线段上滑动时总成立 (第25题)图2图1证明：如图2，在上截取 4分，是等腰直角三角形，又平分正方形的外角， 6分而,， 7分 8分过点作轴于， 9分由知，设，则，点的坐标为 10分点恰好落在抛物线上，www.z%z#step.co&m，（负值不合题意，舍去），点的坐标为 12分4如图，已知二次函数的图象过点A（0，3），B（，），对称轴为直线x=，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题3718684分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明PCFOED，得CF=DE；证明CDMFEN，得CD=EF这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形；（3）根据已知条件，利用相似三角形PCFMDC，可以证明矩形PMON是正方形这样点P就是抛物线y=x2+x3与坐标象限角平分线y=x或y=x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个解答：（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+）2+k，点A（0，3），B（，）在抛物线上，解得：a=1，k=抛物线的解析式为：y=（x+）2=x2+x3（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FCPMx轴于点M，PNy轴于点N，四边形PMON为矩形，PM=ON，PN=OMPC=MP，OE=ON，PC=OE；MD=OM，NF=NP，MD=NF，PF=OD在PCF与OED中，PCFOED（SAS），CF=DE同理可证：CDMFEN，CD=EFCF=DE，CD=EF，四边形CDEF是平行四边形（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=m，MD=n，PF=n若四边形CDEF为矩形，则DCF=90，易证PCFMDC，即，化简得：m2=n2，m=n，即矩形PMON为正方形点P为抛物线y=x2+x3与坐标象限角平分线y=x或y=x的交点联立，解得，P1（，），P2（，）；联立，解得，P3（3，3），P4（1，1）抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（，），P2（，），P3（3，3），P4（1，1）5.如图，在直角梯形AOCB中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为A，且经过点C点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QDOC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E（1）求抛物线的解析式；（2）点E是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE是菱形？（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PBOD？考点：二次函数综合题分析：（1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式；（2）利用菱形的性质得出AO与EE互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案；（3）首先得出APBQDO，进而得出=，求出m的值，进而得出答案解答：解：（1）A（0，2）为抛物线的顶点，设y=ax2+2，点C（3，0），在抛物线上，9a+2=0，解得：a=，抛物线为；y=x2+2；（2）如果四边形OEAE是菱形，则AO与EE互相垂直平分，EE经过AO的中点，点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：1=x2+2，解得：x=，点E在第一象限，点E为（，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，BC的解析式为：y=x+3，将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=x，由，得：，Q点坐标为：（，0），当Q点坐标为（，0）时，四边形OEAE是菱形；（3）法一：设t为m秒时，PBDO，又QDy轴，则有APB=AOE=ODQ，又BAP=DQO，则有APBQDO，=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=33m，又点D在直线y=x+3上，DQ=3m，因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，当t=秒时，PBOD法二：作BHOC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OCOH=2，BH=HC，BCH=CBH=45，易知DQ=CQ，设t为m秒时PBOE，则ABPQOD，=，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=33m，=，解得m=，经检验m=是方程的解，当t为秒时，PBOD6.如图，在坐标系中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，A(1,0)，B(0，2)，抛物线的图象过C点。（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l。当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3分）AOBCyx备用图（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由。（4分）AOBCyxl解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB与CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=SABC=AB2=设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，CE边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合题意，舍去），当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在如答图2所示，过点C作CGy轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1过点A作APBC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形过点P作PHx轴于点H，则易证PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）抛物线解析式为：y=x2x2，当x=2时，y=1，即点P在抛物线上存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，1）7.如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点坐标为A(-2, 0). （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求C点坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由; （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的图象经过点A(-2, 0)有1分 2分 抛物线解析式为 3分对称轴方程为：即为所求4分（或用配方法求出对称轴方程，酌情给分） （2）在中，令则 点C(0, 4) 1分令，则2分3分 A(-2, 0） B(8, 0)4分设直线BC的解析式为，把B(8, 0), C(0, 4)的坐标分别代入解析式则有， 5分 直线BC的解析式为6分 （3）可判定AOCCOB成立.1分 理由如下：在AOC与COB中 OA=2 ，OC=4 ，OB=8 2分有，3分又AOC=BOC=904分 AOCCOB5分 （4）抛物线的对称轴方程为：可设点Q(3, t)则可求得，1分 i）当时， 有 Q1(3, 0) 2分ii）当时，有，此时方程无实数根. 此时ACQ不能构成等腰三角形3分iii）当时， 点Q坐标为：Q2(3, ) Q3(3, )5分故满足条件的Q点坐标为：Q1(3, 0), Q2(3, ) ， Q3(3, )8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C，（1）求抛物线的表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE判断四边形OAEB的形状，并说明理由；点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M与点B不重合，当，请直接写出线段BM的长9.如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图） 解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形， ,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分)10.已知抛物线经过点A（0，1)，B (4，3)（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BC轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标ABoxy（第24题图） 解：（1）抛物线经过点A（0，1)，B(4，3).所以 1分解得 1分抛物线的解析式为1分(2)过点B作轴的垂线，垂足为H，过点A作AGBO，垂足为GA（0，1)，B(4，3)，OA=1,OB=5 1分，AG= 1分OG=，BG= 1分tanABO= 1分（3）设直线AB的解析式为将A（0，1)，B(4，3)代入得 解得，直线AB的解析式为1分设M，N，MN=1分四边形MNCB为平行四边形，MN=BC=3，=3解得1分抛物线的对称轴为直线，直线MN在抛物线对称轴的左侧 1分，M111.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA（1）求点A的坐标和AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C连接OC和AC，把AOC沿OA翻折得到四边形ACOC试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：探究型分析：（1）由y=x2+2x得，y=（x2）22，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令x2+2x=0得出点B的坐标过点A作ADx轴，垂足为D，由ADO=90可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CEx轴，垂足为E；过点A作AFCE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，由此即可得出结论；（3）过点C作CGx轴，垂足为G，由于OC和OC关于OA对称，AOB=AOH=45，故可得出COH=COG，再根据CEOH可知OCE=COG，根据全等三角形的判定定理可知CEOCGO，故可得出点C的坐标把x=4代入抛物线y=x2+2x进行检验即可得出结论；（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q（a，（a2）24），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论解答：解：（1）由y=x2+2x得，y=（x2）22，抛物线的顶点A的坐标为（2，2），令x2+2x=0，解得x1=0，x2=4，点B的坐标为（4，0），过点A作ADx轴，垂足为D，ADO=90，点A的坐标为（2，2），点D的坐标为（2，0），OD=AD=2，AOB=45；（2）四边形ACOC为菱形由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，4），抛物线的解析式为：y=（x2）24，即y=x22x2，过点C作CEx轴，垂足为E；过点A作AFCE，垂足为F，与y轴交与点H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CEEF=2，OC=2，同理，AC=2，OC=AC，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，故四边形ACOC为菱形（3）如图1，点C不在抛物线y=x2+2x上理由如下：过点C作CGx轴，垂足为G，OC和OC关于OA对称，AOB=AOH=45，COH=COG，CEOH，OCE=COG，又CEO=CGO=90，OC=OC，CEOCGO，OG=4，CG=2，点C的坐标为（4，2），把x=4代入抛物线y=x2+2x得y=0，点C不在抛物线y=x2+2x上；（4）存在符合条件的点Q点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，设Q（a，（a2）24），OC为该四边形的一条边，OP为对角线，=0，解得x1=6，x2=4，P（6，4）或（2，4）（舍去），点Q的坐标为（6，4）12如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y(xm)2m2m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使ADAC，连结BD作AEx轴，DEy轴（1）当m2时，求点B的坐标；（2）求DE的长?（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解（1）当m2时，y(x2)21把x0代入y(x2)21，得：y2点B的坐标为（0，2） （2）延长EA，交y轴于点FADAC，AFCAED90，CAFDAEAFCAEDAFAE，点A（m，m2m），点B（0，m）AFAE|m|，BFm