永济市中山街学校二次函数的性质.doc

课 题二次函数的图像与性质授课日期2017年 3 月14 日授课类型新课课 时 2课时（总课时数）教学目标1、 经历探索二次函数图像的画法和性质的过程，能用描点法画出二次函数的图像，并能根据图像认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。2、 建立二次函数表达式与图像之间的联系，理解表达式中的系数对图像的影响。3、 能利用二次函数图像的对称轴和顶点坐标公式解决问题。重点难点重点：1、作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质.2、a与c对二次函数图象的影响.难点:1、由的图象及性质对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点.2、a与c对二次函数图象的影响.教学手段多媒体、教学方法：教师引导。学习方法：独立思考，合作交流。第一课时备 注课时目标知识与技能1能够利用描点法画函数的图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质2猜想并能作出的图象，能比较它与的图象的异同过程与方法1经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验2由函数的图象及性质，对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维情感与态度1通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解2在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质重点难点教学重点：作出函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质.教学难点：由的图象及性质对比地学习的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学步骤及主要内容（一）创设问题情境，引入新课师我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为（其中均为常数且）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数的图象师一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？生记得. 列表，描点，连线.师非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出的图象.（1）列表：x-3-2-10123y9410149（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.Oyx师同学们有没有什么疑惑？生老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？师这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.生老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当时，随着值的增大，的值如何变化？当时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.生（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当时，图象在y轴的左侧随着值的增大，y的值逐渐减小；当时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.师大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、的图象的性质师二次函数，它的开口_,且关于_对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的_,它是图象的_.同学们在补充一下：生（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.（3）图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x0时，y最小值0.4、做一做PPT显示：二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数的图象有什么关系？与同伴进行交流.师请大家按照画图的步骤作出函数的图象.生的图象如下图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于轴对称.Oyx师下面我们试着讨论的图象的性质.生（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是轴.在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随着的增大而减小.（4）图象与轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当时，最大值0.师大家总结得非常棒.5、函数与的图象的比较.我们观察函数与的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，开口向上，开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在图象上，在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随着的增大而减小，在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而增大.在的图象上正好相反.（3）、在中有最小值，即时，y最小值0；在中，有最大值.即当时，最大值0.（4）、有最低点，有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于轴对称.联系：它们的图象关于轴对称.6、思考拓展.师从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？生从和两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？师很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象、（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象、（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？生1原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.生2老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.师说得非常好，对于这类二次函数来说，与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）课堂小结由二次函数y=x2和y=-x2知：1. 抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸； 当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.本课作业习题2.2 第1、2题板书设计： 二次函数的图像与性质一、步骤二、性质第二课时备 注课时目标知识目标：1、能做出二次函数y=ax和y=ax+c的图象，并能够比较他们与二次函数y=x的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响.2、能说出二次函数y=ax与y=ax+c图象的开口方向、对称轴和定点坐标.知识与能力目标：经历探索二次函数y=ax和y=ax+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，掌握研究一个函数图象的三个基本步骤.情感态度价值观：体验从特殊到一般的过程，在深入学习新知的过程中体验到科学的分析精神.重点难点a与c对二次函数图象的影响.教学步骤及主要内容一、复习回顾二次函数y=x、y=-x 引导学生分别说出开口方向、顶点、对称轴、增减性二、在画有y=x的直角坐标系中画出y=2x的图像1、列表18 8 2 0 2 8 182、描点3、连线4、对比开口方向都向上、对称轴都是y轴、顶点都是（0,0）Y=2x开口比较小5、想一想， 与y=x、y=2x有什么异同点 三、结论：形如y=ax的二次函数图像，|a|越大，图像开口反而越小开口方向 对称轴 顶点 增减性 a0 向上 Y轴 （0,0） x0时，y随x增大而增大；x0时，y随x增大而减小 a0向下 Y轴 （0,0） x0时，y随x增大而减小；x0时，y随x增大而增大四、考虑二次函数y=2x+1的图像与二次函数y=2x的图像有什么异同？二次函数 y = 2 x + 1 的图象与二次函数 y = 2 x 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？你能通过平移画出y=2x-1的图像吗？说说你是怎么做的. 二次函数 y = 2 x，y = 2 x + 1，y = 2 x - 1 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同将二次函数 y = 2 x 的图象向上平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x + 1 的图象；将二次函数 y = 2 x 的图象向下平移 1 个单位，就得到函数 y = 2 x - 1 的图象五、结论二次函数y=ax与y=ax+c的图像都是抛物线，开口方向和形状都相同 C0时，把y=ax向上平移c个单位得到y=ax+cC0时，把y=ax向下平移c个单位得到y=ax+c课堂小结1、形如y=ax的二次函数图像，|a|越大，图像开口反而越小2、二次函数y=ax与y=ax+c的图像都是抛物线，开口方向和形状都相同 C0时，把y=ax向上平移c个单位得到y=ax+cC0时，把y=ax向下平移c个单位得到y=a