2016初一奥数讲义 (1).doc

第一章三角形第一节概念理解和应用一、知识点梳理(1) 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.(2) 三角形的分类.三角形(按边分)三角形(按角分) (3) 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4) 三角形的重要线段三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)（5）三角形具有稳定性（6）三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。（7）多边形的外角和恒为360。二、典例分析例1 一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系）针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为3cm ,则它的另一边长是 。例2如图,已知中, 的角平分线BD,CE相交于点 O,且求。（内角和定理）OADCBAE思考：若，则的度数为多少？例3 如图，BP平分FBC，CP平分ECB，A=40求BPC的度数。ACEPB4213F例4 如图,AD是的中线,DE=2AE.若AEBDC例5：已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的1/4，求这个多边形的边数。（内角和与外角和、用方程解）一个正多边形的每一个内角和都等于1200，求它的边数。正多边形与镶嵌例6 用正三角形、正方形、正六边形能否进行镶嵌？思路分析：可以进行镶嵌的条件是：一个顶点各个内角和是360。三、本章思想方法：1、方程思想例7 已知：在中，C=ABC，BEAC，是正三角形，求C的度数。针对性练习：1、能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（ ）A、角平分线 B、中线 C、高 D、两边中点连线图22、如图2，在中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，则的值为 。 A.2cm2 B.1cm2 C.cm2 D.cm23、中,AB=AC.周长为16cm.AC边上的中线BD将分成周长之差为2cm的两个三角形.求的各边长.反馈练习：1、下面四个图形中，线段BE是ABC的高的图是（ ） A B C D2如图所示,在ABC中,ACB=90,把ABC沿直线AC翻折180,使点B 落在点B的位置,则线段AC具有性质( )毛 A.是边BB上的中线 B.是边BB上的高 C.是BAB的角平分线 D.以上三种3、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1cm,2cm,3cm B.1cm,2cm,4cm; C.2cm,3cm,4cm D.2cm,3cm,6cm4、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( ) A.9 B.12 C.15 D.12或155、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛 A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形6、已知ABC中,A=2(B+C),则A的度数为( ) A.100 B.120 C.140 D.1607、在ABC中,B,C的平分线交于点O,若BOC=132,则A=_度.8、如图所示,在ABC中,ADBC于D,AE平分BAC,且B=36, C=76,求EAD的度数。9、如图，已知DE分别交ABC的边AB、AC于点D、E，交BC的延长线于点F，B=63，ACB=75，AED=46,求BDF的度数。 第二节稍复杂的角度转化知识要点：1内角和定理2外角定理3角平分线定义一例题解析1.如图，四边形ABCD中，AC90，BE、DF分别是ABC、ADC的平分线.（1）1与2有何关系，为什么?（2）BE与DF有何关系?请说明理由.2.已知：A=C=90.(1)如图，若DE平分ADC,BF平分ABC的外角,问DE与BF的位置关系，并证明；(2)如图，若BF、DE分别平分ABC、ADC的外角，问BF与DE的位置关系并证明.4在 ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线相交于点P,求证：P90+A5如图，ACD是ABC的外角，BP平分ABC，CP平分ACD，且BP、CP交于点P. 求证：PA.61一个等腰三角形的一个外角等于110，则这个三角形的三个角应该为 。 2在ABC中，AB = AC，周长为20cm，D是AC上一点，ABD与BCD面积相等且周长差为3cm，ABC各边的长为 。7如图137所示平面上六个点A，B， C，D，E，F构成一个封闭折线图形求：A+B+C+D+E+F 8如图1-41所示A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F的度数 巩固练习1如图，ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，CAB50，C60，求DAC及BOA2如图，A60，DFAB于F，DGAC交AB于G，DEAB交AC于E。求GDF的度数。解：DFAB（ ）DFA90（ ）DEAB（ ）1 （ ）EDF180DFA1809090（）DGAC（）2 （）GDF 3如图146所示A+B+C+D+E的大小4如图 147所示求 A+B+C+D+E的大小5在ABC中，BD、CD分别是ABC、ACB的列角平分线，试说明D=90-A。 6如图，已知：DEBC，CD是ACB的平分线，B70，ACB50，求EDC和BDC的度数7如图，则n 第二章全等三角形和应用第一节全等初步知识要点：1全等三角形的性质;对应边相等，对应角相等。判定定理1SSS2SAS3AAS4ASA5HL特别注意不能用边边角证题例1 如果ABC的三边长分别为3，5，7，DEF的三边长分别为3，3x2，2x1，若这两个三角形全等，则x等于（ ）DCEBA例2如图，AB=AC，AD = AE，CD=BE求证：DAB=EACABCDE例3已知：如图，C是AB的中点，ADCE，AD=CE求证：ADCCEBABCED例4已知：如图，ACBD，BC=CE，AC=DC求证：B+D=90；ABCED（第6题）ABCED（第6题）ABCED（第6题）ABCED（第6题）ABCED（第6题）例5如图，已知12，34，ECAD，求证：ABBE例6如图，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CDABCDEF求证：BEACABCDEF（第6题）例7如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，AD=BD（1）求证：AC =BE；EACDB（2）求B的度数。例8求证等腰三角两腰相等 三线合一 若一个三角形有两个角相等求证这个三角形是等腰三角形例9求证30度角所对直角边等于斜边的一半例10求证直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半ACFED巩固练习1如图，ACFADE，AD=9，AE=4，求DF的长ACFEDACFED2如图，AB=AC，BD=CD，那么B与C是否相等？为什么？ABCD（第6题）ABCD3已知：如图，ACCE，AC=CE，ABC=CDE=90，求证：BD=AB+ED AECBD4 如图， A，C，D，B在同一条直线上，AE=BF，AD=BC，AEBF.求证：FDECDCFBAE5如图，在ABC中，ABAC，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BDCE，DEFB，图中是否存在和BDE全等的三角形？并证明6如图，ADBC，DAB的平分线与CBA的平分线交于点P，过点P的直线垂直于AD，垂足为点D，交BC于点C试问：（1）点P是线段CD的中点吗？为什么？ABCDP（2）线段AD与线段BC的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？ 第二节全等三角形的简单应用例1如图2-1所示1=2，ABC=DCB求证：AB=DC例2已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF例3如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。求证：DE=DFAEBDCF例4如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC例5已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEF例6在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）例7三角形ABC中，BAC=90度，过B、C作经过A直线的垂线BD、CE，垂足为D、E。AC=AB证明：DE=BD+CE例8已知三角形ABC，在BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且AF=BD=CE。证明：若三角形是ABC正三角形，那么三角形DEF也是正三角形 例9已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F (1)求证：CAD； (2)求BFD的度数例10如图，DCE=90o，CD=CE，ADAC，BEAC，垂足分别为A、B，试说明AD+ABBE.例11如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） 巩固练习1已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF 2已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上求证：CAE=DAB 3已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：ADECBF4如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD 5如图2-13所示ABC的高AD与BE相交于H，且BH=AC求证：BCH=ABC6如图2-5所示在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQAD于Q求证：BP=2PQ 第三节全等中难题1已知BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB。求证：APAQ；APAQ。2在ABC中， AD是BAC的平分线，EF的垂直平分线AD交BC的延长线于F，求CAF=B3求证三角形三条内角平分线交于一点。4求证三角形三条中垂线交于一点5如图2-83所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC6如图，分别是EAB，DBC的平分线若，则BAC的度数为_7以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形ABE和等边BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EFEC；（2）EBCF巩固练习1已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=CDCBAFE2如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC 3如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 4如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF5如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。6已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.ACEDB7如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OCF=OBE求证：OE=OF且CFBE8已知：如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点A作AHBE，垂足为H，延长AH交CD于点F求证：DE=CF9如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，求证：AFDE 第三章代数式与方程知识要点：1主元思想2条件求值代入3配对意识一方程中的主元思想1解关于x的方程2关于x的方程有无穷个解求k3 关于x的方程 无论k为何值总有x=1为解求方程ax+b=bx+1的解4解关于x的方程mx-1=nx5解关于x的方程6解关于x的方程7关于x的方程a(x-1)=2x-7有正实数解求a的范围综合问题1 m,n都是正整数且8m+9n=mn+6求m最大是多少？2 解关于x的一元一次方程（a,b,c,d大于0）3解关于x的方程 （a+b+c不为0）巩固练习1关于x的方程3（2x+a）=4(x-a)解为x=3求a2 7(x-2)=2x-34和7（x+a）+4=-6-3(x+a)解相同求a3 解是a+2求方程22(x+3)-3(x-a)=3a的解4解关于x的方程m(x-1)=3x+25解关于x的方程ax-b=2x-36解关于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b7解关于x的方程 3x+b=ax+5 关于 x的方程 解恒为1求a,b8解关于x的方程（a,b,c为正数）9一个长方形的长和宽都为正整数且周长和面积的值相等。求长和宽第四章方程和方程组应用题知识要点：常用的3个等量关系1多与少，局部合成整体2倍数或比例3不变量例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。若第二天剩下6个核桃。问海滩上原有多少个核桃？例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。”请你算算，丢番图活了多大年龄？例3、A、B两地距离126km，甲每小时前进20km，乙每小时前进16 km，甲乙二人同时由A地出发前往B地，甲到B地后立即返回，问从A出发后几小时，乙在去的路上和甲返回时相遇？例4、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风飞行需h，逆风飞行需3h，风速每小时24 km，求两个城市的距离。例5、有含盐8%的盐水60kg，要不要配成含盐20%的盐水，需加盐多少？例6一农场工人要将两片草地上的草锄掉，大的一片草地的面积是小的一片的两倍，上午工人们都在大的草地上锄草，午后工人们对半分开，一半留在大片草地上，到晚上大片草地上草锄完了，另一半去小片草地上，到晚上，还剩下一块没锄完，次日由一个工人去锄，一天恰好锄完。问农场有多少个工人？（不考虑草的生长）例7一只狗追一只兔子，在狗跳6次的时间内兔子只跳了5次，狗跳4次的距离和兔子跳7次的距离相等。兔子跑出5.5M后狗开始在后面追。问兔子再跑出多少路程就被狗追上了？例8如图，游泳者在河中逆流而上，在桥A正面将水壶遗失被水冲走，继续前进了20分钟后，他发现水壶遗失，立即回头追寻水壶，在桥A下游2千米处B处追到水壶。问该河水流速是每小时多少千米？例9公共汽车每隔一定时间从始发站发车一次，有人在街上匀速行走，发现每隔6分钟从背后开过一辆公共汽车，每隔分钟迎面有一辆公共汽车驶来。问公共汽车每隔多少时间发车一次？例10草原上有一片青草，到处长的一样密一样快，70头牛24天内可以吃完，30头牛60天可以吃完。问可供多少头牛吃96天？例11有三种合金。第一种锌，铜，铁的含量比2:3:1，第二种是2:4:3.第三种是1:2:1，混合后三种金属的比为5:9:5.三种合金共570千克。三种合金各有多少？例12甲对乙说：我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半.乙对甲说：我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7.问：甲、乙二人现在各多少岁？例13某商场在一楼和二楼间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩沿自动扶梯同时从第一楼出发走到第二楼，（扶梯本身也在匀速行驶）如果男孩与女孩都作为匀速运动考虑，且男孩每分钟走动的级数是女孩每分钟走动的级数的两倍，已知男孩走了60级，到达扶梯顶部，而女孩走了55级到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只跨1级），试问扶梯露在外面的部分多少级？1一根细蜡烛和一根粗蜡烛，细蜡烛长度是粗蜡烛的2倍，烧完一根细蜡烛要1小时，烧完一根粗蜡烛要2小时，同时点燃2根蜡烛多少分钟后细蜡烛比粗蜡烛短20？2若干人去领取一些书，其中第一个人拿走3本和余下的，第二个人拿走6本和余下的，第三个人拿走9本和余下的。最后书恰好分完并且每个人拿的书一样多。问有多少人领书？一共有多少本书？3甲乙两件工作的工作量比是7：5，做工的人数比4：3,开工2天后甲完成了任务，乙超额完成了2人2天的任务，求做两件工作的各多少人？4长沙市某公园的门票价格如下表所示:购票人数150人51100人100人以上票价10元/人8元/人5元/人 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动,其中甲班有50多人,乙班不足50人,如果以班为单位分别买门票,两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一个团体购票,一共要付515元,问甲、乙两班分别有多少人?5用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？6一船顺水行驶60千米，逆水行80千米共用11小时。如果顺水行90千米，逆水行100千米共用14.5 小时。求船的静水速度和水速？7若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少？ 第五章平面直角坐标系知识要点：1概念的理解2四个象限中x与y的正负关系3关于坐标轴，原点的对称点4分类讨论的意识以及对绝对值的深入理解5理解中点公式，会用割补法求格点三角形和多边形面积例1一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1,1）、（1，2）、（3,1），则第四个顶点的坐标为例2在如图所示的直角坐标系中，四边形的各个顶点的坐标分别是（，），（，），（，）（，）确定这个四边形的面积。你是怎样做的？例3请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置： ，你发现这些点有什么位置关系？你能再找出类似的点吗？（再写出三点即可）例4点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是例5已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单