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定积分 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 宽为dx的小矩形面积f xi dx近似地去代替 4 逼近 所求曲边梯形的面积s为 3 作和 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积s的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在区间 a b 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 如果当n 时 sn就无限接近于某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积s的过程中可以看出 通过 四个步骤 分割 以直代曲 求和 逼近 设函数f x 在区间 a b 上有定义 将区间 a b 等分成n个小区间 每个区间的长度为 x 在每个区间上取一点 依次为x1 x2 xi xn 作和sn f x1 x f x2 x f xi x f xn x 如果 x无限趋近于0 亦即n趋向于 时 sn无限趋近于常数s 那么称该常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 一 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x dx 叫做被积表达式 f x 叫做被积函数 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 积分下限 积分上限 按定积分的定义 有 1 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 3 设物体在变力f f r 的方向上有位移 则f在位移区间 a b 内所做的功w为 1 说明 1 定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 4 定积分的几何意义 x a x b与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f x 0时 由y f x x a x b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 s 上述曲边梯形面积的负值 4 定积分的几何意义 s 定积分的几何意义 在区间 a b 上曲线与x轴所围成图形面积的代数和 即x轴上方的面积减去x轴下方的面积 例 计算下列定积分 三 定积分的基本性质 性质1 性质2 三 定积分的基本性质 定积分
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