工程力学教案（中）.doc

课程名称工程力学教学单元名称第5章 剪切和挤压5.1 剪切的概念5.2 剪切的实用计算5.3挤压及其实用计算5.4 剪切胡克定律单元能力培养目标确定剪切面、挤压面；对联接件进行剪切和挤压的强度计算的能力。知识点 技能点 剪切和挤压的概念；剪切面和挤压面的确定；对连接件进行强度计算。单元教学设计 以工程实例分析剪切和挤压的变形和受力特点；通过销钉和平键说明连接件三种问题的解决方法单元教学方式课堂讲授 作业教材P194 13-3 13-4【教学内容】第5章 剪切和挤压5.1 剪切的概念 构件在一对大小相等、方向相反、作用线相隔很近的外力(或外力的合力)作用下，截面沿着力的作用方向发生相对错动的变形称为剪切变形。在变形过程中，产生相对错动的截面（如-）称为剪切面。图5-1机械中常用的一些联接件：联接两钢板的精制螺栓； 图5-2联接齿轮和轴的键 图5-35.2 剪切的实用计算剪力 图5-4切应力 （5-1）剪切强度条件为 （5-2）5.3挤压及其实用计算接触表面互相压紧而产生局部变形的现象，称为挤压 图5-5圆柱形联接件的挤压面积计算挤压强度条件 （5-3）图5-6 图5-7例5-2 拖车挂钩的销钉连接，图5-7a所示。已知挂钩部分的钢板厚度，销钉与钢板的材料相同，许用切应力，许用挤压应力，拖车的拉力。试计算销钉直径。解 （1）销钉的剪切强度计算 由 = 得销钉的直径为 选取（2）销钉的挤压强度计算。所以，选取铆钉直径是安全的。例5-3 某车床电动机轴与皮带轮用平键联接（图5-8a）。已知轴的直径，键的尺寸bh=10860 mm（图5-8b），传递的力矩。键材料为45号钢，许用剪切应力，许用挤压应力。皮带轮材料为铸铁，许用挤压应力。试校核键联接的强度。解 （1）计算作用于键上的力F 取轴与键一起为研究对象，其受力如图5-9a所示。由平衡条件得F=图5-8（2）校核键的剪切强度 =（3）校核挤压强度=剪切和挤压强度足够，整个键联接强度足够。5.4 剪切胡克定律矩形直角的微小改变量，称为切应变或角应变当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比（图5-9b ）,称为剪切虎克定律. （5-4）图5-9课程名称工程力学教学单元名称第6章 圆轴扭矩 6.1 圆轴扭矩的概念6.2 扭矩 扭矩图单元能力培养目标外力法、截面法求杆件横截面上扭矩的能力；绘制扭矩图的能力。知识点 技能点 圆轴扭转的概念；外力法计算扭矩的方法；扭矩图的绘制。单元教学设计 分析圆轴扭转的受力特点和变形特点，在讲截面法的基础上推导出外力法，并且强调取截面左侧和右侧，计算结果相同。单元教学方式课堂讲授 作业教材P206 141、143【教学内容】第6章 圆轴扭转6.1 圆轴扭转的概念在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下，它们的横截面将绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形。 图6-1 图6-2 6.2 扭矩 扭矩图1外力偶矩的计算 （6-1）2内力扭矩的计算求得 图6-3 扭矩的正负号规定:用右手螺旋法则将扭矩表示为矢量，即四指弯向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指向。若扭矩矢量的方向与横截面外法线方向一致，则扭矩为正（图6-4a）；反之为负外力法：当外力偶矩矢量与横截面外法线方向相反时为正；相同为负，利用此方法计算截面以左（或以右）所有外力偶矩的代数和，即可直接求出该截面上扭矩的大小和正负。扭矩图：用横坐标表示轴各截面的位置，纵坐标表示相应截面上的扭矩，正扭矩画在横坐标的上面， 负扭矩画在横坐标的下面的图形。例6-1 图6-5a为一齿轮轴，已知轴的转速n=300，齿轮A输入功率 ，齿轮B、C输出功率，。不计轴和轴承的摩擦阻力，试作该轴的扭矩图。 图6-5 解 （1）计算外力偶矩（2）计算扭矩 （3）画扭矩图根据以上计算的结果，按比例画扭矩图（图6-5b）。课程名称工程力学教学单元名称第6章 圆轴扭转6.3 圆轴扭转时的应力和变形6.4 圆轴扭转时的强度和刚度计算单元能力培养目标计算圆轴横截面上任一点切应力的能力；计算圆轴扭转变形的能力；对圆轴进行强度和刚度计算的能力。知识点 技能点 圆轴扭转切应力、极惯性矩的概念；实心圆和空心圆极惯性矩的计算方法；计算切应力的方法；强度和刚度计算方法。单元教学设计 通过圆轴扭转变形分析横截面上的应力分布规律；定性分析切应力公式的含义，通过实例说明圆轴扭转强度、刚度三类问题的解决方法。单元教学方式课堂讲授 作业教材P206 144、146【教学内容】6.3 圆轴扭转时的应力和变形6.3.1 圆轴扭转时的应力 6.3.1.1横截面上的切应力分布规律：横截面上某点的切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处为零，圆轴表面最大，在半径为的同一圆周上各点的切应力相等，其方向与其半径相垂直。图6-9图6-96.3.1.2 横截面对圆心的极惯性矩 实心圆： （6-5） 空心圆： （6-6）6.3.1.3 切应力计算公式 横截面上任一点切应力公式 （6-8） 最大切应力公式 （6-9）式中称为抗扭截面模量 实心圆： 空心圆：6.3.2 圆轴扭转时的变形 两横截面间相对转过的角度为扭转角 （6-10）称为圆轴的抗扭刚度。图6-11例6-3 某传动轴，如图6-12a所示。已知轴上力偶矩，。轴材料的剪切弹性模量。试求该轴的最大切应力和截面A相对截面C的扭转角。解 （1）分段计算各截面的扭矩，并画出扭矩图。AB段 BC段 （2）计算轴上各段的最大切应力图6-12AB段 BC段 （3）计算A、C两截面间的扭转角A、B两截面间的扭转角B、C两截面间的相对扭转角6.4 圆轴扭转时的强度和刚度计算6.4.1 强度计算 强度条件 （6-11）6.4.2 刚度计算 刚度条件 （6-12b）图6-15例6-5 某机器传动轴如图（6-15a）所示。已知轮B输入功率，轮A，C，D分别输出功率为 ，轴的转速，轴材料的，剪切弹性模量。试按轴的强度和刚度设计轴的直径。解 （1）计算外力偶矩（2）画扭矩图 首先计算各段的扭矩AB段的扭矩 BC 段的扭矩 CD 段的扭矩 （3）按强度条件计算轴的直径d（4）按刚度条件计算轴的直径d 由公式（6-12b）得1为了使该轴同时满足强度和刚度要求，选取。例6-6 联轴器如图6-16所示，两凸缘用四个的螺栓联结。已知轴的转速，；键和螺栓的许用应力，。试计算该联轴器能传递的最大功率（kW）。解 （1）确定联轴器能传递的最大功率由扭转强度条件得轴能承受的最大扭矩为6-16图 （2）校核键的剪切、挤压强度所以键的剪切和挤压强度均足够。（3）校核螺栓剪切强度所以螺栓的剪切强度足够。此联接结构能传递的最大功率课程名称工程力学教学单元名称第7章 梁的弯曲7.1 弯曲的概念7.2 梁弯曲横截面上的内力剪力和弯矩单元能力培养目标认识识别机械工程中常见的梁，理解平面弯曲的概念；会分析梁上的受力类型，简化梁约束基本形式的能力。学会用截面法求解计算横截面上剪力和弯曲的方法，并会判定剪力和弯矩的正负的能力。知识点 技能点平面弯曲的概念；梁的三种简化基本形式、力的三种简化作用方式；求解横截面上内力的方法截面法；横截面上剪力和弯矩的计算及符号规定。单元教学设计 以桥式起重机的横粱、列车车厢的轮轴、镗床刀架等工程实例引入梁、平面弯曲的概念；并以此分析梁受约束的三种简化基本形式；分析归纳梁受载荷作用时的三种作用方式。以简支梁为例，分析截面法求解梁横截面上剪力和弯矩及判定其正负的方法。单元教学方式理论授课多媒体作业调查报告：观察钻床摇臂梁的平面弯曲变形，分析梁的约束和受载情况，绘制简图。【教学内容】第7章 梁的弯曲分析工程中常见受弯杆件所具有的共同特点是：在过杆轴线的平面内，受到垂直于轴线方向的外力作用，杆的轴线由变形前的直线变为一条弯曲线。工程中通常把以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 7.1 弯曲的概念7.1.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念。 工程中的梁多数具有这样的特征：即梁的横截面具有一竖直对称轴线，整个梁具有一个包含轴线的纵向对称平面；梁上作用的所有外载荷都位于梁的纵向对称平面内，梁的轴线将弯成一条在这个纵向对称平面内的平面曲线；梁上的外力垂直于轴线方向作用。7.1.2 梁上载荷的简化和梁的基本形式梁的实际载荷主要简化为下面三种作用方式集中力 将分布在很短一段梁上的横向力，简化为作用在梁上一点的集中力。 均布载荷 当作用在一段梁上的载荷沿轴线均匀分布时，可简化为均布载荷，又称载荷集度，为一常数。集中力偶 分布在很短一段梁上的力，可简化为一作用面在纵向对称平面内的集中力偶。简化载荷后的梁、按它们的约束情况分为以下三种基本形式：（1）简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座。（2）外伸梁 梁由一个固定铰支座和一个活动铰支座支承，梁一端或两端伸出支座之外。（3）悬臂梁 梁的一端固定，另一端自由。以上梁的支座约束力都能由静力平衡方程确定，称为静定梁。7.2 梁弯曲横截面上的内力剪力和弯矩7.2.1 用截面法求剪力和弯矩求梁内力的基本方法截面法。应用截面法计算任一横截面上的弯曲内力。其上、是梁承受的已知集中力，、和l是已知的尺寸。1画梁的受力图和计算梁的支座约束力先画出梁的受力图，再建立平衡方程，求出支座约束力和，即 2截开m-m截面、画出截面内力 剪力和弯矩按截面法沿m-m截面假想地将梁截为左、右两段，现以左段梁为研究对象，在m-m截面上存在两个内力分量：一个沿截面作用的内力FQ，称为剪力，另一个在外力作用平面内的内力偶矩M，称为弯矩。剪力使梁产生剪切变形，弯矩使梁产生弯曲变形。3剪力和弯矩的符号规定剪力：截面外法线顺时针转90后与剪力同指向时，剪力为正，反之为负。弯矩：使微段梁发生下凸的变形时，弯矩为正，反之为负。 对某一段梁来说，若截面在该段梁的左侧，则其上剪力向上为正，弯矩以顺时针转向为正；若截面在该段梁的右侧，则其上的剪力向下为正，弯矩以逆时针转向为正。归纳成一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。4任取左段或右段梁，求截面的剪力和弯矩以左段梁为研究对象， 建立平衡方程 解出截面剪力 同样，由右段梁的平衡，也可求得m-m截面上数值相同的剪力和弯矩。由上分析，梁横截面的剪力和弯矩与梁的外载荷之间存在以下的关系：（1）任一横截面的剪力等于该截面左侧段（或右侧段）上所有外力在垂直轴线上投影的代数和，即 当以左侧段为研究对象时，其上所有外力向上为正，向下为负。取右侧段为研究对象时，与左侧段相反。记忆口诀是：左上右下，外力为正。（2）任一横截面上的弯矩等于该截面左侧段（或右侧段）上所有外载荷对该截面形心c之矩的代数和，即以左侧段为研究对象时，其上的外载荷对截面形心c之矩以顺时针转向为正，逆时针转向为负。取右侧段为研究对象时，记忆口诀是：左顺右逆，外力矩为正。7.2.2 任意截面上剪力和弯矩的计算若以截面左侧段梁为研究对象，就假想用纸把截面右侧段梁遮住，根据左侧段梁的载荷直接写出若以截面右侧段梁为研究对象，就假想用纸把截面左侧段梁遮住。直接写出 例7-1 如图所示一简支梁受集中力，集中力偶矩，均布载荷集度作用。求截面1-1、2-2上的剪力和弯矩。（题中长度单位为mm）解 （1） 画简支梁受力图和求支座反力 根据梁的受力图建立平衡方程， ， 解出支座反力 （2）计算1-1和2-2截面上的剪力和弯矩运用前面介绍的剪力和弯矩计算方法，求1-1截面的剪力和弯矩时，取1-1截面左侧段梁为研究对象，假想用纸把截面右侧段梁遮住。直接写出 求2-2截面的剪力和弯矩时，取2-2截面右侧段梁为研究对象更加方便，假想用纸把截面左侧段梁遮住。直接写出课程名称工程力学教学单元名称第7章 梁的弯曲7.3 剪力图和弯矩图单元能力培养目标理解方程与弯矩方程的概念、由剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的方法。理解剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系。掌握由剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系作弯矩图的方法。知识点 技能点剪力方程、弯矩方程的概念，剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图都是梁强度计算和刚度计算的重要依据，是工程力学主要基础知识之一，也是学习工程力学时应该掌握的基本技能。单元教学设计 以悬臂梁、简支梁为例，分析梁上受集中载荷、均布载荷、集中力偶拒作用时的剪力图、弯矩图的绘制方法。由剪力方程和弯矩方程得出剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，并利用此关系掌握作弯矩图的方法。单元教学方式理论授课多媒体作业教材P218 15-1(b)、15-2(a)(f)、15-5【教学内容】第7章 梁的弯曲7.3 剪力图和弯矩图7.3.1 剪力方程和弯矩方程图7-10剪力方程和弯矩方程。坐标x的原点一般取在梁的左端面处，设横截面沿梁轴线的位置用坐标表示，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标的函数，即 （7-1） （7-2）7.3.2 剪力图和弯矩图以横截面上的剪力或弯矩值为纵坐标，以横截面沿梁轴线的位置为横坐标分别绘出表示或的函数图形，称为剪力图和弯矩图。正值的剪力和弯矩画在轴上侧，负值的剪力和弯矩画在轴下侧。例7-2 悬臂梁长，在自由端受集中力作用，如图7-10所示。试绘制梁的剪力图和弯矩图。 解 （1）建立剪力方程和弯矩方程以A为坐标原点，在距原点的截面处假想截开，取左侧段为研究对象，并设截面上的剪力和弯矩为正，如图b示。 （1） （0 ） （2）（2）绘制剪力图和弯矩图如图d所示。从剪力图和弯矩图可见，在梁的各横截面上，剪力都相同；在固定端的左侧横截面上，弯矩的绝对值最大，为。例7-3 简支梁AB受均布载荷作用，梁长（图7-11 a）。试绘制梁的剪力图和弯矩图。解 （1）画梁的受力图和求支座反力 画出梁的受力图（图a所示）。求得A、B两处的支座反力是梁上总载荷的一半，为 （2）建立剪力方程和弯矩方程以A为坐标原点，在距原点的截面处假想截开后取左侧段为研究对象，图7-11b示。直接写出AB段内的剪力方程和弯矩方程分别为图7-11 （0x） （1） （0x） （2） （3）画剪力图和弯矩图式（1）表示的剪力为的一次函数，剪力图是一条斜直线，在区段内分别选和两点坐标代入剪力方程（1），绘出的剪力图是一条斜直线，见图7-11c示。式（2）弯矩方程为的二次函数，弯矩图是一条抛物线，在区段内分别选数个特征点坐标代入弯矩方程（2），特征点坐标中至少应有、和 三点，得到特征值、和 ，见图7-11d示。从绘制的剪力图和弯矩图可知，在两支座附近的横截面上剪力的绝对值最大，为坐标 0剪力 0弯矩00 在梁的中点截面处，剪力为零；弯矩的绝对值最大 例7-4 简支梁受集中力F作用（图7-12a），图中尺寸a、b、均已知，试画该梁的剪力图和弯矩图。解 （1）画受力图和求支座反力 由梁的受力图（图7-12a）建立平衡方程 求得支反力为 （2）建立剪力方程和弯矩方程 AC段： 取距原点为x的任意截面，以截面左侧段为研究对象（受力分析图省略），其上的剪力和弯矩方程分别为 （1） （0 a）（2）CB段：取距原点为x的任意截面，以截面左侧段为研究对象，其上的剪力和弯矩方程分别为 （3） （a x l） （4）【讨论】：取梁的右端端面为坐标原点，以距该原点为的任意截面右侧段为研究对象，计算更为方便简练（图7-12b所示）。其剪力方程和弯矩方程为CB段： （5） （0 b） （6）（3）画剪力图和弯矩图【分析讨论】：（1）式，AC段内梁的任意横截面上的剪力为一不变的常数，各截面的剪力相同，为，剪力图是一条在x轴上方的水平直线。（2）式，弯矩方程为x的一次函数，需在AC区段内选两个特征点坐标代入弯矩方程（2），即 和，求出特征值、，绘制的AC段弯矩图是一条左低右高的斜直线。（3）式，在BC段内梁的任意横截面上的剪力为一不变的常数，各截面的剪力相同，为，剪力图是一条在轴下方的水平直线。（4）式，弯矩方程为的一次函数，在CB区段内选两个特征点坐标代入弯矩方程（4），即和，得到特征值、，绘出CB段弯矩图是一条左高右低的斜直线。通过以上分析后，绘出的梁的剪力图和弯矩图，见图7-12c和d所示。从图7-12c和d看出，当 a b时，CB段的剪力的绝对值最大，为 图7-13在梁的集中力作用截面处，弯矩的绝对值最大，为 当时，集中力作用在梁的中点截面处，则有 例7-5 一简支梁受集中力偶M作用（图7-13a），图中尺寸、均已知，试绘制梁的剪力图和弯矩图。 解 （1）画受力图和求支座反力由于梁受一个集中力偶作用下处于平衡，满足力偶的平衡条件，由此得出A、B两处的支座反力必大小相等、指向相反，即 （2）建立剪力方程和弯矩方程即AB段（0 x）的剪力方程： （1）AC段的弯矩方程： （0 x） （2）CB的弯矩方程段：（0 x1 ） （3）（3）画剪力图和弯矩图【分析】 由（1）式，全梁的任意横截面上的剪力为一不变的常数 ，大小为，绘出的剪力图是在x轴上方的水平直线。（2）式，AC段内弯矩方程为x的一次函数，取特征坐标点 和代入弯矩方程（2），得到AC段弯矩图是一条左低右高的斜直线。将和代入式（3），CB区段内的弯矩图是一条左高右低的斜直线。从图7-13c和d看出，全梁的剪力为一不变的常数 ，为当 a b时，最大的弯矩发生在C截面的左侧附近，其绝对值为 7.3.3 剪力 弯矩和载荷集度间的关系梁上各截面的剪力和弯矩不同，剪力图和弯矩图的形状也不同，梁的剪力图、弯矩图与梁上载荷之间存在一定的微分关系，剪力方程的一阶导数等于载荷集度，弯矩方程的一阶导数等于剪力方程。 上述三式的几何意义分别是：剪力图上任一点切线的斜率等于梁上对应点处的载荷集度；弯矩图上任一点切线的斜率等于梁上对应点处横截面上的剪力；弯矩图的凹凸形状可由载荷集度的正、负确定。利用这些微分关系，可以对梁的剪力、弯矩图进行绘制和检查。【分析归纳】总结梁的剪力图、弯矩图与梁上载荷之间的一些规律如下：1若梁上某段无分布载荷作用，则剪力为一不变的常数，剪力图为一水平直线。而弯矩是的一次函数，弯矩图为一斜直线。当0时，弯矩图从左到右向上倾斜（斜率为正）；当0时，弯矩图从左到右向下倾斜（斜率为负）；当0时，弯矩图为一水平直线。2若梁上某段有均布载荷q作用，则剪力是的一次函数，段内剪力图为一斜直线；对应的弯矩为的二次函数，段内弯矩图为二次抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的指向一致。若的指向向下（0），则该段剪力图为左高右底的斜直线，弯矩图为开口向下的抛物线；若的指向向上（0），则该段剪力图为左底右高的斜直线，弯矩图为开口向上的抛物线；在0的截面上，弯矩为级值，即为抛物线的顶点。3在集中力作用的界点上，剪力图有突变，突变值等于该集中力；从左向右绘图时，突变方向与集中力指向一致，若从右向左绘图时，则突变方向与集中力指向相反。而弯矩图在此界点处存在折角现象。4在集中力偶作用的界点，剪力图无变化。弯矩图有突变，突变值等于该集中力偶矩；从左向右绘图时，当力偶顺时针转向，弯矩图向上突变；反之，若力偶为逆时针转向，则弯矩图向下突变。反之，当从右向左绘图时，则突变方向与之相反。表7-1 剪力图和弯矩图的图形规律 = 0 0图形规律斜率规律图形规律斜率规律指向向下指向向上剪力图直线水平斜直线左高右低左低右高弯矩图斜直线O 左低右高0 左高右低抛物线开口向下开口向上表7-2 剪力图和弯矩图的突变值规律 集中力作用界点集中力偶作用界点剪力图突变方向力的指向突变方向无突变突变数值等于集中力突变数值无弯矩图突变方向无突变突变方向（从左向右画）力偶为顺时针转向，弯矩图向上突变。反之则相反突变数值界点有折角突变数值等于集中力偶矩例7-6 图7-14a所示一外伸梁，在C点处有集中力偶矩M作用，CD段受均布载荷q作用，D点有集中力F作用，尺寸如图示。已知 ，。试绘出该梁的剪力图和弯矩图。 解 （1）画梁的受力图的求支反力根据受力图（图7-14a所示），建立平衡方程 （1） （2）由式（1）和式（2）分别算出支反力： ； （2）建立剪力方程和弯矩方程因为全梁在A、C、B和D点处发生载荷变化，出现四个界点，需要分三个区段列出剪力方程和弯矩方程。图7-14 AC段： 以梁的左端截面为坐标原点，取距原点为x的任意截面左侧段为研究对象，列出 （3） （0 x 2 m ） （4）CB段： 仍以梁的左端截面为坐标原点，取距原点为x的任意截面左侧段为研究对象，见图7-14a示。列出 （5） （2 m x 10 m） （6） BD段： 以梁的右端截面为坐标原点，取距原点为的任意截面右侧段为研究对象，图7-14a示。列出 (0x12m) （7） （0 x1 2 m）（8）（3）画剪力图和弯矩图 AC段：由式（3）和（4）知道，A点有集中力= 7.2 kN，指向向上，剪力图向上突变，突变值为7.2 kN；又因 AC段无均布载荷作用，剪力图为水平直线。弯矩方程的区段内特征值是、，弯矩图是一条左低右高斜直线。CB段：分析式（5）和式（6），因该段受均布截荷作用，剪力图为斜直线；区段特征值为、，q指向向下，剪力图是一条左高右低的斜直线；C点的集中力偶对剪力图无影响。因该段剪力图上有的点，与该点对应的弯矩图上要出现极值。该点位置的坐标可通过剪力方程式（5）确定，方法为令 求出该段内的坐标是弯矩图中，C点有逆时针转向集中力偶作用，该界点的弯矩图形有向下的突变，突变值为。又因该段梁上受向下均布载荷作用，故图为开口向下的抛物线。取不少于三点的区段特征值，画出的抛物线即是该段弯矩图。BD段：因B点有指向向上的集中力, 在该界点的剪力图有向上的突变，突变值为；D点有指向向下的集中力, 在该界点的剪力图有向下的突变，突变值为；同时该段受向下均布载荷作用，故剪力图为左高右低的斜直线；画出的斜直线即是该段剪力图。受向下均布载荷作用，弯矩图为开口向下抛物线，画出抛物线即是该段弯矩图。从图7-14b和c看出，梁上的最大剪力发生在截面B的左侧附近 ，其绝对值为梁上的最大的弯矩发生在C截面的左侧附近，其绝对值为 例7-7 外伸梁AD受力情况如图7-15a所示，试根据弯矩、剪力与载荷集度之间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。解 （1）计算梁的支座反力。由梁的平衡方程得 校核 （计算无误）图7-15 （2）作剪力图。将梁分为AC、CB、BD三段。AC段的图为斜直线（），CB、BD段的图为水平线。各控制点剪力为根据以上各控制点剪力值绘出剪力图，如图7-15b所示。图中。（3）作弯矩图。AC的图为二次抛物线（），CB段为斜直线（），BD段为斜直线（）。在C截面处图发生突变；在AC段的截面E处弯矩将取得极值。各控制点弯矩为确定的截面E：令AC段距A点为处截面的剪力等于零，即所以 AC段的极值弯矩为 根据以上各控制点的弯矩值绘出弯矩图，如图7-15c所示，图中。课程名称工程力学教学单元名称第7章 梁的弯曲7.4 梁的弯曲应力单元能力培养目标认识纯弯曲的概念、中性层和中性轴的概念，掌握梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律及计算方法，梁的危险截面的概念。了解常见简单截面（矩形、圆、空心圆）的二次轴矩与弯曲截面系数的计算以及工字钢等型钢表的查法。知识点 技能点纯弯曲时横截面上的正应力分布；纯弯曲的概念、中性层和中性轴的概念、梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律及计算方法、梁的危险截面的概念。了解常见简单截面（矩形、圆、空心圆）的二次轴矩与弯曲截面系数的计算以及工字钢等型钢表的查法。单元教学设计 以简支梁为例，说明梁的纯弯曲概念、中性轴概念；并以此分析梁截面的惯性矩和抗弯截面系数。以简支梁为例，分析求解梁横截面上剪力和弯矩分布规律及判定其正负的方法。单元教学方式理论授课多媒体作业教材P235 16-1、16-3【教学内容】第7章 梁的弯曲7.4 梁的弯曲应力7.4.1 梁弯曲时横截面上的正应力图7l6 1梁纯弯曲的概念如简支梁的剪力和弯矩图所示，梁在靠近两端支座的AC和DB段内，同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲；在中段CD内的各横截面上，则只有弯矩，而剪力，这种弯曲，称为纯弯曲。 2平面假设取图7-l6所示梁的纯弯曲部分CD段作为研究对象。根据上述梁表面变形现象可推设：梁的内部变形与表面相同，由此作出如下平面假设： 图7-17 （1）弯曲平面假设 变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，且仍垂直轴线，只是绕截面内的某一轴线转了一个角度。 （2）单向受力假设 梁从上表面到下表面，纵向纤维由缩短逐渐连续地过渡到伸长，其间必有一层纤维即不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴必垂直于横截面的对称轴。 3纯弯曲时横截面上的正应力（1）正应力分布规律 （1）由胡克定律得到 （2）从式（2）中看出，横截面上的正应力对中性轴呈线性分布，且距中性轴距离相等的各点的正应力数值相等，中性轴上正应力等于零，中性轴两侧，一侧受拉，一另侧受压，离中性轴愈远正应力愈大，最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处，正应力分布规律如图7-18b所示。 图7-18（2）纯弯曲时横截面上的正应力公式 （7-6）上式是梁弯曲变形的一个基本公式。相同弯矩条件下，愈大，曲率愈小，梁愈不易变形。因此，常将称为梁的抗弯刚度。纯弯曲时横截面上的正应力计算公式为 （7-7） 式中，为作用在该截面上的弯矩，y为横截面上任一点到中性轴的坐标，为该截面对中性轴的惯性矩。通常判定正应力的正负号方法：一是由弯曲变形直接判定，即以截面中性轴为界，梁外凸侧的正应力为正（拉应力），内凹侧的正应力为负（压应力）；其次可以由截面上弯矩的正、负来判定，当弯矩为正时，中性轴上方区域为压应力，中性轴以下区域为拉应力；当弯矩为负时，则相反。截面上最大正应力发生在截面上、下两个边缘处，其值为 （7-8） 上式常记为 （7-9） 式中 （7-10） 称为抗弯截面系数，它是衡量截面抵抗弯曲变形能力的一个几何量，单位是或，对于某一横截面，其值愈大，则在给定的最大正应力下梁能够抵抗的弯矩也愈大。7.4.2 常用截面的惯性矩和抗弯截面系数 1圆形和矩形截面的惯性矩和抗弯截面系数梁弯曲时截面对中性轴的惯性矩的计算公式为2组合截面的惯性矩 平行移轴公式 （7-11）式（7-10）中为截面对某一轴的惯性矩；为截面对平行轴的形心轴的惯性矩；A为截面面积；为二轴之间距离，如图7-19所示。组合截面对某一轴的惯性矩等于各个简单图形对该轴惯性矩之和。写为 （7-12） 其中，为截面对某一轴的惯性矩；为各个简单图形对某一轴的惯性矩。 图7-19 图7-20例7-8 图7-20所示T形截面，试计算截面对通过其形心C的轴的惯性矩。解 （1）确定截面形心C的坐标设参考坐标轴，把截面看成由矩形面积和构成的组合截面，根据静力学中求截面形心公式知道矩形面积和形心的坐标为； ； 矩形面积A2形心C2的坐标为 ； ； 代入形心公式有 （2）计算截面对通过其形心C的轴的惯性矩根据公式（7-11）得 其中 为截面对轴的惯性矩，就是对截面中性轴的惯性矩；为矩形面积部分对形心C的惯性矩；为矩形面积部分对形心C的惯性矩；应用平行移轴公式（7-12）分别代入后算出图7-21 例7-9 图7-21a所示一悬臂梁，自由端受集中力F = 4 kN 作用，矩形截面的尺寸是 h = 60 mm、b = 40 mm、 = 250 mm，试求固定端截面上的最大正应力及A点的正应力。 解 （1）绘制弯矩图由题意绘出弯矩图（图7-21b示），最大弯矩发生在固定端截面上，其值为 （2）求固定端截面上的最大正应力 由于矩形截面上下两边缘到中性轴z的距离相等， ，所以截面上的最大正应力的值也相等，即 。由公式（7-8）算出 （3）求固定端截面上A点的正应力截面弯矩是负值，因此中性轴上方是拉伸区域、中性轴下方是压缩区域，如图7-21c所示。A点位于中性轴上方、应力 是拉应力，由公式（7-8） 7.4.3 梁弯曲时横截面上的切应力简介对于一般细长梁（跨度与梁高度之比5），剪力对梁的强度和变形的影响很小，可将纯弯曲时的正应力公式直接推广应用到剪切弯曲。在梁的横截面上，切应力的分布比较复杂，为导出切应力的计算式，先作如下两点假设：（1）截面上各点的切应力的方向和剪力的方向相同；（2）截面上切应力沿宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点的切应力相等。1矩形截面梁的切应力图7-22按静力学关系导出的矩形截面梁剪切弯曲时横截面上任意一点的切应力计算公式如下： （7-13）式中 横截面上的剪力； 横截面对中性轴的惯性矩； 横截面上所求应力点处截面的宽度； 所求点以外截面面积对中性轴的静矩。对矩形截面来说，由于、均为常量，故切应力随而变化，代入公式（7-13），得 切应力沿横截面高度呈二次抛物线规律变化，其指向与剪力的指向一致，在离中性轴最远的上、下边缘处()，而在中性轴上各点处()有切应力的最大值 （7-14） 矩形截面梁切应力的最大值是整个截面上切应力平均值1.5倍。2工字形截面梁的切应力切应力沿高度分布如图7-23b所示，最大切应力发生在中性轴上，其值为图7-23 （7-15）腹板上的最大切应力与最小切应力相差不大。计算结果显示，工字形截面上、下翼缘主要承担弯矩，而腹板主要承担剪力。3圆形截面梁的切应力对于圆形截面梁，最大切应力发生在中性轴上，方向与轴平行，如图7-23c所示，中性轴处的切应力仍可用公式（7-13）计算，即 （7-16）式中，为圆截面在中性轴的宽度，即圆的直径，为半个圆面积对中性轴的静矩，。上式表明圆截面梁的最大切应力为平均切应力的1.33倍。4薄壁圆环型梁截面的切应力最大切应力发生在中性轴上，方向与剪力一致,其值仍可用公式（7-13）计算，即 （7-17）由公式可知，薄壁圆环截面上的最大切应力为平均切应力的2倍。例7-10 一矩形截面悬臂梁，在自由端承受集中载荷，如图7-24a所示，试求最大切应力和最大弯曲正应力的比值。图7-24解 该梁所有截面上的剪力均等于，最大弯矩在截面，其值为。由于应力分布规律（如图7-24b、c）可知，最大正应力发生在截面的上、下边缘处，最大切应力发生在各横截面中性轴处。其值分别为， 两者之比为对于细长梁（），5。即切应力相对很小，弯曲正应力是主要因素，进一步分析表明，对于圆形、矩形等实心截面梁，只要比值较大，且材料的抗剪能力不差，则切应力都可略去不计。课程名称工程力学授课班级授课时间教学单元名称第7章 梁的弯曲7.5梁弯曲时的强度计算7.6提高梁强度与刚度的措施单元能力培养目标掌握梁危险截面的确定方法、梁的弯曲正应力强度的计算方法。理解提高梁弯曲强度的主要措施。知识点 技能点学会应用强度条件，解决梁的强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷等三类问题。单元教学设计 以简支梁为例，分析确定梁危险截面上最大工作应力，运用强度条件解决强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷的方法。以工程实例介绍提高梁承载能力的方法。单元教学方式理论授课多媒体作业教材P235 16-4、16-7 16-10【教学内容】第7章 梁的弯曲7.5 梁弯曲时的强度计算对梁进行强度计算时，应同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。但对工程中常见的细长实心梁截面而言，截面上最大正应力远大于最大切应力，这表明梁的强度主要由正应力控制。 对于等截面直梁，最大弯矩所在的截面称为危险截面，危险截面上距离中性轴最远处的点称为危险点，要使梁具有足够的强度，必须使危险截面上的最大工作应力不超过材料的许用应力，其强度条件为 （7-18） 式中为材料许用弯曲应力。对于材料的抗拉和抗压强度相同的梁，截面宜采用与中性轴对称形状，即当截面对中性轴具有对称性时，强度条件可写为 （7-19）对于脆性材料（如铸铁）制成的梁，由于材料的抗拉与抗压强度不等，截面宜采用与中性轴不对称的形状，其强度条件应为 （7-20）式中 和分别为梁上的最大拉应力和最大压应力；和分别是材料的许用拉应力与许用压应力；和分别为最大拉应力作用位置和最大压应力作用位置距中性轴的坐标值。若需考虑弯曲切应力强度时，对等截面梁，最大切应力发生在最大剪力所在的截面上，其弯曲切应力强度条件为 （7-21）式中为梁的最大剪力；为中性轴一侧截面对中性轴的截面静矩；为横截面在中性轴处的宽度；材料的许用切应力。应用强度条件可以解决梁的强度校核，设计截面尺寸