北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法.pptx

1 北师大版高中数学选修2 2第一章 推理与证明 4数学归纳法 数学归纳法 2 2 数学归纳法 2 3 一 教学目标 1 使学生了解归纳法 理解数学归纳的原理与实质 2 掌握数学归纳法证题的两个步骤 会用 数学归纳法 证明简单的与自然数有关的命题 3 培养学生观察 分析 论证的能力 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力 让学生经历知识的构建过程 体会类比的数学思想 4 努力创设课堂愉悦情境 使学生处于积极思考 大胆质疑氛围 提高学生学习的兴趣和课堂效率 5 通过对例题的探究 体会研究数学问题的一种方法 先猜想后证明 激发学生的学习热情 使学生初步形成做数学的意识和科学精神 二 教学重点 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学难点 明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用 三 教学方法 探析归纳 讲练结合四 教学过程 4 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是 1 证明当取第一个值 如或2等 时结论正确 2 假设时结论正确 证明时结论也正确 递推基础 递推依据 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 注意 1 一定要用到归纳假设 2 看清从k到k 1中间的变化 5 1 在第一步中的初始值不一定从1取起 证明时应根据具体情况而定 练习1 欲用数学归纳法证明2n n2 试问n的第一个取值应是多少 答 对n 1 2 3 逐一尝试 可知初始值为n 5 证明中需要注意的问题 练习2 用数学归纳法证明3n n2 此题在第二步的证明过程中在假设n k时 3k k2成立的基础上 当n k 1时 要说明此式大于零 则必须k 2 故在证明的第一步中 初始值应取1和2两个值 6 2 在第二步中 证明n k 1命题成立时 必须用到n k命题成立这一归纳假设 否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系 造成推理无效 7 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程 你认为他的证法正确吗 为什么 1 当n 1时 左边 右边 2 假设n k时命题成立即那么n k 1时 左边 右边 即n k 1时 命题也成立 由 1 2 知 对一切自然数 命题均正确 8 3 在证明n k 1命题成立用到n k命题成立时 要分析命题的结构特点 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清应增加的项 1 已知 则等于 A B C D C 练习 9 例1 已知数列计算 根据计算的结果 猜想的表达式 并用数学归纳法进行证明 10 例2 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 点拨 对这种类型的题目 一般先利用n的特殊值 探求出待定系数 然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 11 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 12 分析 找到 递推关系 就等于把握住解决问题的 灵魂 有几项 是什么 它比 多出了多少 是首要问题 例3 对于n N 用数学归纳法证明 事实上f k 1 不但比f k 多一项 而且前k项中每一项分别比f k 中多了1 2 3 4 kf k 1 f k 1 2 3 k 13 证明 设f n 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 由 1 2 可知当n N 时等式都成立 14 练习 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 15 归纳法 由特殊到一般 是数学发现的重要方法 数学归纳法的科学性 基础正确 可传递 数学归纳法证题程序化步骤 两个步骤 一个结论 数学归纳法优点 克服了完全归纳法的繁杂 不可行的缺点 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足 是一种科学方法 使我们认识到事情由简到繁 由特殊到一般 由有限到无穷 数学归纳法的基本思想 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性 运用 有限 的手段来解决 无限 的问题 数学归纳法的核心 在验证命题n n0正确的基础上 证明命题具有传递性 而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程 所以说数学归纳法是一种合理 切实可行的科学证题方法 实现了有限到无限的飞跃 课堂小结 16 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 明确首取值n0并验证真假 必不可少 假设n k时命题正确 并写出命题形式 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 并用上假设 可明确为 17 重点 两个步骤 一个结论 注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉