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三角形中常见的“四心”问题在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见。为此，我们简称为“四心”问题。重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。（一）解析几何解释：解析几何又叫坐标几何，是用代数方法来研究几何图形和变换的一门科学。它的特点是用坐标表示点，用方程表示曲线。例题：已知三角形的三个顶点是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求三角形重心G的坐标。解：由定比分点公式得出重心坐标公式G则G求三角形垂心H的坐标解：则求三角形内心I的坐标解：由B与C的平分线的交点即内心I或利用内心到三边（或所在的直线）相等，得：I（其中a、b、c为A、B、C的对边）而 得I求三角形的外心O的坐标解：设外接圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0则 三角形的外接圆为x2+y2-3x-12y+7=0即（二）向量知识解释：利用向量的加法，减法和向量的数量积运用，解决几何问题显得简捷、明快、思路清晰。结论1：若G为ABC的重心的充要条件为：解：设G（x，y），则（4-x，1-y）+(7-x，5-y)+(-4-x，7-y)=(0，0)即结论2：若H为ABC的垂心的充要条件为解：（4-x，1-y）(7-x，5-y)=(7-x，5-y)(-4x，7-y)=(-4-x，7-y)(4-x，1-y)即(4-x)(7-x)+(1-y) (5-y)=(7-x)(-4-x)+( 5-y)( 7-y)=(4-x)+(-4-x)+(7-y)(1-y)则结论3：若I为ABC的内心的充要条件为（其中a、b、c为ABC的三边）解： 则=则结论4：若O为ABC的外心的充要条件为解：设O（x，y）则(4-x，1-y)(4-x，1-y)=(7-x，5-y)(7-x，5-y)=(-4-x，7-y)(-4-x，7-y)即(4-x)2+(1-y)2=(7-x)2+(5-y)2=(-4-x)2+(7-y)2则以上是一道典型的三角形中的“四心”问题，其中知识丰富、方法多样
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