2018有关中考压轴题8.doc

1、（2010天门，25，12分）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DBDC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQy轴与抛物线交于点Q. (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.【分析】（1）确定二次函数解析式可用待定系数法，本题可用一般式，也可用交点式（2）本题中因为AOD是等腰直角三角形，结合题意可知MPQ是等腰直角三角形，再结合等腰直角三角形的性质求解.(3)当点P在对称轴左侧时，四边形PMNQ为菱形，结合菱形的邻边相等，确定点Q的坐标，再验证点Q是否在抛物线上，当点P在对称轴右侧时，四边形PMNQ为等腰梯形，可作出梯形的两条高，构造求解.【答案】（1）设函数解析式为y=a(x+2)(x-4)，则a2(-4)=4，解得a=-所以经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+4.(2) y=-x2+x+4=-（x-1）2+.易知直线AD解析式为y=x+2，所以M（1，3），过点M作MRPQ于点R，因为AOD是等腰直角三角形，结合题意可知MPQ是等腰直角三角形，设MN=m，则PQ=2m，所以P(1-m，3-m)，Q(1-m，3+m)，所以-（1-m-1）2+=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去）此时P(0，2)（3） 【涉及知识点】二次函数解析式，顶点坐标，对称轴，相似三角形，菱形，等腰梯形.【点评】这是一道传统型的压轴题，以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形的有关知识解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要.2、（2010 武汉，25题，12分）如图1，抛物线经过点A（1，0），C（0，）两点，且与x轴的另一交点为点B（1）求抛物线解析式； （2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设OP=x，MQ=，求于x的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由PMQABOyx【分析】（1）问直接代入已知点到解析式即可求出解；（2）中是关于动点问题，可以利用动中取静的方法求解，关键是PM2的获取，MPQMBP的发现，从而得到PM2=MQMB；（3）可先尝试动手画，然后再根据自己画的图形，分析出EF=GH，从而得到关于m,n的等式，变形化简即可【答案】解：(1) 拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，a= -， b=，拋物线的解析式为y1= -x2+x+PMQABOyxN (2) 作MNAB，垂足为N由y1= -x2+x+易得M(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，AB=4，MN=BN=2，MB=2， MBN=45根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2 (2)2-22=PM2= -(1-x)2j，又MPQ=45=MBP， MPQMBP，PM2=MQMB=y22k 由j、k得y2=x2-x+0x3，y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0x3)OEFGHxy (3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是 m+n=2(0m2，且m1)点E、G是抛物线y1= -x2+x+ 分别与直线x=m，x=n的交点，点E、G坐标为 E(m，-m2+m+)，G(n，-n2+n+)同理，点F、H坐标 为F(m，m2-m+)，H(n，n2-n+) EF=m2-m+-(-m2+m+)=m2-2m+1，GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1 四边形EFHG是平行四边形，EF=GHm2-2m+1=n2-2n+1，(m+n-2)(m-n)=0 由题意知mn，m+n=2 (0m2，且m1) 因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2 (0m2，且m1)【涉及知识点】二次函数、相似、平行四边形的性质等【点评】此题是集动点、猜想、函数等知识于一身的综合性大题万变不离其中，只要我们平时打好基础，再难的问题，都可迎刃而解的需要指出是第（3）问，准确绘出y1,y2的图象，他们顶点在一处，再用含m,n的式子表示出EF、GH的长成为问题获得突破的关键事实上，这也是很多抛物线为载体的综合题一个重要技巧3、（2010湖北咸宁，24，12分）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与线段CD的交点为E，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当时，求线段的长；（2）当0t2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；（3）当t2时，连接PQ交线段AC于点R请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由【分析】解决梯形问题，有一个基本思想，就是：把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决如下图，过点C作CFAB，垂足为F，就能把这个直角梯形分作一个矩形和一个等腰直角三角形，图中的所有线段都容易求得于是对于第（1）小题，可利用锐角三角函数或相似三角形对应边成比例顺利求出线段的长对于第（2）小题，由于当0t2时，点P在CD上，点Q在AC上，所以一定是锐角，所以可以分和两种情况来分析对于第（3）小题，容易发现当t2时，点Q在线段BC上，点P在线段AD上，如下图所示：由题意得线段，而线段，所以PA=QM，这样容易证明，进而可得CRQCAB，所以为定值【答案】解：（1）过点C作于F，则四边形AFCD为矩形，此时，RtAQMRtACF即，（2）为锐角，故有两种情况：当时，点P与点E重合此时，即，当时，如备用图1，此时RtPEQRtQMA，由（1）知，而， 综上所述，或（3）为定值当2时，如备用图2，由（1）得， 四边形AMQP为矩形 CRQCAB 【涉及知识点】梯形、矩形、锐角三角函数、相似三角形、等腰直角三角形、【点评】本题属双动点型几何综合题，解题时应注意两个点所处的位置的变化，作为最后一道压轴题，难度系数不是很高，特别是第（3）小题，没有把“尾巴翘起来”，可能区分度不高，选拔优秀学生的功能不是很好4、（2010年湖北襄樊 26 本大题满分12分）如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？图7【分析】参照图形确定出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；结合等腰梯形的性质可知，OP=EQ时，BP=FQ，据此列方程求解；由于相似的两个三角形各点对应关系不确定，所以要分情况讨论【答案】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，OC=AB=4A（4，2），B（0，2），C（4，0）抛物线y=ax2+bx+c过点B，c=2由题意，有 解得所求抛物线的解析式为（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为x=2D（8，0），E（2，2），F（2，0）欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE即BP=FQt=63t，即t= （3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，PBO=BOQ=90，有或，即PB=OQ或OB2=PBQO若P、Q在y轴的同侧当PB=OQ时，t=83t，t=2当OB2=PBQO时，t(83t)=4，即3t28t+4=0解得若P、Q在y轴的异侧当PB=OQ时，3t8=t，t=4当OB2=PBQO时，t(3t8)=4，即3t28t4=0解得t=0故舍去，t=当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似【涉及知识点】二次函数，等腰梯形，相似三角形，方程【点评】注意充分利用数形结合思想，可以减少运算量，比如求抛物线对称轴方程，不一定把二次函数解析式配方，观察图形，不难发现，这条对称轴就是线段AB的垂直平分线，由此很快能确定抛物线对称轴方程为直线x=2，这样更加便捷5、（2010年湖北宜昌 24 12分）如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D。（1）确定t的值（2）确定m , n , k的值（3）若无论a , b , c取何值，抛物线都不经过点P，请确定P的坐标（12分）（第24题）【分析】（1）根据直线方程过的两个点可求出直线方程，再根据双曲线过C点，设点C坐标为（x1，y1），则x1y1=t，再根据面积相等，进而求得C点坐标，便可求出t的值；（2）根据抛物线顶点B，得到两个等式，以及C点 在抛物线上，又得一等式，由三个等式联立，便可求出m、n、k；（3）根据直线与双曲线的交点C、D，求出后代入抛物线方程可得两个等式，可把抛物线方程中的参数a、b、c消去两个，再根据P点在y=上，可设出坐标，代入后得到的方程无解，进而求出a、b、c【答案】解：（1）直线过点A，B，则0=h+d和1=d,即y=x+1.双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t 以AC为斜边，CAO为内角的直角三角形的面积为y1(1+x1);以CO为对角线的矩形面积为x1y1，y1(1+x1)x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x11，所以y1=2.故有，即t=2. （2）B是抛物线ymx2nxk的顶点，有 ，得到n=0，k=1. C是抛物线ymx2nxk上的点，有2m(1)2+1,得m=1（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，其中求得D点坐标为（2，1）.解法一：故 2abc，14a2bc 解之得，ba1, c12a. y=ax2( a1)x（12a ） 于是： p2+1a p2（a1）p（12a）无论a取什么值都有p2p（p2p2）a（或者，令p2-p=(p2+p-2)a抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，此方程无解，或有解但不合题意） 故a，解之p0，p1，并且p1，p2.得p0. 符合题意的P点为（0，1）.，解之p1，p2，并且p0，p1.得p2.符合题意的P点为（2，5）符合题意的P点有两个（0，1）和（2，5）.解法二：则有（a1）p2+(a+1) p2a=0即（a1）p+2a(p1)=0有p1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上. 或（a1）p+2a=0，即（p+2）a=p当p=0时a=0与a0矛盾得点P（0，1）或者p=2时，无解得点P（2，5）故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（2，5）解法三：如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点(只经过直线CD上的C，D点). 由解得交点为C（1，2），B（0，1）故符合题意的点P为（0，1）. 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x2上除D外的其他点. yx由 解得交点P为（2，5）抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x1上除C外的其他点,而解得交点为C（1，2）故符合条件的点P为（0，1）或（2，5）【涉及知识点】直线 双曲线 抛物线 交点问题 【点评】本题是平面直角坐标系中的交点的问题，交点有无，关键是看由曲线方程联立构成的方程组解的个数，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度6、（2010湖南永州，24，10分）已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A(2 ，0)，与y轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y轴平行 求该二次函数的解析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象；在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取上点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D求矩形MCOD的周长的最小值，并求使矩形MCID的周长最小时的点M坐标【分析】（1）利用待定系数法由题意可设抛物线的解析式再将已知的B点坐标代入可求出a得出解析式， （2）设点M的坐标为（m，n），将其代入抛物线的解析式可得出m，n之间的关系式nm2+4m+4；再由矩形周长公式可得出周长L与m，n之间的二次函数关系式L2(nm)；消去n可得出L与m二次函数关系式，利用顶点坐标式可求出结果.【答案】由题意可知点A(2，0)是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为其图象与y轴交于点B(0，4)44aa1抛物线的解析式为设点M的坐标为（m，n），则m0，n0，n(m+n)2m2+4m+4 设矩形MCOD的周长为L则L2(MC+MD)2() 2(nm) 2(m2+4m+4m) 2(m2+3m+4) 2(m+)2+ 当m时，L有最小值，此时n 点M的坐标为（，）【涉及知识点】二次函数、待定系数法、矩形周长【点评】本题出现的待定系数法、最值是考查二次函数的知识最常见手段，既考查了基础知识，又难度不大，是一道难度中等的好题.【推荐指数】25（2010湖南永州，25，10分）探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PAPBPC的值为ABC的费马距离. 如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCDBCDAACBD.此为托勒密定理.（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点.求证：PBPCPA.根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连结PA、PB、PC、PD.易知PAPBPCPA（PBPC）PA ；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段 的长度即为ABC的费马距离. （3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.【分析】（2）知识迁移 问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. 问，借用问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解. （3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解.【答案】（2）证明：由托勒密定理可知PBACPCABPABC ABC是等边三角形 ABACBC PBPCPA PD AD （3）解：如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则知线段AD的长即为ABC的费马距离. BCD为等边三角形，BC4， CBD60，BDBC4. ABC30， ABD=90. 在RtABD中，AB3，BD4 AD5（km） 从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km.【涉及知识点】圆，等边三角形，线段性质，勾股定理【点评】此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题. 此题环环相扣，解题关键是理解阅读材料，从中获取新知，能够灵活应用新知解决数学问题，并进一步构建数学模型解决实际问题. 此题难度中等，只要平时养成自主学习的习惯，并善于将所学知识融会贯通，便可顺利解决问题. 7、（2010湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，现有两动点PQ分别从OC同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过BP两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比【分析】（1）依题意OQ8t,OPt, ，整理即得; （2）依据可得;（3）依题意得P(,0),B(,8)，进而得抛物线为，过BP两点的直线为yx8 当时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1【答案】解：（1）由题意知，OQ8t,OPt, （2）由题意知，ABOC8,CQ t, CBOA8,PA8t,;四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值为32（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，应满足整理，得，解得，（不合题意）此时P(,0),B(,8) 因抛物线经过BP两点，所以将BP两点的坐标代入，得解得所以经过BP两点的抛物线为设过BP两点的直线为ykx+b, 将BP两点的坐标代入，得解得所以过BP两点的直线为yx8依题得，动点M的坐标（x, x8），N的坐标（x, ）MN（x8）（）当时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1【涉及知识点】矩形的面积三角形的面积相似三角形的性质一次函数二次函数等【点评】本题是几何代数综合题，涉及内容多，有一定难度主要考查学生的应用所学解决数学问题的能力，运算量较大，同时也极易出错，需要细心8、如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C .（1）求点A的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. 【分析】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）；（2）与公共了一条边，只要把这边上的两条高求出，比较高的大小即可，又易发现这两条高就是B,C 两点的横坐标的绝对值，所以只要求出B，C 两点的横坐标；（3）存在。因为，所以所以，即E为BC 的中点。所以当OE=C E时，为直角三角形【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，4）（2）当b0时，直线为，由解得， 所以B、C 的坐标分别为（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高说明面积相等亦可） 当时，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以B、C 的坐标分别为（，+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为F、G，则，而和是同底的两个三角形，所以. （3）存在这样的b.因为所以所以，即E为BC 的中点所以当OE=C E时，为直角三角形 因为所以 ，而所以，解得，所以当b4或2时，OBC 为直角三角形. 【涉及知识点】二次函数、一次函数、直角三角形、三角形的面积【点评】本题是根据字母b的变化来设置问题，体现了与高中的衔接，b事实上是高中内容中的“参数”，问题设置层层递进，在解含有b的二元二次方程组时学生会遇到一定的困难9、（2010湖南衡阳，27，10分）如图15，在平面直角坐标系中，OAB三个顶点坐标分别为O（0，0），A（1，），B（4，0）.求证：ABOA在第一象限内确定点M，使MOB与AOB相似，求符合条件的点M的坐标如图16，已知D（0，-3），作直线BD将AOB沿射线BD平移4个单位长度后，求AOB与以D为圆心，以I为半径的D的公共点的个数如图17，现有一点P从D点出发，沿射线DB的方向以1个单位长度/秒的速度作匀速运动，运动时间为t秒.当以P为圆心，以为半径的P与AOB有公共点时，求t的取值范围. 图15 图16 图17 【分析】（1）欲证ABOA，只需证明OAB=90，过A作ACOB于C,利用锐角三角函数分别求出OAC与BAC的度数；或利用勾股定理逆定理也可得证；（2）由于A为直角，且M在第一象限，据相似三角形的判定，分2种情况（一）B为直径顶点：当MOB=60时，当MOB=30时；（二）M为直角顶点时，MOB=30.则可求出M点坐标.（3）本问考查了直线与圆的位置关系，需根据题意画出相应图形，分别计算出点D与AB、OB的距离；设P与直线BD交于E、F，其中E的横坐标小于F的横坐标.欲求t的取值范围，只需求出P与OB相切时的时间，与E与B重合的时间，它们之间的部分（包括这两种情况）就是t的取值范围.【答案】（1）解法一：过A作ACOB于C， tanAOC=,AOC=60. 又tanABC=,ABC=30. BAO=90, ABOA 解法二：AO2=OC2+AC2=4,AB2=AC2+BC2=3+9=12. OB2=16, AO2+AB2=OB2. BAO=90, ABOA（2）解法一：若以B为直角顶点，当MOB=60时,M(4，4). 当MOB=30时,M(4，). 若以M为直角顶点，MOB=30时, M(3，). 综上所述，符合条件的M有(4，4),(4，),(3，).解法二：若AOBBOM，则，即. BM=4，M(4，4). 若AOBBMO，则，即. BM=，M(4，). 若AOBMBO，则，即. BM=2，M(3，).解法一：当AOB沿射线BD平移4个单位长度后，点D到OB的距离为1.且O在D外，边OB与D有两个公共点（包括B点），点D到AB的距离为1，且A在D外. 边AB与与D有两个公共点（包括B点）.综上所述，AOB沿射线BD平移4个单位长度后，与D有3个公共点.解法二：（用反证思想） 当AOB沿射线BD平移4个单位长度后，点B恰好在D上， 过OB、