勾股定理小论文.doc

勾股定理最近我们学习了“勾股定理”。它是初等几何中的一个基本定理，是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理虽然只有简单的一句话，但它却有着十分悠久的历史，尤其是它那“形数结合”、“形数统一”的思想方法，启迪和促进了我国乃至世界的数学发展。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯要早得多。在我国最早的数学著作周髀算经的开头，有一段周公与商高的“数学对话”:周公问：“听说您对数学非常精通，我想请教一下：我们一没有登天的云梯，二没有丈量整个地球的尺子，那么我们怎样才能得到关于天地之间的数据呢？”商高回答说：“我们已经在实践中总结出了一些了解天地的好方法。如当直角三角形（矩）的一条直角边（勾）等于3，另一条直角边（股）等于4的时候，那么它的斜边（弦）就必定是5。这就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的时候就总结出来的一个定理。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，这就比毕达哥拉斯要早五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。现总结勾股定理证明方法如下：证明方法一：取四个与ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。如图，正方形ABCD的面积 4个直角三角形的面积 正方形PQRS的面积 ( a b )2 1/2 ab 4 c2 a2 2ab b2 2ab c2故 a2 b2 c2 证明方法二：图1中，甲的面积 (大正方形面积) ( 4个直角三角形面积)。图2中，乙和丙的面积和(大正方形面积)( 4个直角三角形面积)。 因为图1和图2的面积相等，所以甲的面积乙的面积丙的面积 即：c2 a2 b2证明方法三：四个直角三角形的面积和 小正方形的面积 大正方形的面积，2ab ( a b ) 2 c2，2ab a2 2ab b2 c2 故 a2 b2c2证明方法四：梯形面积 三个直角三角形的面积和1/2 ( a b ) ( a b ) 2 1/2 a b 1/2 c c(a b )2 2ab c2 a 2 2ab b2 2ab c2故 a2 b2c2这是常用的四种方法，下面是另外的四种方法：【证法1】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180º90º= 90º.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90º. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90º. 即 CBD= 90º.又 BDE = 90º，BCP = 90º，BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,c2 a2 b2【证法2】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90º，QPBC， MPC = 90º， BMPQ， BMP = 90º， BCPM是一个矩形，即MBC = 90º. QBM + MBA = QBA = 90º，ABC + MBA = MBC = 90º， QBM = ABC，又 BMP = 90º，BCA = 90º，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF.c2 a2 b2【证法3】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，EF=DF-DE=b-a，EI=b，FI=a，G,I,J在同一直线上，CJ=CF=a，CB=CD=c，CJB = CFD = 90º，RtCJB RtCFD ，同理，RtABG RtADE，RtCJB RtCFD RtABG RtADEABG = BCJ,BCJ +CBJ= 90º,ABG +CBJ= 90º,ABC= 90º,G,B,I,J在同一直线上，c2 a2 b2【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的