Curvelet介绍.doc

Curvelet和傅里叶变换，小波变换对图形处理的关系介绍Curvelet变换是基于傅里叶变换和小波变换的一种改进，其特点是有高度的各向异性，具有良好表达图形沿边缘的信息的能力，对于恢复形状的沿边缘的主要结构和抑制周边噪声有其特有优势。其过程为这和传统的DFT及小波变换的处理过程类似，把图表中的curvelet换成DFT和wavelet就可以了。为了弄清这个过程，下面从介绍传统的傅里叶变换和逆变换开始，其离散形式为二维形式为其主要过程是把函数（一维信号或二维图像）分解在满足“一些条件”的一组（或连续）基函数上（在许多情况下是正交基，在物理上可以是一些独立的“频谱”），进行重组后可复原原函数。在重组之前，也可以根据应用做一些滤波处理（除去某些不需要的频率），其缺点是缺乏空间域的局部化处理灵活性。公式3中的（，）就是一个基。你可以把一幅8位深度图像分解在256种颜色上，这是可行的，但是对于图像的可操纵性是有限的。对于复杂一些的分解，就需要可行性和附加一些条件，由于分解方法和种类较多，所以用“一些条件”来简述。比如，小波基的条件就是。另外，许多想使用这些工具的人对于这些基或者是“频谱”的相应物理意义和处理目标关系不明确，造成使用困难。无论做任何处理，首要的原则就是分解重组后能够忠实地复原原函数,这是选取基函数的一个根本要求；其次是基函数必须代表一定的物理意义，无论是色彩变化率，角度，相位等参数，在实际运用中可以对系数进行明确的自由操作；最后是可计算性，即在可接受的机器时间范围内完成运算。另外，必须产生实际的处理效果改进。这就是选取恰当的小波基（母函数）和Curvelet基的难度所在。为了解决局部化的问题，Stephane Mallat 和 Yves Meyer在1988年提出了多尺度分析的概念,主要特色是引入了拉伸细分空间和平移的技巧（比如把每一个方块等分成四个），由函数构造函数就是这样一个例子：，这里变量t前面引入了拉伸，然后平移了k个单位。由这种方法构造出的一族函数（带k，t下标的）来逼近整个空间的所有函数。较新一些的Daubechies小波变换在此基础上的进展是四十年来在这一方面的重大成果，解决了空间域的局部化和完备性的存在性问题（可行性和可靠性）。二维小波的构造在文献3中给出，由于这里是针对二维图形处理的，下面介绍就局限于在这方面的介绍。传统二维小波构造原理粗略是这样的：，即如果是一维空间的多尺度逼近（小波逼近），那么，其张量积是二维空间的多尺度逼近。一个二维小波基例子是：或用小波逼近曲线最终表现为用“点”（更小的方块）来逼近线的过程,为满足一定的精度,必须采用更多的小波系数来表示曲线, 而采用Curvelet 来逼近曲线时, 只需要少数几个系数就可以达到所需要的精度。 对于二维图像,常用的二维小波基为了维持正交性是用两个正交的一维小波的张量积来表示的,因此二维小波基是“各向同性”的,无法精确地表达边缘的方向。不可分的（或非张量构造的）二维小波参见A. Cohen 和文献3.这方面的进展在应用上尚不明显。按照Curvelet的发明者E. J. Candes 所演示的：“各向同性”最大的问题在于拉伸系数的一致性，对于图像边缘如各种直线和曲线特征，不能快速精确表达图像中目标物体边缘的方向，应用小波理论进行图像处理后，会在图像边缘产生一定程度的模糊。Curvelet的成功原因之一在于在拉伸和平移的基础上同时引入了一个旋转变化。二维Curvelet基的构造比较复杂：其中是二维向量，是二维拉伸函数，是旋转角的二维函数，b是平移系数，的解释是该函数是在对于二维向量做了a拉伸，b平移和角度旋转后的变换得到的（注意顺序）：下标为整数的函数是相应于对于a，b和用整数离散化得到的。（这里j，k，l是在整数域上变化，low是取小于该数的整数函数。）再仔细看一遍离散化过程（实际运算）：看清楚：作用于后和抵消剩下的是这个向量，也就是说是对于向量的拉伸。拉伸系数对于第一分量和第二分量是不一样的，分别是和，表明平移是对于二维空间的所有整数（或正整数）的组合的平移，拉伸系数是让j跑遍大于等于0的整数，旋转是对于l=0,1，。使的所有j（对于园的均等分割。自此，才有一个相似于傅里叶和小波变换的相应表达：但是，对于光滑奇异性曲线的目标函数Curvelet近乎是最优的表示。这是Curvelet对图形分割后的契形块样式：这是小波逼近和Curvelet逼近的比较：在这几种引入阈值处理方法后（指改变某些基上的系数）的函数是不可能复原成原函数的，但是这也是灵活度和处理目的的体现：我们需要的是有目的地除去一些不必要的冗余信息，增强一些有用的信息，选用哪种方法取决于应用和实时处理要求。清晰理解这些概念和物理意义有助于选取算法，调节参数和决定可接受的误差范围，这是从理论到实施的桥梁。没有经过阈值处理方法的傅里叶变换的逼近阶是：相应的小波变换的逼近阶是：相应的Curvelet变换的逼近阶是： 可见这几种方法都可以复原原函数，而Curvelet变换的收敛速度是可以接受的。快速傅里叶变换的速度是最快的，curvelet变换的速度要比DFT慢10-20倍。小波基函数和curvelet基函数有许多种。数学上到证明是冗长艰苦的，但是也是必要的。文献引用：1E. J. Candes, L. Demanet, D. L. Donoho, L. Ying, Fast Discrete Curvelet Transforms,2005.（/papers/FDCT.pdf）2 G. Beylkin, R. Coifman and V. Rokhlin. Fast wavelet transforms and numerical algorithms. Comm. on Pure and Appl. Math. 44 (1991), 141183. 3 Eugene A. Belogay and Y. Wang Arbitrarily smooth orthogonal nonseparable wavelets in R2, SIAM J. Math. Anal., 30 (1999) pp. 678-697. 4 Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelet