高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式二课堂导学案.docx

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）课堂导学三点剖析1.二倍角公式在证明题中的应用【例1】 求证:（1+tanxtan）=tanx.思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx，tan=.证法1：左端=（1+)=sinx（1+）=tanx=右端.证法2：左端=tanx=右端.温馨提示 证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.2.二倍角公式在化简题中的应用【例2】 已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x0，求f（x）的最大值，最小值.解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x=cos2x-sin2x=cos（2x+），所以f（x）的最小正周期T=2=.（2）因为0x，所以2x+.当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；当2x+=时，cos（2x+）取得最小值-1.所以f（x）在0，上的最大值为1，最小值为.温馨提示（1）将cos2x-sin2x变形为sin（-2x），也会有同样的结果;（2）像这类高次三角函数，首先利用倍角公式通过降幂化为y=Asin（x+）或y=Acos（x+）（A，均为常数，A0）的形式，然后再求周期和最值.3.公式的综合、灵活运用【例3】 已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（1）求f（）的值；（2）设（0，），f（）=-，求sin的值解：（1）sin=，cos=，f（）=-3sin2+sincos=0（2）f（x）=cos2x-+sin2xf（）=cos+sin-=-，16sin2-4sin-11=0解得sin=.（0，），sin0故sin=温馨提示 要注意公式变形的重要性，不能死记公式，更不能只会正用，同时逆用、变形也要学会只有灵活运用公式，才能灵活解决问题各个击破类题演练1求证：3+cos4-4cos2=8sin4.证法1：左边=2+1+cos4-4cos2=2+2cos22-4cos2=2（cos22-2cos2+1）=2（cos2-1）2=2（-2sin2）2=8sin4=右边.等式成立.证法2：右边=24sin4=2（1-cos2）2=2（1-2cos2+cos22）=2-4cos2+2cos22=2-4cos2+1+cos4=3+cos4-4cos2=左边.等式成立.变式提升1求证:证明：左边=2cos2（sin2+cos2）右边=2cos2（sin2+cos2）左边=右边，故等式成立.类题演练2设函数f（x）=sin2x+sinxcosx+，（1）写出函数f（x）的单调递增区间;（2）求f（x）的最小正周期.解：（1）f（x）=sin2x+a=sin2x-cos2x+a+=sin（2x-）+a+,2k-2x-2k+，kZ，k-xk+,kZ,f（x）的单调递增区间是k-，k+，kZ（2）T=，f（x）的最小正周期为.变式提升2已知函数y=sin2x-2（sinx+cosx）+a2设t=sinx+cosx，t为何值时，函数y取得最小值；解：t=sinx+cosx=sin（x+），-t，t2=1+2sinxcosx=1+sin2x，sin2x=t2-1，y=t2-1-2t+a2=（t-1）2+a2-2-t，当t=1时，函数y取得最小值a2-2类题演练3已知为第二象限角，且sin=，求的值.解：sin=，为第二象限角，cos=-.sin2=2sincos=.=变式提升3函数f（x）=sin2（x+）-s