上海市宝山区2016届高三数学二模试卷理科-含解析-精品.doc

精品文档 你我共享2016年上海市宝山区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1设集合A=x|x|2，xR，B=x|x24x+30，xR，则AB=2已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|=3设a0且a1，若函数f（x）=ax1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是4计算： =5在平面直角坐标系内，直线l：2x+y2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为6已知sin2+sin=0，（，），则tan2=7定义在R上的偶函数y=f（x），当x0时，f（x）=2x4，则不等式f（x）0的解集是8在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，则抛物线C的方程为9直线（t为参数）与曲线（为参数）的公共点的坐标为10记的展开式中第m项的系数为bm，若b3=2b4，则n=11从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望E=12若数列an是正项数列，且+=n2+3n（nN*），则+=13甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为14已知a0，函数f（x）=x（x1，2）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|1恒成立，则a的最大值是二、选择题15sinx=0是cosx=1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16下列命题正确的是（）A若直线l1平面，直线l2平面，则l1l2B若直线l上有两个点到平面的距离相等，则lC直线l与平面所成角的取值范围是（0，）D若直线l1平面，直线l2平面，则l1l217已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）（）=0，则|的最大值是（）A1B2CD18已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1x2x3x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A（60，96）B（45，72）C（30，48）D（15，24）三、解答题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC平面ACC1A1；（2）求二面角B1CDC1的大小（结果用反三角函数值表示）20已知函数f（x）=sinx+cos（x+）+cos（x）1（0），xR，且函数的最小正周期为：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值21定义在D上的函数f（x），若满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界（1）设f（x）=，判断f（x）在，上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+2x+a4x在x0，2上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围22如图，设F是椭圆+=1的下焦点，直线y=kx4（k0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若=，求k的值；（2）求证：AFP=BF0；（3）求面积ABF的最大值23已知正项数列an，bn满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15（）求证：数列是等差数列；（）求数列an，bn的通项公式；（） 设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围2016年上海市宝山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1设集合A=x|x|2，xR，B=x|x24x+30，xR，则AB=（2，1【考点】交集及其运算【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x|2，xR=x|2x2，B=x|x24x+30，xR=x|x3或x1，则AB=x|2x1，故答案为：（2，12已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|=1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】设出z=a+bi，得到1abi=b+（a+1）i，根据系数相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模【解答】解：设z=a+bi，则=i，1abi=b+（a+1）i，解得，故z=i，|z|=1，故答案为：13设a0且a1，若函数f（x）=ax1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）【考点】反函数【分析】由于函数f（x）=ax1+2经过定点（1，3），再利用反函数的性质即可得出【解答】解：函数f（x）=ax1+2经过定点（1，3），函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）4计算： =【考点】极限及其运算【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限【解答】解： =故答案为：5在平面直角坐标系内，直线l：2x+y2=0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为【考点】用定积分求简单几何体的体积【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：V=，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积【解答】解：由题意可知：V=，V=（y3），=方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则V=122=，故答案为6已知sin2+sin=0，（，），则tan2=【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由已知等式化简可得sin（2cos+1）=0，结合范围（，），解得cos=，利用同角三角函数基本关系式可求tan，利用二倍角的正切函数公式可求tan2的值【解答】解：sin2+sin=0，2sincos+sin=0，sin（2cos+1）=0，（，），sin0，2cos+1=0，解得：cos=，tan=，tan2=故答案为：7定义在R上的偶函数y=f（x），当x0时，f（x）=2x4，则不等式f（x）0的解集是2，2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据条件判断函数的单调性和函数的零点，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可【解答】解：当x0时，由f（x）=2x4=0得x=2，且当x0时，函数f（x）为增函数，f（x）是偶函数，不等式f（x）0等价为f（|x|）f（2），即|x|2，即2x2，即不等式的解集为2，2，故答案为：2，28在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，则抛物线C的方程为y2=4x【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到抛物线方程【解答】解：点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y1=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=2，从而得到抛物线C的方程为：y2=4x故答案为：y2=4x9直线（t为参数）与曲线（为参数）的公共点的坐标为（0，1），（，2）【考点】参数方程化成普通方程【分析】消去参数，点到直线和曲线的普通方程，联立方程组解方程即可【解答】解：先求参数t得直线的普通方程为2x+y=1，即y=12x消去参数得曲线的普通方程为y2=1+2x，将y=12x代入y2=1+2x，得（12x）2=1+2x，即14x+4x2=1+2x，则4x2=6x，得x=0或x=，当x=0时，y=1，当x=时，y=12=13=2，即公共点到 坐标为（0，1），（，2）故答案为：（0，1），（，2）10记的展开式中第m项的系数为bm，若b3=2b4，则n=5【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意，结合二项式定理可得，2n2Cn2=22n3Cn3，解可得答案【解答】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得2n2Cn2=22n3Cn3，解得n=5，故答案为511从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望E=【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】所有棱长均为2的正四棱锥SABCD中，ABCD是边长为2的正方形，推导出的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出其数学期望E【解答】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥SABCD中，ABCD是边长为2的正方形，SO底面ABCD，SO=AO=，SSAB=SSBC=SSCD=SSAD=，SABD=SBCD=SADC=SABD=2，SSBD=SSAC=2，的可能取值为，P（=）=，P（=2）=，E=故答案为：12若数列an是正项数列，且+=n2+3n（nN*），则+=2n2+6n【考点】数列的求和【分析】根据题意先可求的a1，进而根据题设中的数列递推式求得+=（n1）2+3（n1）与已知式相减即可求得数列an的通项公式，进而求得数列的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案【解答】解：令n=1，得=4，a1=16当n2时，+=（n1）2+3（n1）与已知式相减，得=（n2+3n）（n1）23（n1）=2n+2，an=4（n+1）2，n=1时，a1适合anan=4（n+1）2，=4n+4，+=2n2+6n故答案为2n2+6n13甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为24，27，30【考点】计数原理的应用；集合的表示法【分析】以甲全对，乙全对，甲乙各错一道，进行分析即可求出答案【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54310=24，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若乙全对，则甲的得分为54310=24，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若甲做错了一道，则乙的得分为5439=27，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题，故乙的得分为24，27，30，故答案为24，27，3014已知a0，函数f（x）=x（x1，2）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|1恒成立，则a的最大值是6+4【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】由A、B的坐标可以将直线l的方程找到，通过M点坐标可以得到N的坐标，将其纵坐标做差可以得到关于a的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a的最大值【解答】解：f（x）=x（x1，2），a0，A（1，1a），B（2，2）直线l的方程为y=（1+）（x1）+1a设M（t，t）N（t，（1+）（t1）+1a）|MN|1恒成立|（1+）（t1）+1a（t）|1恒成立|a|1g（t）=t23t+2，在t1，2上小于等于0恒成立a1t=1或t=2时，01恒成立t（1，2）时，a=由基本不等式得：a=4+6此时t=a的最大值为6+4二、选择题15sinx=0是cosx=1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可【解答】解：若sinx=0，则x=k，kZ，此时cosx=1或cosx=1，即充分性不成立，若cosx=1，则x=2k，kZ，此时sinx=0，即必要性成立，故sinx=0是cosx=1的必要不充分条件，故选：B16下列命题正确的是（）A若直线l1平面，直线l2平面，则l1l2B若直线l上有两个点到平面的距离相等，则lC直线l与平面所成角的取值范围是（0，）D若直线l1平面，直线l2平面，则l1l2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据各选项条件举出反例【解答】解：对于A，若直线l1平面，直线l2平面，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误对于B，若直线l与平面相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA=OB，则A，B到平面的距离相等，但直线l与不平行，故B错误对于C，当直线l或l时，直线l与平面所成的角为0，当l时，直线l与平面所成的角为，故C错误对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确故选：D17已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）（）=0，则|的最大值是（）A1B2CD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量垂直的条件可得=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值【解答】解：由题意可得=0，可得|+|=，（）（）=2+（+）=|2|+|cos（+，=0，即为|=cos+，当cos+，=1即+，同向时，|的最大值是故选：C18已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1x2x3x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A（60，96）B（45，72）C（30，48）D（15，24）【考点】分段函数的应用【分析】先画出函数f（x）的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），其中x1x2x3x4，则0x11，1x13，则log3x1=log3x2，即log3x1+log3x2=log3x1x2=0，则x1x2=1，同时x3（3，6），x4（12，15），x3，x4关于x=9对称，=9，则x3+x4=18，则x4=18x3，则x1x2x3x4=x3x4=x3（18x3）=x32+18x3=（x39）2+81，x3（3，6），x3x4（45，72），即x1x2x3x4（45，72），故选：B三、解答题19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC平面ACC1A1；（2）求二面角B1CDC1的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出ACBC，CC1BC，由此能证明BC平面ACC1A1（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1CDC1的大小【解答】证明：（1）底面ABC是等腰直角三角形，且AC=BCACBC，CC1平面A1B1C1，CC1BC，ACCC1=C，BC平面ACC1A1解：（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），由（1）得=（0，2，0）是平面ACC1A1的一个法向量，=（0，2，2），=（2，0，1），设平面B1CD的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，2），设二面角B1CDC1的平面角为，则cos=，由图形知二面角B1CDC1的大小是锐角，二面角B1CDC1的大小为arccos20已知函数f（x）=sinx+cos（x+）+cos（x）1（0），xR，且函数的最小正周期为：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0， =，且a+c=4，试求b的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）利用两角和与差的余弦展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得，则f（x）的解析式可求；（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积=，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值【解答】解：（1）f（x）=sinx+cos（x+）+cos（x）1=T=，=2则f（x）=2sin（2x）1；（2）由f（B）=0，得或，kZB是三角形内角，B=而=accosB=，ac=3又a+c=4，a2+c2=（a+c）22ac=1623=10b2=a2+c22accosB=7则b=21定义在D上的函数f（x），若满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界（1）设f（x）=，判断f（x）在，上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）=1+2x+a4x在x0，2上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域【分析】（1）化简f（x）=1，从而可得1f（x）；从而确定|f（x）|1；从而解得；（2）由题意知|g（x）|3在0，2上恒成立；从而可得a；从而换元令t=，则t，1；从而可得4t2ta2t2t在，1上恒成立；从而化为最值问题【解答】解：（1）f（x）=1，则f（x）在，上是增函数；故f（）f（x）f（）；故1f（x）；故|f（x）|1；故f（x）是有界函数；故f（x）上所有上界的值的集合为1，+）；（2）函数g（x）=1+2x+a4x在x0，2上是以3为上界的有界函数，|g（x）|3在0，2上恒成立；即3g（x）3，31+2x+a4x3，a；令t=，则t，1；故4t2ta2t2t在，1上恒成立；故（4t2t）maxa（2t2t）min，t，1；即a；故实数a的取值范围为，22如图，设F是椭圆+=1的下焦点，直线y=kx4（k0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若=，求k的值；（2）求证：AFP=BF0；（3）求面积ABF的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）联立，得（3k2+4）x224kx+36=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出k（2）证明AFP=BFO，等价于证明等价于kAF+kBF=0，由此能证明AFP=BFO（3）SABF=SPBFSPAF=令t=，利用基本不等式性质能求出ABF面积的最大值【解答】解：（1）联立，得（3k2+4）x224kx+36=0，直线y=kx4（k0）与椭圆相交于A、B两点，=144（k24）0，即k2或k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x2=2x1，代入上式，解得k=证明：（2）由图形得要证明AFP=BFO，等价于证明直线AF