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常微分方程求解的方法分析摘要 常微分方程的求解是学习常微分方程需要掌握的一个重要的内容，而随着计算科学技术的发展，通过计算器实现常微分方程的求解已经成为现实。在MATLAB 中有专门的求解普通常微分方程的函数：函数。然而，通过此函数求解常微分方程可以省时实力。笔者通过MATLAB的GUI界面设计一个小型的计算器，可以普通的单个有初值的常微分方程与方程个数不超过三个的常微分方程的方程组进行求解，操作者只需通过简单的输入来即可实现。此计算器在进行简单的常微分方程与方程组计算中可以节省时间，有利于进行解决用到普通常微分方程或方程组的现实问题，提高计算效率。然而，计算器的求解并非完美。对于很多复杂的常微分方程并不能得到求解。而对于部分简单微分方程的求解结果也过于复杂，不够明朗。论文中，笔者将对计算器的使用进行介绍。并且对于普通算法与计算器算法进行比较，使用者可以根据自己的使用要求来选择适合自己的方法。关键字：常微分方程 MATLAB GUI 计算器一、设计的目的求解常微分方程与方程组的方法固然很多，对于学习者来说掌握常微分方程的求解方法也是必要的，然对于运用常微分方程来解决其他问题而不专门研究常微分的人来说，对普通常微分方程或方程组直接进行求解会工作量大，不利于解决问题；虽然运用方程者可以通过MATLAB相关函数的调用来实现微分方程的求解，然而对于MATLAB操作不熟练者、以及函数调用格式没有明确掌握的人来说，在MATLAB的具体操作过程中也会遇到问题，不利于工作的完成。该计算器的制作，要求操作者掌握简单的MATLAB 数据输入方式与要求，即可实现对普通常微分方程和方程组的求解。有利于减少花费在计算中的时间，提高工作效率。二、 设计的结果与分析2.1 输入说明： 操作者在使用计算器时，要注意在输入方程中，操作者需要把求解的方程化成MATLAB可以识别的形式。如：在对微分方程进行求解时，需要把其化为的形式为： 然后在对应的输入框中进行输入。这样MATLAB才能够识别方程并且对其进行求解。 而且需要掌握MATLAB 输入数据的具体格式要求，这样在操作中才不会出现不必要的错误。2.2计算器的使用：2.2.1 打开计算器主页面如下： 图 1使用者可以根据自己所求解的常微分方程与方程组的具体格式要求进行输入然后点击“运行”进行求解。注：输入方程的顺序为“方程一：”“方程二”，“方程三：”初值的顺序同理。即对于单个的方程或初值应之在第一个edit 框里面进行输入，两个方程或初值在强两个 edit 框中进行输入。2.2.2 操作者针对自己需要求解的方程，进行必要的格式转化输入图1 界面中的相关 edit中，然后单击“运行”，在MATLAB 主页面中就会得到计算的结果。以简单的常微分方程为例，如： 把此方程化为：由于只有一个方程，并没有初值条件切可以简单的出判断出自变量为：，所以只需在“方程一：”与“自变量”栏中分别输入：与。然后单击“运行”：输入如图：图 2在主页面中显示出的计算结果：图 3注:结果中C1均为随机数。2.2.3、再以有初值的常微分方程为例进一步说明该计算器的操作：如方程： 初值条件： 当进行计算时，要把原方程化为如下形式; 也可以看出自变量为： 在“方程一”，“自变量”与“初值一”栏中分别输入： 如图： 图 4单击“运行”，主页面中显示结果，如图：图 5对于方程组的操作同理在前两个输入方程edit 框中进行输入，其他条件按要求输入即可，不再举例说明。三、 与传统算法的比较3.1 优点：相对于传统的手动计算方法来说，计算步骤简单，只需掌握MATLAB 的输入要求与计算器输入细则即可完成普通方程与方程组的计算，省去了很多繁琐的计算步骤，并且计算的速度也很快。 3.2 不足 然而相对于传统的算法来说，MATLAB语言也有一定的不足。如对于方程： 用传统的计算方法，得出结果为： 式子中为自变量，c为任意常数；其中也是该方程的一个解。而用此计算器计算的结果如下：图 6很明显，结果不够简洁，虽然节省了时间，但是对于运算结果使用起来非常的麻烦。所以使用者应该根据自己的具体要求选择适合自己方式来进行运算。四、 设计的意义 在当代科技发达的社会，计算器成为了必不可少的计算工具，计算器的更新换代也在飞速发展。如今的计算器已经不是仅仅局限于一般的数学计算了，而是要实现多功能的智能化的计算，从而使得计算更加的简便和高效。本课题研究的就是使常微分方程能够在计算器的界面上实现计算过程，并且在界面上输出计算结果，改变了以往繁琐的输入。我们利用MATLAB来编写常微分方程计算器，使之在GUI界面实现一系列的操作。该计算器使计算复杂的常微分方程得到了很大的简化，为使用者带来了方便，为今后常微分方程的求解做了坚实的铺垫，使常微分方程求解的意义变得更加重大。五、 微分方程的使用价值与课题的实用价值 常微分方程模型运用在很多方面，比如物理、力学中，以及在社会、生物、化学和气象都广泛涉及到，RLC电路、数学摆、人口模型、两生物种群生态模型和Lorenz方程、化学动力学模型都充分体现了常微分方程涉及面的之广，它反映客观显示世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态（力）系统。忽略次要因素，提炼出状态变量，根据自变量和因变量相应的规律和实际情况，构建相应模型，最后简单明了说明之间的关系与联系。以常微分方程的求解为基础，通过MATLAB软件，建立可视化界面，使其更方便的求解一些常微分的方程，将求解模型全部编写程序，并通过构建GUI界面进行实现，这样降低了时间更一步体现了将理论用于实际的可行性，使其更具有现实性。从科学的角度分析，课题具有一定科学性，将常微分与MATL