20世纪数学概观(Ⅲ) ——现代数学成果十例.ppt

20世纪数学概观 现代数学成果十例 四色定理 Fourcolortheorem 4 3 2 1 1 3 3 藍 綠 黃 许多同学都知到排列组合把 也应该应该都做过这个着色问题吧 用4种不同的顏色去涂右边这个脸谱 每区域一色 同一种顏色可重复使用 但相邻区域不可同色 则有多少种涂法 答案是214种 地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的 四色问题的内容是 任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色 定理概述 用数学语言表示 即 将平面任意地细分为不相重迭的区域 每一个区域总可以用1 2 3 4这四个数字之一来标记 而不会使相邻的两个区域得到相同的数字 这里所指的相邻区域 是指有一整段边界是公共的 如果两个区域只相遇于一点或有限多点 就不叫相邻的 因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆 定理的提出 1852年首先由英国青年大学生古德里提出 四色问题 1878年凯莱发表 论地图的着色 掀起了一场四色问题热 1879年律师肯泊 英 1849 1922年 宣布证明了 四色问题 并发表于 美国数学杂志 上 1890年希伍德 英 1861 1955年 指出了肯泊的错误 证明了 五色定理 并一生坚持研究四色问题 定理的发展 进入20世纪以来 科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯泊的想法在进行 1913年 美国著名数学家 哈佛大学的伯克霍夫利用肯泊的想法 结合自己新的设想 证明了某些大的构形可约 美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色 1950年 有人从22国推进到35国 1960年 有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色 随后又推进到了50国 这种推进仍然十分缓慢 定理的解决 1976年哈肯和阿佩尔 利用 不可避免构形集 可约集 等关键意义的概念 采用计算机实验方法 成功获得了一组不可避免可约图 最终解决了四色问题 定理的影响 四色问题 的被证明仅解决了一个历时100多年的难题 而且成为数学史上一系列新思维的起点 在 四色问题 的研究过程中 不少新的数学理论随之产生 也发展了很多数学计算技巧 如将地图的着色问题化为图论问题 丰富了图论的内容 不仅如此 四色问题 在有效地设计航空班机日程表 设计计算机的编码程序上都起到了推动作用 分形与混沌 分形的发现 20世纪数学在几何概念上有两次飞跃与空间维度相关 从有限维到无穷维的飞跃 从整数维到分数维的飞跃 美籍法国数学家蒙德尔布罗1967年发表的文章 英国海岸线有多长 标志着后一次飞跃的开始 海岸线问题是一个实际的地理测量问题 二十世纪下半叶 有人发现一些百科全书中记录的海岸线竟相差20 法国数学家蒙德尔布罗经过认真研究认为是由于海岸线形状的不规则引起的 由于这种不规则 不同的测量尺度将得出不同的测量结果 英国的海岸线地图 分形的创立 1967年发表于美国 科学 杂志上的 英国的海岸线有多长 的划时代论文 是蒙德尔布罗的分形思想萌芽的重要标志 1973年 在法兰西学院讲课期间 蒙德尔布罗提出了分形几何学的整体思想 1977年 蒙德尔布罗出版了第一本著作 分形 形态 偶然性和维数 标志着分形理论的正式诞生 1982年 蒙德尔布罗出版了著名的专著 自然界的分形几何学 至此 分形理论初步形成 现在 分形已广泛地应用于数学 物理 化学 生物学 把形态 功能和信息方面具有自相似性的对象称为分形 分形植物 Koch雪花 Sierpinski三角形 从1978年开始 蒙德尔布罗等人开始研究在非线性变换 即允许比简单放大与平移更复杂的操作如平方 立方等 下保持不变的分形 他们利用电子计算机来产生这样的分形图形 并研究它们的性质 又发现了所谓 混沌 chaos 现象 导致了混沌动力学的建立 混沌动力学的创立 有限单群分类 有限单群分类的基本内容有限单群分类的证明历史二代分类 一 定理有限单群是指 除了单位元群和它本身以外没有其他正规子群的有限群 有限单群类似于整数中的素数 可比喻为搭成有限群的 积木块 是有限群结构的基石 找出所有的有限单群的问题称为有限单群分类问题 一 有限单群分类的基本内容 二 内容素数阶循环群 n 5的交错群An Lie型单群 共16族 26个散在单群 一 有限单群分类的基本内容 一 有限单群分类定理是在20世纪40年代初提出的 1942年左右 美裔德国数学家布饶尔 R Brauer 是有限单群分类工作的先驱 他与中国数学家段学复完成了10000阶以下的单群分类 二 1962年 费特和汤普森关于奇阶群必为可解群的定理 Feit Thompson定理 是单群分类中最重要的一个定理 它标志着有限单群分类的重大突破 二 有限单群分类的证明历史 三 1972年 D 戈朗斯坦提出的有限单群分类方案或计划 指出了如何才能实现有限单群的完全分类 四 1980年 格里斯找到了26个散在单群的最后一个也是最大的一个单群 数学家称之为 大魔 同年夏天 随着最后一个技巧性的问题的解决 整个有限单群分类定理的证明宣告结束 二 有限单群分类的证明历史 散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄所发现的 而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的 散在群 由于有限简单群分类的证明太长 由丹尼尔 葛仑斯坦所领导 在找寻着一个更简单的证明 这即是所谓的二代分类证明 葛仑斯坦和其同事给出了一些对于较简单的证明是可能达成的理由 其中最重要的一点是因为现在已经知道了正确且最终的叙述 而所能应用的技术也已足够用来研究这些群 三 二代分类 费马大定理的证明 皮埃尔 德 费玛 法国律师和业余数学家 费马大定理的内容费马大定理的证明历史相关猜想 费马大定理的内容 内容 将一个立方数分为两个立方数 将一个四次幂或一般高于二次幂的数 分为两个同次幂的数 这是不可能的数学语言 当整数n 2时 关于x y z的不定方程x n y n z n 无正整数解 费马大定理的内容 关于费马大定理对于费马大定理 容易得到 若对于一定指数m证明了费马大定理 那么对于指数为m的倍数费马大定理也成立 同时n 4的情形已经被费马证明 从而只需证明大于2的素数即可 费马大定理的证明历史 一 18世纪 欧拉证明了n 3的情况 用到了数系中的唯一因子分解定理 二 1825年 狄利克雷和勒让德共同解决了当n 5的情形三 1839年 法国数学家拉梅证明了当n 7的情况 在此期间提出了 分圆整数 的思想 被征错误 费马大定理的证明历史 四 高斯的学生库默尔于1844年 发表论文解决证明 唯一因子分解定理 提出了 理想数 的概念 同时对于所有小于100的素数N n 100 n是素数 费马大定理成立五 1983年 德国数学家法尔廷斯证明了莫代尔猜想 对费马大定理的证明提供了极大帮助 把无穷多解的可能性降到至多有限解 费马大定理的证明历史 六 1955年 日本数学家谷山丰提出了关于椭圆曲线与模曲线之间存在关系的猜想 并在之后形成了 谷山 志村猜想 七 在谷山 志村猜想的基础上 1985年德国的数学家弗雷提出了相反的命题 弗雷命题 1986年被美国数学家里贝特证明错误 费马大定理的证明历史 八 1993年6月英国数学家维尔斯证明了 谷山 志村猜想成立 同时于 1994年9月两篇分别题为 模椭圆曲线与费马大定理 某些赫克代数的环论性质 证明了费马大定理 相关猜想 莫代尔猜想 对于方程x n y n 1 这样的方程至多有有限个有理数解谷山 志村猜想 有理数上的椭圆曲线都是模曲线弗雷命题 假设费马大定理不存在 即存在一组非零整数A B C 使得A n B n C n n 2 那么有这组数构成的形如y 2 x x A n x B n 的椭圆曲线 不可能是模曲线 著名未决猜想的进展 亨利 庞加莱 大数学家 庞加莱猜想 庞加莱猜想是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题 七个千年大奖问题 之一 1904年 庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想 在一个三维空间中 假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点 那么这个空间一定是一个三维的圆球 但1905年发现提法中有错误 并对之进行了修改 被推广为 任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面 后来 这个猜想被推广至三维以上空间 被称为 高维庞加莱猜想 提出这个猜想后 庞加莱一度认为自己已经证明了它 但没过多久 证明中的错误就被暴露了出来 于是 拓扑学家们开始了证明它的努力 n 2n 1 然而 庞加莱猜想 依然没有得到证明 2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里 佩雷尔曼最终证明 但将解题方法公布到网上之后 佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的菲尔兹奖 拒绝了克莱数学研究所奖励他的100万美元 这笔奖金是奖励他对庞加莱猜想的证明 你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心 你只能想数学 其他一切都属于人类的弱点 俄罗斯数学家格里戈里 佩雷尔曼 2000年克莱数学促进会公布新千年七个悬赏100万美元的数学问题 庞加莱猜想列第三2002年11月起 佩雷尔曼在网络论文库上张贴三篇文章2006年 三个独立的小组写出报告填补佩雷尔曼证明中的关键细节 密歇根大学克莱纳和洛特 哥伦比亚大学摩根和田刚 里海大学曹怀东和中山大学朱熹平2006年美国 科学 杂志评出年度十大科学进展 庞加莱猜想名列第一 庞加莱猜想 荣誉 1 1 2 哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想的内容 哥德巴赫猜想最初的内容也可表述为 任一大于5的整数都可写成三个质数之和 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本 即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和 哥德巴赫猜想的证明历程 1920年 挪威的布朗证明了 9 9 1924年 德国的拉特马赫证明了 7 7 1932年 英国的埃斯特曼证明了 6 6 1937年 意大利的蕾西先后证明了 5 7 4 9 3 15 1938年 苏联的布赫夕太勃证明了 5 5 1940年 苏联的布赫夕太勃证明了 4 4 1948年 匈牙利的瑞尼证明了 1 c 其中c是一很大的自然数 1956年 中国的王元证明了 3 4 1957年 中国的王元先后证明了 3 3 和 2 3 1962年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了 1 5 中国的王元证明了 1 4 1965年 苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫 及意大利的朋比利证明了 1 3 哥德巴赫猜想的结局 1966年 我国著名数学家陈景润攻克了 1 2 由于陈景润的贡献 人类距离哥德巴赫猜想的最后结果 1 1 仅有一步之遥了 但为了实现这最后的一步 也许还要历经一个漫长的探索过程 有许多数学家认为 要想证明 1 1 必须通过创造新的数学方法 以往的路很可能都是走不通的 哥德巴赫猜想的结局 当今数学界最重要 最期待解决的数学难题 黎曼猜想 黎曼猜想的内容 素数在自