27.2.3 相似三角形应用举例.ppt

27 2 3相似三角形应用举例 乐山大佛 新课导入 世界上最高的树 红杉 怎样测量这些非常高大物体的高度 世界上最高的楼 台北101大楼 怎样测量这些非常高大物体的高度 世界上最宽的河 亚马孙河 怎样测量河宽 例 据史料记载 古希腊数学家 天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 在金字塔影子的顶部立一根木杆 借助太阳光线构成两个相似三角形 来测量金字塔的高度 如图27 2 8 如果木杆EF长2m 它的影长FD为3m 测得OA为201m 求金字塔的高度BO D E A F B O 2m 3m 201m 解 太阳光是平行线 因此 BAO EDF 又 AOB DFE 90 ABO DEF BO 134 m 例 如图27 2 8 如果木杆EF长2m 它的影长FD为3m 测得OA为201m 求金字塔的高度BO A F E B O 还可以有其他方法测量吗 一题多解 ABO AEF OB 平面镜 A C B D E 怎样测量这些非常高大物体的高度 怎样测量旗杆的高度 抢答 6m 1 2m 1 6m 旗杆的高度是线段 旗杆的高度与它的影长组成什么三角形 这个三角形有没有哪条边可以直接测量 温馨提示 BC ABC 6m 2 人的高度与它的影长组成什么三角形 这个三角形有没有哪条边可以直接测量 A B C 3 ABC与 A B C 有什么关系 试说明理由 1 2m 1 6m 在阳光下 在同一时刻 物体的高度与物体的影长存在某种关系 物体的高度越高 物体的影长就越长 在平行光线的照射下 不同物体的物高与影长成比例 物1高 物2高 影1长 影2长 测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度 通常用 在同一时刻物高与影长成正比例 的原理解决 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例 在某一时刻 有人测得一高为1 8米的竹竿的影长为3米 某一高楼的影长为60米 那么高楼的高度是多少米 解 设高楼的高度为x米 则 答 楼高36米 跟踪训练 例2为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标点P 在近岸取点Q和S 使点P Q S共线且直线PS与河垂直 接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T 确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R 如果测得QS 45m ST 90m QR 60m 求河的宽度PQ P P 分析 PQR PST 90 S T P Q R b a 得PQ 90 求河宽 PQR PST 45m 60m 90m 测距的方法 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 为了估算河的宽度 我们可以在河对岸选定一个目标作为点A 再在河的这一边选点B和C 使AB BC 然后 再选点E 使EC BC 用视线确定BC和AE的交点D 此时如果测得BD 120米 DC 60米 EC 50米 求两岸间的大致距离AB 跟踪训练 例3 已知左 右并排的两棵大树的高分别是AB 8m和CD 12m 两树的根部的距离BD 5m 一个身高1 6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进 当他与左边较低的树的距离小于多少时 就不能看见右边较高的树的顶端点C K 盲区 观察者看不到的区域 仰角 视线在水平线以上的夹角 水平线 视线 视点 观察者眼睛的位置 1 F B C D H G l A K 1 F B C D H G l A K 分析 假设观察者从左向右走到点E时 他的眼睛的位置点F与两颗树的顶端点A C恰在一条直线上 如果观察者继续前进 由于这棵树的遮挡 右边树的顶端点C在观察者的盲区之内 观察者看不到它 E 由题意可知 AB L CD L AB CD AFH CFK 即 解得FH 8 当他与左边的树的距离小于8m时 由于这棵树的遮挡 右边树的顶端点C在观察者的盲区之内 就不能看见右边较高的树的顶端点C 1 如图 铁道口的栏杆短臂长1m 长臂长16m 当短臂端点下降0 5m时 长臂端点升高m 8 给我一个支点我可以撬起整个地球 阿基米德 跟踪训练 1 小明测得长为1米的竹竿影长为0 9米 同时 小李测得一棵树的影长为5 4米 请计算小明测量这棵树的高 2 同时小王在测另一棵树时 发现树影的一部分在地面上 而另一部分在墙上 他测得地面上的影长为2 7米 留在墙上部分的影长为1 2米 请计算小王测量的这棵树的高 2 7m 1 2m B A C D 2 测量树高 由相似三角形的性质得 BE12 70 9 1 小明测得长为1米的竹竿影长为0 9米 同时 小李测得一棵树的影长为5 4米 请计算小明测量这棵树的高 2 同时小王在测另一棵树时 发现树影的一部分在地面上 而另一部分在墙上 他测得地面上的影长为2 7米 留在墙上部分的影长为1 2米 请计算小王测量的这棵树的高 2 7m 1 2m 解法一 如图 过点D画DE AC交AB于E点 由平行四边形ACDE得AE CD 1 2 B A D C E BE 3 AB BE AE 4 2答 这棵树高有4 2米 2 测量树高 1 小明测得长为1米的竹竿影长为0 9米 同时 小李测得一棵树的影长为5 4米 请计算小明测量这棵树的高 2 同时小王在测另一棵树时 发现树影的一部分在地面上 而另一部分在墙上 他测得地面上的影长为2 7米 留在墙上部分的影长为1 2米 请计算小王测量的这棵树的高 2 7m 1 2m B A C 解法二 延长AC交BD延长线于G 由相似三角形的性质得 CD DG 1 0 9 DG 0 9CD 1 08BG BD DG 3 78 由CD AB DG BG得AB 4 2答 这棵树的高为4 2米 D G 2 测量树高 3 小明 小李二位同学再想利用树影测量树高 小明测得长为1米的竹竿影长为2米 同时 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上 另一部分在斜坡的坡面上 测得在地面影长为10米 在斜坡上影长为4米 斜坡的倾斜角为30 请计算这棵树的高 10m B A C D 4m 30 2 测量树高 10m B A C 解法一 画CG AB于G点 画CE BD于E 则CE CD 2 DE 2 BG CE 2 BE BD DE 10 2 答 这棵树的高为 7 米 D G 由相似三角形的性质得 AG GC 1 2 AG 5 AB BG AG 7 4m E 30 3 小明测得长为1米的竹竿影长为2米 同时 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上 另一部分在斜坡的坡面上 测得在地面影长为10米 在斜坡上影长为4米 斜坡的倾斜角为30 请计算这棵树的高 3 小明测得长为1米的竹竿影长为2米 同时 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上 另一部分在斜坡的坡面上 测得在地面影长为10米 在斜坡上影长为4米 斜坡的倾斜角为30 请计算这棵树的高 10m B A C D G 4m E 30 解法二 3 小明测得长为1米的竹竿影长为2米 同时 小李测量一棵树时发现树影的一部分在地面上 另一部分在斜坡的坡面上 测得在地面影长为10米 在斜坡上影长为4米 斜坡的倾斜角为30 请计算这棵树的高 10m B A C D 4m E F 30 解法三 1 小明把手臂水平向前伸直 手持长为EF的小尺竖直 瞄准小尺的两端E F 不断调整站立的位置 使站在点D处正好能看到旗杆的顶部和底部 如果小明的手臂长 40 小尺长EF 20 点D到旗杆底部的距离AD 40m 求旗杆的高度 C D E F A B 当堂检测 2 如图 一条河的两岸有一段是平行的 在河的南岸边每隔5米有一棵树 在北岸边每隔50米有一根电线杆 小丽站在离南岸边15米的点处看北岸 发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住 并且在这两棵树之间还有三棵树 则河宽为米 3 为了测量路灯 OS 的高度 把一根长1 5米的竹竿 AB 竖直立在水平地面上 测得竹竿的影子 BC 长为1米 然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米 BB 再把竹竿竖立在地面上 测得竹竿的影长 B C 为1 8米 求路灯离地面的高度 4 如图 小华在晚上由路灯A走向路灯B 当他走到点P时 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部 当他向前再步行12m到达点Q时 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部 已知小华的身高是1 60m 两个路灯的高度都是9 6m 设AP x m 1 求两路灯之间的距离 2 当小华走到路灯B时 他在路灯下的影子是多少 中考链接 浙江省 如图 小华家 点A处 和公路 L 之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌 DE 广告牌挡住了小华的视线 请在图中画出视点A的盲区 并将盲区内的那段公路设为BC 一辆以60km h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s 已知广告牌和公路的距离是40m 求小华家到公路的距离 精确到1m 拓展提高 B C 挑战自我 如图 ABC是一块锐角三角形余料 边BC 120毫米 高AD 80毫米 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在BC上 其余两个顶点分别在AB AC上 这个正方形零件的边长是多少 N M Q P E D C B A 解 设正方形PQMN是符合要求的 ABC的高AD与PN相交于点E 设正方形PQMN的边长为x毫米 因为PN BC 所以 APN ABC所以 如图 要在底边BC 160cm 高AD 120cm 的 ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH 使点H在AB上 点G在AC上 点E F在BC上 AD交HG于点M 此时 3 以面积最大的矩形EFGH为侧面 围成一个圆柱形的铁桶 怎样围时 才能使铁桶的体积最大 请说明理由 注 围铁桶侧面时 接缝无重叠 底面另用材料配备 1 设矩形EFGH的长HG y 宽HE x 确定y与x的函数关系式 2 当x为何值时 矩形EFGH的面积S最大 9 如图 有一路灯杆AB 底部B不能直接到达 在灯光下 小明在点D处测得自己的影长DF 3m 沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG 4m 如果小明得身高为1 6m 求路灯杆AB的高度 A 练习 3 为了测量一池塘的宽AB 在岸边找到了一点C 使AC AB 在AC上找到一点D 在BC上找到一点E 使DE AC 测出AD 35m DC 35m DE 30m 那么你能算出池塘的宽AB吗 6 如图 已知零件的外径a为25cm 要求它的厚度x 需先求出内孔的直径AB 现用一个交叉卡钳 两条尺长AC和BD相等 去量 若OA OC OB OD 3 且量得CD 7cm 求厚度x O 分析 如图 要想求厚度x 根据条件可知 首先得求出内孔直径AB 而在图中可构造出相似形 通过相似形的性质 从而求出AB的长度 MHBH515 1 两根电线杆 今年8月12日 云娜 台风肆虐我市 我市受灾较为严重 灾后 各部门组织人员进行各方面抢修 电力部门对刮斜的电线杆进行加固 加固方法有多种 如图是其中的一种 分别在高3米的 处和 米的 处用钢索将两杆固定 1 现测得两杆相距15米 问一般的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方 A B C D M H 3 5 15 MHDHABBD MHBHCDBD MHDH315 MH MHBH5 1 两根电线杆 刮斜的电线杆进行加固 加固方法有多种 如图是其中的一种 分别在高3米的 处和 米的 处用钢索将两杆固定 1 现测得两杆相距15米 问一般的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方 A B C D M H 3 5 15 MHDHABBD MHBHCDBD MHDH3 MH 当两杆相距20米时 一般的人能否通过 今年8月12日 云娜 台风肆虐我市 我市受灾较为严重 灾后 各部门组织人员进行各方面抢修 电力部门对 20 15 15 20 20 cBHbBD cDHaBD 1 两根电线杆 刮斜的电线杆进行加固 加固方法有多种 如图是其中的一种 分别在高3米的 处和 米的 处用钢索将两杆固定 1 现测得两杆相距15米 问一般的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方 A B C D M H 3 5 MHDHABBD MHBHCDBD 1 2 当两杆相距20米时 一般的人能否通过 3 设钢索的交点为M 画MH BD于H 若 a CD b MH c 写出a b c之间的关系式 a b c MHBH5 MHDH320 MH 20 1 两根电线杆 1 现测得两杆相距 米 问身高为1 8米的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方 2 当两杆相距 米时 这个人能否通过 3 设钢索的交点为M 画MH BD于H 若 a CD b MH c 写出a b c之间的关系式 4 如图 将上题条件改为AB CD MH 写出 3 中的a b c的关系式 A B C D M H a b c 5 连结AC 延长HM交AC于F 写出FH与a b的关系式 F 1 两根电线杆 A B C D M H a b c F A B C D M a b 1 现测得两杆相距 米 问身高为1 8米的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方 2 当两杆相距 米时 这个人能否通过 3 设钢索的交点为M 画MH BD于H 若 a CD b MH c 写出a b c之间的关系式 4 如图 将上题条件改为AB CD MH 写出 3 中的a b c的关系式 5 连结AC 延长HM交AC于F 写出FH与a b的关系式 1 两根电线杆 A B C D M H a b c A B C D M a b 1 现测得两杆相距 米 问身高为1 8米的人能否不弯腰不低头地通过两钢索交叉点下方 2 当两杆相距 米时 这个人能否通过 3 设钢索的交点为M 画MH BD于H 若 a CD b MH c 写出a b c之间的关系式 4 如图 将上题条件改为AB CD MH 写出 3 中的a b c的