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3 1 5空间向量运算的坐标表示 1 理解空间向量坐标的概念 会确定一些简单几何体的顶点坐标 2 掌握空间向量的坐标运算规律 会判断两个向量的共线或垂直 3 掌握空间向量的模 夹角公式和两点间距离公式 并能运用这些知识解决一些相关问题 1 空间向量的坐标运算 重点 2 利用空间向量的坐标运算解决直线 平面间的位置关系 夹角 模的问题 难点 3 异面直线的夹角与向量的夹角 易混点 1 设平面向量a a1 a2 b b1 b2 则a b a b b 0 a b 2 设i j k为单位正交基底 试写出下列各题中向量的坐标 1 4i 3j 6k 2 i 3j 5k 3 4i 5k 4 8j a1b1 a2b2 0 a1b2 a2b1 0 1 空间向量运算的坐标表示若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a2 a1 b2 b1 c2 c1 答案 C 2 已知a 1 2 1 a b 1 2 1 则b等于 A 2 4 2 B 2 4 2 C 2 0 2 D 2 1 3 解析 b a b a 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 4 2 答案 B 3 已知a 1 2 y b x 1 2 且 a 2b 2a b 则x y 题后感悟 首先将空间向量用坐标表示出来 然后灵活运用空间向量坐标运算公式 对于由条件求向量的问题 可先把向量用坐标形式设出来 然后通过建立方程组 解方程的方法求出其坐标 题后感悟 向量平行与垂直问题主要有两种题型 1 平行与垂直的判断 2 利用平行与垂直求参数或其他问题 即平行与垂直的应用 解题时要注意 适当引入参数 比如向量a b平行 可设a b 建立关于参数的方程 最好选择坐标形式 以达到简化运算的目的 2 已知a 1 5 1 b 2 3 5 1 若 ka b a 3b 求k的值 2 若 ka b a 3b 求k的值 3 如图所示 直三棱柱ABC A1B1C1 底面 ABC中 CA CB 1 BCA 90 棱AA1 2 M N分别是A1B1 A1A的中点 1 求BN的长 2 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值 1 如何确定向量的坐标 1 向量的坐标可由其两个端点的坐标确定 可先求其两端点的坐标 2 通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标 3 给出条件求向量的问题 可先设出向量的坐标 然后通过建立方程组 解方程组求其坐标 2 如何利用向量坐标处理空间中的平行与垂直 1 向量化 即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行 2 向量关系代数化 即写出向量的坐标 3 求解 利用向量的坐标运算列出关系式求解 错
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