2019-2020学年烟台市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省烟台市高一上学期期末数学试题一、单选题1（ ）ABCD【答案】B【解析】将所求式子中的角变形为然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值.【详解】.故选：B.【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值熟练掌握公式是解本题的关键，是基础题.2方程的根所在的区间为（ ）ABCD【答案】D【解析】构造函数，分析函数在定义域上的单调性，然后利用零点存在定理可判断出该函数零点所在的区间.【详解】构造函数，则该函数在上为增函数，所以，函数至多只有一个零点，由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为.故选：D.【点睛】本题是一道判断方程的根所在区间的题目，一般利用零点存在定理来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3已知是第一象限角，那么是（）A第一象限角B第二象限角C第一或第二象限角D第一或第三象限角【答案】D【解析】根据象限角写出的取值范围，讨论即可知在第一或第三象限角【详解】依题意得，则，当 时，是第一象限角当 时，是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题4一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的弧长为6，面积为6，可得，解得，即扇形的圆心角为.故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5某商家准备在2020年春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比（ ）A略有降低B略有提高C相等D无法确定【答案】A【解析】先阅读题意，再列出现价，然后再比较大小即可.【详解】设现价为，原价为，则，故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的实际应用问题，重点考查的是阅读能力，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.6若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据半角公式化简原式，再根据的范围即可求得.【详解】由半角公式可得：，又知，原式=.故选：.【点睛】本题主要考查的是二倍角余弦公式的应用，以及三角函数在给定的范围内的正负问题，要求学生熟练掌握半角公式，考查学生的计算能力，是基础题.7如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ） A5B6C8D10【答案】C【解析】由图象可知当时，进而即可求出的值；接下来根据正弦函数的性质可得当时，有最大值，据此进行解答即可【详解】由图像可知：当时，当时，.故选：C.【点睛】本题是一道关于三角函数图象应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的图象与性质，是基础题.8已知函数，的零点分别为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，画出图形，数形结合得答案.【详解】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系内作出函数，与的图象如图所示：由图可知：，故选：B.【点睛】本题主要考查的是函数零点存在性定理，考查指数函数，对数函数，幂函数的图象的应用，数形结合思想的应用，是基础题.二、多选题9已知函数，则（ ）A为的一个周期B的图象关于直线对称C在上单调递减D的一个零点为【答案】AD【解析】利用余弦函数的周期性，对称性，单调性和诱导公式直接求解即可.【详解】根据函数知最小正周期为，正确.当时，由余弦函数的对称性知，错误；函数在上单调递减，在上单调递增，故错误； ，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是三角函数的周期，三角函数的对称性，函数零点的概念，三角函数的单调性，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解决本题的关键.10若，则（ ）ABCD【答案】AC【解析】利用指数与指数函数，对数和对数函数的图象和性质即可判断.【详解】项，因为，所以为单调递减函数，由得，故正确；项，因为，所以为单调递减函数，由，得，故错误；项，因为 ， ，所以，所以，故正确；项，取，则，故错误.故选：.【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图象和性质、指数与指数函数的图象和性质以及不等关系与不等式，考查学生的分析能力，是基础题.11如图，摩天轮的半径为40m，其中心点距离地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）A经过10min点距离地面10mB若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的倍C第17min和第43min时点距离地面的高度相同D摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于70m的时间为min【答案】ACD【解析】求出摩天轮的周期，设出时间，求出点上升的高度，求出点P离地面的高度，再一一判断即可.【详解】由图形知，可以以点为原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设出时间为，由题意：，可得，故点离地面的高度，即时刻点离地面的高度，化简得；当时，故正确；若摩天轮转速减半，,则其周期变为原来的倍,故错误；第17min点距离地面的高度为，第20min点距离地面的高度为，第17min和第43min时点距离地面的高度相同，故正确；摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于70m，即，即，得，或，解得或，共，故正确.故选：.【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立符合条件的坐标系，得出相应的函数模型,作出正确的示意图，然后由三角函数中的相关知识进行求解，是中档题.12已知函数的定义域为，若对，使得成立，则称函数为“函数”下列所给出的函数中是“函数”的有（ ）ABCD【答案】BD【解析】根据函数”的定义，逐一判断各函数是否为“函数”即可.【详解】由已知，在函数定义域内，对任意的 都存在着，使所对应的函数值与所对应的函数值互为相反数，即，故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“函数”的条件.对于中函数的值域为，值域不关于原点对称，故不符合题意；对于中函数的值域为，值域关于原点对称，故符合题意；对于中函数的值域为，值域不关于原点对称，故不符合题意；对于中函数的值域为R,值域关于原点对称，故符合题意.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数的性质，考查学生对新定义的理解，以及会求给定的函数的值域，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.三、填空题13函数的定义域为_【答案】2，+）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14已知，则_【答案】【解析】利用二倍角公式将化简，再把分母看做，分子分母同时除以，即可求得.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.15已知函数满足，则实数的值为_；若在上单调递增，则实数的最小值等于_（本题第一空2分，第二空3分）【答案】 1 【解析】根据题意取，再利用指数函数性质即可求得实数的值；将函数用分段函数表示，根据的单调性即可得出实数的最小值.【详解】（1）,取得，即，解得：；（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.在上单调递增，的最小值为：1.故答案为：；.【点睛】本题主要考查的是函数的概念和性质，考查学生对分段函数的理解和应用以及对函数性质的应用，考查学生的理解能力，是中档题.16在角、的终边上分别有一点、，如果点的坐标为，则_【答案】【解析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.【详解】，即由三角函数定义知=.故答案为：.【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.四、解答题17求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）；（2）2【解析】（1）利用对数的运算性质即可求得；（2）利用分数指数幂的运算性质即可求得.【详解】（1）原式；（2）原式=【点睛】本题主要考查的是分数指数幂的运算性质以及对数运算的性质，考查学生的计算能力，熟练掌握并应用公式是解决本题的关键，是基础题.18已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点（1）求的值；（2）已知，且，求的值【答案】（1）3；（2）【解析】（1）利用任意角三角函数的定义求得，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式即可求得要求的式子的值；（2）利用任意角三角函数的定义求得，再利用同角三角函数基本关系式求得，再利用两角差的余弦公式即可求得的值.【详解】（1）依题意，原式；（2）因为是第一象限角，且终边过点，所以，因为，且，所以， 所以【点睛】本题主要考查的是三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、正余弦的诱导公式以及两角差的余弦公式的应用，熟练掌握这些公式是解决本题的关键，是基础题.19科技创新在经济发展中的作用日益凸显某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%（1）现有三个奖励函数模型：，试分析这三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到万元【解析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；（2）由，解不等式即可.【详解】（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数，在且对，恒有且对于函数，当时，不符合要求；对于函数为减函数，不符合要求； 对于函数在，显然为增函数，且当时， ；又因为；而，所以当时，所以恒成立；因此，为满足条件的函数模型 （2）由得：，所以，所以公司的投资收益至少要达到万元【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力.20已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的表达式；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】(1)利用函数的图象得到，求出，利用函数图象经过的特殊点，求出，即可求出函数的解析式；（2）根据函数平移关系求出函数的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可.【详解】（1）由题图可知，所以，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因为，所以， 所以函数的表达式为（2）依题意，方程在上有实数解，即方程在上有实数解令，的值域为，所以实数的取值范围为【点睛】本题主要考查的是三角函数的解析式的求法、三角函数图象变换以及正弦三角函数图象和性质的应用，方程根的存在性，体现了转化的数学思想，考查学生的计算能力，是中档题.21某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数；（1）求出这个常数； （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解.（2）根据将用表示，再利用两角差的余弦、正弦展开化简即可证明.【详解】（1）；（2）推广：当时， 证明：，【点睛】本题主要考查的是二倍角公式，两角差的正弦、余弦公式，以及特殊角的三角函数值，归纳推理，考查的是学生的计算能力，要求学生熟练应用三角恒等变换，是中档题.22已知函数为奇函数（1）求实数的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即对定义域内任意恒成立，所以，即，显然，又当时，的定