--IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究.doc

数字信号处理课程论文 题 目 IIR和FIR数字滤波器的设计及其结构研究 授课教师 学生姓名 学 号 专 业电子信息科学与技术 教学单位 物理与电子信息学院 完成时间 目 录 摘要.11引言12 IIR数字滤波器22.1 IIR数字滤波器设计22.2模拟滤波器设计22.2.1 Butterworth模拟低通滤波器22.2.2模拟域频率变换42.2.3脉冲响应不变法52.2.4 双线性变换法62.3 设计例题一73 FIR数字滤波器93.1FIR数字滤波器设计93.2窗函数法设计数字滤波器93.2.1窗函数法.93.2.2频率取样法.10 3.3窗函数法和频率取样法的优缺点比较. 11 3.4设计例题二.114 IIR和FIR数字滤波器的基本结构12 4.1IIR数字滤波器基本结构.12 4.1.1IIR系统的直接型结构 .12 4.1.2IIR系统的级联型结构 .13 4.1.3IIR系统的并联型结构 .134.2 FIR数字滤波器基本结构.144.2.1FIR系统的直接型结构.144.2.2FIR系统的级联型结构.145数字滤波器设计方法总结.155.1IIR数字滤波器与FIR数字滤波器比较.155.2数字滤波器比较概括性总结.166参考文献.167附录. 167.1IIR仿真程序. 167.2FIR仿真程序.18【摘要】 数字滤波器是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件和程序。经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。根据数字滤波器冲激响应的时域特性，可以分成无限脉冲响应数字滤波器(简称IIR)和有限脉冲响应数字滤波器(简称FIR)，IIR和FIR数字滤波器的设计方法及其结构各不相同。本次课程设计先是对数字滤波器有关理论知识作介绍，在性能指标分析基础上分别对IIR带通数字滤波器和FIR低通数字滤波器运用MATLAB相关函数设计程序，得到幅频特性曲线图像，并对结果进行分析，最后总结课程设计。关键词 数字滤波器 滤波特性 IIR FIR MATLAB1.引言随着信息技术的迅猛发展，数字信号处理已成为一个极其重要的学科和技术领域。在通信、语音、图像、自动控制和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。数字滤波 (Digital Filter，DF)是数字信号处理的重要环节，它在数字信号处理中占有着重要的地位，它具有可靠性好、精度高、灵活性大、体积小、重量轻等优点。数字滤波器实际上是一个离散系统，其系统函数一般可表示为 的有理多项式，即 (1-1)当 ；i=1，2，.,N都为0时，由式（1-1）描述的系统称为有限脉冲响应数字滤波器，简称FIR数字滤波器。当系数 ；i=1，2，.,N中至少有一个是非零时，式（1-1）描述的系统称为无限脉冲响应数字滤波器，简称IIR数字滤波器。对于IIR数字滤波器，一般满足MH( s)H( z)。从频域来看模拟角频率与数字角频率的关系需通过建立，即。设计步骤如下：(1) 由式(2-5)将数字滤波器的频率指标转换为模拟滤波器的频率指标。 (2-5) (2) 设计通带截频、通带衰减、阻带截频、阻带衰减的模拟滤波器。(3) 利用双线性变换法将模拟滤波器的H( s)转换为数字滤波器的 H( z)。遵循公式(2-6)。 (2-6)双线性变换法的优、缺点： 双线性变换最突出的优点是避免了频率响应的混叠失真，缺点是频率响应的非线性失真，模拟角频率和数字角频率之间的关系如式(2-8)在零频率附近与之间的关系近似于线性，随着的增加，与之间的关系出现严重非线性，使数字滤波器频率响应不能保真地模仿模拟滤波器频率响应。 双线性变换法的非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，否则变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有较大畸变。2.3 设计例题一要求通带范围为0.195rad0.45rad，通带最大衰减为3dB，阻带范围为00.155rad和0.75radrad，阻带最小衰减为40dB。解题步骤如下： 1. 数字带通滤波器技术指标通带上截止频率u=0.45rad，通带下截止频率l=0.195rad，阻带上截止频率s2=0.55rad，阻带下截止频率s1=0.15rad通带内最大衰减p=3dB，阻带内最小衰减s=40dB。 2. 模拟带通滤波器技术指标为了计算简单，可设T=1，则有，(通带中心频率)(带宽)将以上边界频率对带宽B归一化，得到，3. 模拟归一化低通滤波器技术指标归一化阻带截止频率：归一化通带截止频率：p=1，p=3dB,s=40dB4. 设计模拟低通滤波器，取N=7查表得到归一化低通传输函数G(p),5. 模拟低通转换成模拟带通将归一化模拟低通转换成模拟带通6. 数字带通滤波器这里仅通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。7. Matlab仿真用Matlab仿真结果如图2.5所示，程序见附录一 。图2.5 IIR的Matlab仿真图 由以上运行结果可看出，此数字滤带通滤波器各项技术指标均实现。3.FIR数字滤波器 3.1 FIR数字滤波器设计 FIT数字滤波器是指系统的单位脉冲响应h（k）仅在有限范围内有非0值的滤波器。M阶(长度N=M+1) FIR数字滤波器的系统函数为： FIR滤波器的设计是建立在对期望滤波器频率特性的某种近似基础之上的 目前有许多方法可以设计FIR滤波器，比如窗函数设计法、频率取样法等。其中 窗函数设计法是滤波器设计的主要方法之一，由于运算简便，物理意义直观，已成为工程实际中应用最广泛的方法，常见的窗函数有：矩形窗、三角形窗、布莱克曼窗、切比雪夫窗等。3.2窗函数法设计数字滤波器3.2.1窗函数法1. 基本思想 窗函数法设计FIR滤波器的基本思想是在时域逼近理想滤波器的单位脉冲响应。首先根据待逼近的理想滤波器的频率响应 ，由IDTFT求出理想滤波器的单位脉冲响应hdk，再将无限长的hdk加窗截断得到有限长序列hk。为了获得线性相位FIR滤波器，在窗函数法设计FIR滤波器的过程中，需要将线性相位因子 加入理想滤波器的频率响应 。2.设计步骤(1)根据所需设计的滤波器，确定线性相位滤波器的类型（I型，II型，III型，IV型）。(2)确定理想滤波器的幅度函数 。(3)确定理想滤波器的幅相位 。对I型和II型线性相位FIR滤波器=0，对III型和IV型线性相位FIR滤波器= 。(4)由公式（3-1）计算 。 (3-1) (5)截断 得 其中k是长度N=M+1的矩形窗。3.2.2频率取样法1.基本思想 频率取样法的基本思想是使所设计的M阶FIR滤波器的频率响应 在M+1个取样点 ；m=0,1.M上与理想滤波器的频率响应 相等，即 （3-2）因此，频率取样法设计FIR滤波器的主要任务就是求出满足式（3-2）的hk。若频率取样点为 (I型取样)则有若所设计的滤波器为线性相位滤波器，则Hdm应满足线性相位条件。 2.设计步骤(1)根据所需设计的数字滤波器类型，确定线性相位FIR滤波器的类型。 (2)获得Hd(ej)在0,2p)区间的M+1个取样点上的值Hdm，并使Hdm 满足线性相位条件，即 (3)利用IDFT得到hk 3.3 窗函数法和频率取样法的优缺点比较 窗函数法的优点是简单，有闭合形式的公式可循，因而很实用。它的缺点是：加窗后，会使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度;在处会出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少;会出现吉布斯(Gibbs)效应;较为复杂时，不容易由反傅里叶变换求得。边界频率因为加窗的影响而不易控制。而频率取样法设计滤波器的最大优点是直接从频率域进行设计，比较直观，也适合于设计具有任意幅度特性是滤波器，它十分适用于窄带滤波器的设计。频率取样法设计的缺点是由于频率抽样点的分布必须符合一定规律，在规定通、阻带截止频率方面不够灵活。比如当截止频率不是整数倍数时会产生较大逼近误差。总之，在实际应用中，我们应当结合实际，有选择的选用它们。3.4 设计例题二用Hanning窗函数法和频率取样法设计一个线性相位FIR低通滤波器，并满足性能指标：通带边界频率p=0.3，阻带边界频率s=0.8，阻带衰减不小于40dB，通带波纹不大于3dB。 Matlab仿真结果如图3.1所示，程序见附录二。图3.1 FIR的Matlab仿真图由以上运行结果可看出，此数字线性相位FIR低通滤波器各项技术指标均实现。4.IIR和FIR数字滤波器的基本结构4.1 IIR数字滤波器基本结构 IIR滤波器的单位脉冲响应h(k)为无限长序列，系统函数H(z)在有限z平面上存在极点，因而结构上存在反馈环路，也具有递归结构。实现IIR数字滤波器的结构主要有直接型、级联型和并联型。4.1.1 IIR系统的直接型结构对于IIR系统 (4-1)相应的z变换可写成 (4-2)式中W(z)、Y(z)对应的差分方程分别是 (4-3)信号流图如图4.1所示。图4.1 IIR系统的直接实现由于数字系统的字长总是有限的，因此其系统精度总是有限的。每一个系统的量化误差及乘法器的舍入误差对输出都将有积累效应，以致输出误差偏大，这是直接实现形式的一个缺点。4.1.2 IIR系统的级联型结构将H(z)的分子分母多项式分成一阶或二阶多项式的连乘。考虑到H(z)若有复数极零点，则必为共轭成对出现，作物理实现时，其系数应为实数。因此将它们分解为二阶形式更为合理。若NM，N为偶数，则可将H(z)分成N/2个二阶多项式的连乘，若N为奇数，则子系统的数目应为(N+1)/2，其中包含一个一阶子系统。级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。二阶子系统信号流图如图4.2所示。图4.2 二阶子系统信号流图4.1.3 IIR系统的并联型结构将H(z)分解为各因式之和，则每个子系统有着共同的输入x(n)，而其输出之和便是系统的总输出y(n)。并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点。由于并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其它子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此是所述三种结构中误差最不敏感的结构形式。 4.2 FIR数字滤波器基本结构有限脉冲响应（简称FIR）系统的单位脉冲响应h(n)为有限长序列，系统函数H(z)在有限z平面上不存在极点，其运算结构中没有反馈支路。FIR数字滤波器的基本结构主要有直接型，级联型，频率取样型。4.2.1 FIR直接型结构直接型结构的输入输出关系如下： (4-4)通常在这种结构中需要N+1个乘法器和N个两输入加法器来实现。其结构图可以表示为图4.3 直接型结构4.2.2 FIR级联型结构级联型结构的输入输出关系如下： (4-5)高阶FIR传输函数可以由一阶或二阶传输函数级联实现，它是通过对式(4-5)进行因式分解得到的。 (4-6)其中，当N为偶数时，K=N/2；当N是奇数时，K=(N+1)/2且=0。由于级联形式是规范型结构，所以需要用N个两输入的加法器和N+1个乘法器来实现N阶有限脉冲响应传递函数。图4.4 级联型结构 有限脉冲响应滤波器的另一种实现是基于传输函数的多相位分解所得到的并联结构。一般情况下，L支N阶多相分解的传输函数具有以下形式： (4-7)式中 (4-8)5. 数字滤波器设计方法总结5.1 IIR数字滤波器与FIR数字滤波器比较IIR数字滤波器的主要优点是：设计方法简单，通常只要将技术指标代入设计方程组就可以设计出原型滤波器，然后再利用相应的变换公式求得所需要的滤波器系统函数的系数；在满足一定技术要求和幅频响应的情况下，IIR数字滤波器设计成为具有递归运算的环节，所以它的阶次一般比FIR数字滤波器低，所用的存储单元少，滤波器体积也小。其主要缺点是：只能设计出有限频段的低、高、带通和带阻等选频滤波器，除幅频特性可以满足技术要求外，它们的相频特性往往是非线性的，这就会使信号产生失真；由于IIR数字滤波器采用了递归型结构，系统存在极点，因此设计系统函数时，必须把所有的极点放在单位圆内，否则系统不稳定，而且有限字长效应所带来的运算误差，可能会使得系统产生寄生振荡。而FIR数字滤波器的主要优点是：可以设计出具有线性相位的FIR数字滤波器，从而保证信号在传输过程中没有失真；由于FIR数字滤波器没有递归运算，因此不论在理论还是实际应用中，都不会因为有限字长效应所带来的运算误差使得系统不稳定；FIR数字滤波器可以采用快速傅里叶变换实现快速卷积运算，在相同阶数的条件下运算速度快。其主要缺点是：虽然可以采用加窗方法或频率采样等简单方法设计FIR数字滤波器，但往往在过渡带上和阻带衰减上难以满足要求，因此不得不多次迭代或者计算机辅助设计，从而使得设计过程变得复杂；在相同频率特性情况下，FIR数字滤波器阶次比较高，因而所需要的存储单元多，从而提高了硬件设计成本。5.2数字滤波器比较概括性总结本次课程设计首先给出了滤波的概念、分类及模拟滤波器设计，接着讨论了无限冲激响应和有限冲激响应数字滤波器的各种设计方法，重点是按照频域技术指标为依据的滤波器设计。对于无限冲激响应，介绍了冲激响应不变法、双线性映射法、IIR滤波器的频率变换设计法、IIR数字滤波器的直接设计法。对于有限冲激响应，介绍了FIR滤波器窗函数设计法、FIR滤波器频率采样设计法。 6.参考文献：1陈后金数字信号处理2版M北京：高等教育出版社2008112陈桂明等，应用MATLAB语言处理数字信号与数字图像科学出版社，20003孙强运用MATLAB实现数字滤波器的设计J电脑学习，2005(2)：32-334李勇，徐震MATLAB辅助现代工程数字信号处理M西安：西安电子科技大学出版社，20025陈怀琛数字信号处理教程-MATLAB释义与实现M北京：电子工业出版社，20047. 附录1、 IIR仿真程序%BW型带通滤波器的指标Wp1=0.195*pi;Wp2=0.45*pi;Ws1=0.155*pi;Ws2=0.75*pi;B=Wp2-Wp1;W02=Wp2*Wp1;W0=sqrt(W02);%确定原型低通滤波器的指标Wp、Ws Wp11=(Wp1*Wp1-W02)/B/Wp1;Wp22=(Wp2*Wp2-W02)/B/Wp2;Ws11=(Ws1*Ws1-W02)/B/Ws1;Ws22=(Ws2*Ws2-W02)/B/Ws2;Wp=max(abs(Wp11),abs(Wp22);Ws=min(abs(Ws11),abs(Ws22);%设置通带最大和最小衰减 Ap=2; As=27; %调用butter函数确定巴特沃斯滤波器阶数N,WcN,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); %调用butter函数设计巴特沃斯滤波器num,den=butter(N,Wc,s); %绘出巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性曲线 W1=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段频率值 hf1=freqs(num,den,W1); %计算模拟滤波器的幅频响应 subplot(2,2,1);plot(W1/pi,abs(hf1)/abs(hf1(1);grid on;title(巴特沃斯原型模拟滤波器);xlabel(频率rad/s);ylabel(幅度);%将原型低通转为带通滤波器numt,dent=lp2bp(num,den,W0,B); %绘出带通滤波器的幅频特性曲线 W1=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段频率值 hf2=freqs(numt,dent,W1); %计算模拟滤波器的幅频响应 subplot(2,2,2);plot(W1/pi,abs(hf2)/abs(hf2(1);grid on;title(转换的带通模拟滤波器);xlabel(频率rad/s);ylabel(幅度);%利用脉冲响应不变法设计数字带通滤波器T=1; %设置采样周期为1fs=4000; %采样频率为周期倒数wpz=0.25,0.45;wsz=0.15,0.55;wp1=wpz/T;ws1=wsz/T;n1,wc1=buttord(wp1,ws1,Ap,As,s); %计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率wc1,与前面BW不同b1,a1=butter(n1,wc1,s); %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量b1,a1bz1,az1=impinvar(b1,a1,fs);nd1,wdc1=buttord(wpz,wsz,Ap,As);bd1,adz1=butter(nd1,wdc1);hf3=freqz(bd1,adz1,W1)subplot(2,2,3);plot(W1/pi,abs(hf3)/abs(hf3(1); %绘出巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线 grid on;title(脉冲响应不变法实现图);xlabel(频率rad/s);ylabel(幅度);%利用双线性不变法设计数字带通滤波器 t=1; fs=4000;wpz=0.25,0.45;wsz=0.15,0.55;wp=2/t*tan(wpz/2);ws=2/t*tan(wsz/2);n,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s); %计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率wcb,a=butter(n,wc,s); %计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量b,abz,az=bilinear(b,a,fs);nd,wdc=buttord(wpz,wsz,Ap,As);bd,adz=butter(nd,wdc);hf4=freqz(bd,adz,W1)subplot(2,2,4)plot(W1/pi,abs(hf4)/abs(hf4(1);xlabel(频率rad/s); ylabel( 幅度); title(双线性变换法实现图)2、 FIR仿真程序%窗函数法设计一个II型线性相位FIR低通滤波器wp=0.3*pi;ws=0.8*pi;wdelta=ws-wp;N=ceil( 8*pi/wdelta );N=mod(N+1,2)+N;wc= (wp+ws) /2;a=0:A-1;alpha= (N-1) /2;m=a-alpha+0.00001;hd=sin (wc*m)./ (pi*m) ;win=hanning( N) ;h=hd.*win;b=h;W=linspace(0,p