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数学发展简史 数学家庞加莱说 若想预见数学的将来 正确的方法是研究它的历史和现状 法国人类学家斯特劳斯说 如果他不知道他来自何处 那就没有人知道他去向何方 数学史将告诉我们来自何处 庞加莱是法国近代最伟大的数学家 1854年4月29日生于南锡 1912年7月17日卒于巴黎 数学发展史大致可以分为四个基本上本质不同的阶段 第一个时期 数学形成时期 这是人类建立最基本的数学概念的时期 人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念 简单的计算法 并认识了最简单的几何形式 算术与几何还没有分开 第二个时期称为初等数学 即常量数学时期 这个时期的基本的 最简单的成果构成现在中学数学的主要内容 这个时期从公元前5世纪开始 也许更早一些 直到17世纪 大约持续了两千年 这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支 算术 几何 代数 三角 第三个时期是变量数学时期 第四个时期是现代数学 一 数学文明的发祥 数学文明的发祥可以追溯到4千年前 甚至更久 世界公认的四大文明古国 中国 埃及 巴比伦 印度 其文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽 埃及 几何的故乡已掌握了加 减 乘 除四种运算 会算一些平面图形的面积及一些立体的体积 埃及的金字塔 建于公元前三千年至公元前一千多年 这些古建筑留下了许多数学之谜 塔底每边长230米 误差小于20厘米 塔高146 5米 东南与西北角误差仅1 27厘米 直角误差仅有12 方位角误差在2 到5 之间 这样的精确度 现代建筑也望尘莫及 用石达230万块之多 重量从2 5吨到50吨不等 石块间接缝处连铅笔刀也难插入 塔高的10亿倍恰好等于地球到太阳的距离 底边与高度之比的2倍近似等于3 14159 而这是公元3世纪时的人才得到的圆周率的近似值 穿过塔的子午线恰好把地球上的陆地和海洋分为均匀的两半 塔的重心正好位于各大陆引力的中心线上 古埃及人靠什么计算方法和计算工具达到如此的精确度呢 科学研究表明 他们已具有丰富的天文学和数学知识 巴比伦 代数的源头会开平方 开立方 并有平方 平方根 立方和立方根表 知道二次方程的求根公式 印度 阿拉伯数字的诞生地印度数学的发展晚于埃及 巴比伦 希腊和中国 印度人的特殊贡献有 阿拉伯数字是印度人的发现 他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字 直到公元8世纪才传入阿拉伯国家 后经阿拉伯人传入欧洲 用符号 0 表示零是印度人的一大发明 二 现代文明的发祥地 希腊 世界上曾经存在21种文明 但只有希腊文化转变成了今天的工业文明 究其原因 乃是数学在希腊文明中提供了工业文明的要素 古希腊的世界并不限于今天称作 希腊 的那部分 而是东部扩展到爱奥尼亚 土耳其的西部 西部扩展到意大利南部和西西里 南部扩展到亚历山大 埃及 希腊人从埃及和巴比伦人那里学习了代数和几何的原理 但是埃及和巴比伦人的数学基本上是经验的总结 是零散的 希腊人将这些零散的知识组成一个有序的系统的整体 他们努力使数学更加深刻 更加抽象 更加理性化 柏拉图说 无论我们希腊人接受什么东西 我们都要将其改善 并使之完美无缺 到公元前3世纪 在最伟大的古代几何学家欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯的时代达到了顶峰 而终止于公元6世纪 当时最光辉的著作是欧几里得的 几何原本 尽管这部书是两千多年以前写成的 但是它的一般内容和叙述的特征 却与现在我们通用的几何教科书非常相近 欧几里得 Euclid 约公元前300年 是古代最杰出的数学家之一 欧几里得的 几何原本 的出现是数学史上的一个伟大的里程碑 自1482年第一个印刷本出版以后 至今已有一千多种版本 在我国 明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷 于1607年出版 这部著作一直流传到今天 其影响远远超出了数学以外 对整个人类文明都带来巨大影响 欧几里得的几百条证明是仅仅靠几条公理推导出来的 这些演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量 受这一成就的鼓舞 人们把理性运用于其他领域 逻辑学家 哲学家 政治家和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里得的模式 来建立他们自己的理论 欧几里得可能不是第一流的数学家 但是第一流的教师 他写的教科书持续使用了两千多年 当今每一个有文化的人无不受到他的深刻影响 阿基米德大约于公元前287年出生在西西里岛的叙拉古 阿基米德的著作极为丰富 是希腊数学的顶峰 他对数学做出的最引人注目的贡献是 积分方法的早期发展 公元前212年罗马人攻陷叙拉古时阿基米德被害 城被攻破时 他正在潜心研究画在沙盘上的一个图形 一个刚攻进城的罗马士兵向他跑来 身影落在沙盘里的图形上 他挥手让士兵离开 以免弄乱了他的图形 结果那士兵就用长矛把他刺死了 这位科学巨人阿基米德的死象征一个时代的结束 怀特海对此评论道 阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征 务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人 领导了欧洲 罗马人是一个伟大的民族 但是受到这样的批评 讲求实效 而无建树 他们没有改进祖先的知识 他们的进步只限于工程上的技术细节 他们没有梦想 得不出新观点 因而不能对自然的力量得到新的控制 此后是千余年的停滞 随着希腊科学的终结 在欧洲出现了科学萧条 数学发展的中心移到了印度 中亚细亚和阿拉伯国家 在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间 数学主要由于计算的需要而得到发展 印度人发明了现代记数法 后来传到阿拉伯 从发掘出来的材料来看 中国是使用十进制最早的国家 引进了负数 到了16世纪 欧洲文艺复兴时代 欧洲人向阿拉伯学习 并根据阿拉伯文的翻译熟识了希腊科学 从阿拉伯沿袭过来的印度记数法逐渐在欧洲确定下来 欧洲科学终于越过了先人的成就 变量数学产生于17世纪 大体上经历了两个决定性的重大步骤 第一步是解析几何的产生 第二步是微积分的创立 到16世纪 封建制度开始消亡 资本主义开始发展并兴盛起来 在这一时期中 家庭手工业 手工业作坊逐渐地转化为以使用机器为主的大工业 实践的需要和各门科学本身的发展使自然科学转向对运动的研究 因此对数学提出了新的要求 对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究 在数学中产生了变量和函数的概念 数学对象的这种根本扩展决定了数学向新的阶段 即向变量数学时期的过渡 数学中专门研究函数的领域叫做数学分析 它的主要内容是微积分 所以 从17世纪开始的数学的新时期 变量数学时期可以定义为数学分析出现与发展的时期 三 变量数学时期 变量数学建立的第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作 几何学 这本书奠定了解析几何的基础 从而变量进入了 运动进入了数学 恩格斯指出 数学中的转折点是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 笛卡儿 Ren Descartes 1596 1650 法国科学家 哲学家 数学家 1596年3月13日 生于法国西部的希列塔尼半岛上的图朗城 3天后 母亲去世 从小便失去母亲的笛卡儿一直体弱多病 1649年10月 勒内 笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩 为这位19岁的姑娘讲授哲学和数学 很遗憾由于笛卡儿对女王的生活习惯不适应 加上严寒冬天的威胁 这位伟大的数学家 物理学家和哲学家病倒了 1650年2月11日 这位科学巨人与世长辞了 变量数学发展的第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在17世纪后半叶建立了微积分 微积分的诞生具有划时代的意义 是数学史上的分水岭和转折点 对此恩格斯是这样评价的 在一切理论成就中 未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了 如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩 那正是在这里 数学发展第一时期与第二时期的主要成果 即初等数学中的主要内容已经成为中小学教育的内容 第三个时期的基本结果 如解析几何 部分已放入中学 微积分 部分已放入中学 微分方程 高等代数 概率论 部分已放入中学 等已成为高等学校理工科教育的主要内容 现代数学时期 大致从19世纪上半叶开始 数学发展的现代阶段的开端 以其所有的基础 代数 几何 分析 中的深刻变化为特征 四 现代数学 几何学的进一步发展 欧氏几何到非欧几何 现实空间到抽象空间 在19世纪上半叶 罗巴切夫斯基建立了非欧几何学 1854年著名的德国数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最重要的步骤 在这些研究的基础上 产生了各种新的 空间 和它们的 几何 罗巴切夫斯基空间 射影空间 黎曼空间 拓扑空间等等 并找到自己的应用 直到19世纪上半叶以前 几何的真正发展没有走上正路 一直想在欧氏几何完全正确的地方进行修正 这就是关于欧氏几何第五公设的研究 几何原本 共有五条公设 给定两点 可连接一线段 线段可无限延长 给定一点为中心和通过另一点可以作一圆 所有直角彼此相等 同平面内一条直线和另外两条直线相交 若在直线同侧的两个内角之和小于180 则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交 第五公设又称为平行公设 与下述命题等价 过直线外一点 有且仅有一条直线与已知直线平行 长期以来 数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来 显得文字叙述冗长 而且也不那么显而易见 有些数学家还注意到欧几里得在 几何原本 一书中直到第二十九个命题中才用到 而且以后再也没有使用 也就是说 在 几何原本 中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题 因此 一些数学家提出 第五公设能不能不作为公设 而作为定理 能不能依靠前四个公设来证明第五公设 这就是几何发展史上最著名的 争论了长达两千多年的关于 平行公理 的讨论 由于证明第五公设的问题始终得不到解决 人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对 第五公设到底能不能证明 到了十九世纪二十年代 俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中 他走了另一条路子 欧氏几何的第五公设为 过直线外一点 有且仅有一条直线与已知直线平行 否定它 得到新的公设 过直线外一点 至少可以作两条直线和已知直线平行 过直线外一点 不能作直线和已知直线平行 罗巴切夫斯基用 过直线外一点 至少可以作两条直线和已知直线平行 来代替第五公设 然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统 展开一系列的推理 他认为如果以这个系统为基础的推理中出现矛盾 就等于证明了第五公设 但是 在他极为细致深入的推理过程中 得出了一个又一个在直觉上匪夷所思 但在逻辑上毫无矛盾的命题 最后 罗巴切夫斯基得出两个重要的结论 第一 第五公设不能被证明 第二 在新的公理体系中展开的一连串推理 得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理 并形成了新的理论 这个理论像欧氏几何一样是完善的 严密的几何学 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何 简称 罗氏几何 这是第一个被提出的非欧几何学 由于两千年来 人们坚信欧氏几何是唯一可靠的几何 其他任何与之矛盾的几何是绝对不能接受的 受这种传统偏见的约束 要承认非欧几何是需要一定的勇气的 高斯是真正预见到非欧几何的第一人 不幸的是 毕其一生高斯没有关于非欧几何发表什么意见 他的先进思想是他与好友的通信 对别人著作的评论 以及他死后从稿纸中发现的几份札记 虽然他克制自己 没有发表自己的发现 但是他鼓励别人坚持这方面的研究 预见到非欧几何的第二人是匈牙人J 波尔约 他的父亲与高斯长期交往甚厚 并对平行公设感兴趣 J 波尔约受他父亲的影响热衷于这项研究 大约在1825年建立起非欧几何的思想 写了一篇26页的论文 作为附录附于他父亲的一本书中 虽然人们承认高斯和J 波尔约是最先料想到非欧几何的人 但俄罗斯数学家罗巴切夫斯基实际上是有系统发表此课题著作的第一人 他赢得了 几何学上的哥白尼 的称号 罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理 因此 凡是不涉及到平行公理的几何命题 在欧氏几何中如果是正确的 在罗氏几何中也同样是正确的 在欧氏几何中 凡涉及到平行公理的命题 在罗氏几何中都不成立 他们都相应地含有新的意义 下面举几个例子加以说明 欧氏几何同一直线的垂线和斜线相交 存在相似的多边形 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆 罗氏几何同一直线的垂线和斜线不一定相交 不存在相似的多边形 过不在同一直线上的三点 不一定能做一个圆 第二种非欧几何的发现者是德国数学空黎曼 黎曼用 过直线外一点 不能作直线和已知直线平行 来代替第五公设 从而产生了黎曼的非欧几何 黎曼于1826年9月17日 出生在德国的一个农村 19岁到哥廷根大学读书 成为高斯晚年的一名高才生 哥廷根大学在后来的100多年里一直是世界数学的研究中心 黎曼毕业后留校任教 15年后 1866年 死于肺结核 他在1851年所作的一篇论文 论几何学作为基础的假设 中明确的提出另一种几何学的存在 开创了几何学的一片新的广阔领域 黎曼几何中的一条基本规定是 在同一平面内任何两条直线都有公共点 交点 在黎曼几何学中不承认平行线的存在 代数的质变 群 环 域等代数结构的研究 伽罗华 在19世纪 代数也出现质的变化 以往的代数是关于数字的算术运算学说 现在这种算术运算是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察 现代代数理论是19世纪从许多数学家的研究中形成的 其中尤以法国数学家伽罗华著称 群论与线性代数是现代代数中内容丰富的两个分支 伽罗华 EacutevaristeGalois 公元1811年 公元1832年 是法国对函数论 方程式论和数论作出重要贡献的数学家 他的工作为群论 一个他引进的名词 奠定了基础 所有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程解 SolutionbyRadicals 的不可能性 其实当时已为阿贝尔 Abel 所证明 只不过伽罗华并不知道 和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算 虽然他己经发表了一些论文 但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时 第一次所交论文却被柯西 Cauchy 遗失了 第二次则被傅立叶 Fourier 所遗失 他还因撰写反君主制的文章而被开除 且因信仰共和体制而两次下狱 他第三次送交科学院的论文亦为泊松 Poisson 所拒绝 伽罗华死于一次决斗 可能是被保皇派或警探所激怒而致 时年21岁 他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一 后来的一些著名数学家们说 他的死使数学的发展被推迟了几十年 分析也发生了深刻的变化 首先 它的基础得到了精确化 并产生了一系列新的分支 如实变函数 复变函数论 函数逼近论 微分方程定性理论 积分方程论 泛函分析等等 进入20世纪以来 数学的研究对象 数学的应用范围大大扩展 特别是计算机的出现 产生了众多新而又新的数学分支 中国数学史 独立于西方世界 中国是世界上数学萌芽最早的国家 2000年4月28日光明日报报道 河南舞阳贾湖遗址的发掘与研究 中有这样几句话 贾湖人已有百以上的整数概念 并认识了正整数的奇偶规律 运算法则 这为研究我国的度量衡的起源与音乐的关系 提供了重要线索 从数学家的眼光来看 八千多年前 中国已经有了相当发展的数学 因为确定音律需要数学 而且不是简单的数学 秦始皇的焚书坑儒是历史上的一大悲剧 许多重要的著作被焚毁了 使无法了解中国古代数学究竟还有哪些成果 从发掘出来的材料来看 中国是使用十进制最早的国家 到周代已有了四则运算的记载 春秋战国时代已有了乘法口诀 这里不系统地讨论中国的数学发展史 只介绍一些对世界数学史产生重大影响的著名问题 这些问题已融入世界文化之中 两汉时期的数学1 周髀算经 与勾股定理在我国现存的古代数学著作中 最早的著作是 周髀算经 成书年代不晚于公元前2世纪的西汉时期 其中最突出的是勾股定理 中国数学史上最先给出勾股定理证明的是公元三世纪三国时期的赵爽 2 九章算术