18. 数列中存在性问题的研究(2).doc

专题：数列中存在性问题的研究（2）一、问题提出二、思考探究探究1：已知数列an中，a2a(a为非零常数)，其前n项和Sn满足：Sn(nN*).（1）求数列an的通项公式；（2）若a2，且，求m、n的值；（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列an中满足的最大项恰为第3p2项?若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1) 证明:由已知，得a1=S1=0，Sn=， 则有Sn+1=，2(Sn+1Sn)=(n+1)an+1nan，即(n1)an+1=nan nN*，nan+2=(n+1)an+1，两式相减得，2an+1=an+2+an nN*， 即an+1an+1=an+1an nN*，故数列an是等差数列，又a1=0，a2=a，an=(n1)a. (2) 法一：由，得n2-n+11=(m-1)2，显然且是方程的一组解当时，此时比小的平方数中最大的一项则是，所以，即，得无解当时，此时比大的平方数中最小的一项则是，所以，即，得，整数逐项检验，无整数解；法二：由，得n2-n+11=(m-1)2，即4(m-1)2(2n-1)2=43，(2m+2n-3)(2m2n-1)=43. 43是质数, 2m+2n-32m2n-1, 2m+2n-30,解得m=12,n=11. （3）由an+bp，得a(n1)+bp若a0，则n+1不等式an+bp成立的最大正整数解为3p2，3p2+13p1， 即2ab(3a1)p3ab对任意正整数p都成立3a1=0，解得a=， 此时，b01b，解得b1故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，b1探究2：已知函数，数列数列满足：=1，（），（1）求证：； (2) 求；（3）在数列中是否存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长？若能，请求出这三项；若不能请说明理由【解析】（1）证明：，3分（2），由（1）知，设，数列是等比数列，公比为2，首项，数列是等比数列，公比为4，首项，又，=8分（3）设，假设在数列中存在三项（，），使得此三项能成为某一三角形的三条边长，数列是递增数列，要使能成为某一三角形的三条边长，需且只需，依题意，且 由于所以恒成立，所以在数列中不存在不同的三项，使得此三项能成为某一三角形的三条边长 探究3：已知数列是由正数组成的等比数列，是其前项和.（1）当首项，公比时，对任意的正整数都有 成立， 求的取值范围； （2）判断的符号，并加以证明；（3）是否存在正常数及自然数，使成立？若存在，请求出相应的；若不存在，说明理由.解：（1）， 即，代入计算得，因为对任意的恒成立，所以（1） 符号为负证明：当时，当时，是由正数组成的数列，则且 综上，为负 （2） 假设存在一个正常数满足题意，则有 由（1）得 式不成立 故不存在正常数使结论成立 三、真题链接四、反思提升五、反馈检测1. 已知数列的前三项分别为，且数列的前项和满足，其中，为任意正整数.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）求满足的所有正整数，.【解答】（1）略an Snn23n1，nN*(2) 记San33k2(*)n1时，无正整数k满足等式(*)n2时，等式(*)即为(n23n1)23(n10)k2. 当n10时，k131 当n10时，则kn23n1，又k2(n23n)22n23n310，所以kn23n.，从而n23nkn23n1.又n，kN*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*) 当n10时，则kn23n1，因为kN*，所以kn23n2.从而(n23n1)23(n10)(n23n2)2.即2n29n270.因为nN*，所以n1或2.n1时，k252，无正整数解；n2时，k2145，无正整数解综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n10，k131.【反思】利用整数平方数的特征，用夹逼策略缩小范围，从而得到整数解2. 设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.解：（1）数列是各项均为正数的等比数列，又，； （2）（）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，若，则， . 若，则，左边为偶数，等式不成立，若，同理也不成立，综合，得，所以必要性成立. （）充分性：设，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以