matlab数理统计知识讲解.ppt

1 数学实验 第十讲数理统计的matlab求解 Matlab介绍 一 统计量 2020 3 7 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 4 偏度系数的意义由图2 1可表示出来 图2 1 目录上页下页返回结束 2020 3 7 中国人民大学六西格玛质量管理研究中心 5 峰度用峰度系数表示 目录上页下页返回结束 二 基本统计量 对随机变量x 计算其基本统计量的命令如下 均值 mean x 中位数 median x 标准差 std x 方差 var x 偏度 skewness x 峰度 kurtosis x 2020 3 7 7 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 1 数组的平均值 Y mean X 功能 当X为向量时 输出一个平均数 当X为矩阵时 输出为行向量 对应于矩阵每列的平均值 因此计算矩阵所有数的平均值 应用嵌套 mean mean X 或m mean X 与此类似的有 求和 sum 最大 max 最小 min 等2 离散型随机变量的期望 EX sum X P 功能 计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3 连续型随机变量的期望 EX int x fx x a b 功能 用积分计算期望 2020 3 7 8 随机变量的数字特征 例4设随机变量X的分布列 求期望 程序 clear x 1 0 2 3 p 1 8 1 4 3 8 1 4 EX sum x p 1 3750 2020 3 7 9 3 3随机变量的数字特征 例3 5设随机变量X的分布密度为 且EX 3 5 求常数a b的值 程序 clear symsabx fx a b x 2 EX int x fx x 0 1 EX 1 4 b 1 2 aF int fx x 0 1 F a 1 3 bf1 EX 3 5 f2 F 1 a b solve f1 f2 a 3 5 b 6 5 2020 3 7 10 3 3随机变量的数字特征 例3 6设随机变量X的分布密度为 求随机变量Y X 的期望 程序 clear symsx fx1 0 5 exp x fx2 0 5 exp x EY int x fx1 x inf 0 int x fx2 x 0 inf EY 1 2020 3 7 11 随机变量的数字特征 随机变量的方差 1 统计数据的方差 D var X 1 功能 当X为向量时 输出一个标量 当X为矩阵时 输出为行向量 对应于矩阵每列的方差值 因此计算矩阵所有数的方差值 应用嵌套 var var X 缺省1 计算 否则计算 2 统计数据的标准差 S std X 1 功能 用法和1的解释同上3 一般随机变量的方差 DX E X2 EX 2功能 用积分或级数编程计算 2020 3 7 12 随机变量的数字特征 例3 7设随机变量X的分布密度为 求随机变量X的期望和方差 程序 clear symsx fx 2 pi cos 2 x EX int x fx x pi 2 pi 2 E2X int x 2 fx x pi 2 pi 2 DX E2X EX 2 2020 3 7 13 随机变量的数字特征 常见分布的期望和方差 1 二项分布 E D binostat n p 说明 n p可以是标量 向量 矩阵 则E D是对应的标量 向量 矩阵2 超几何分布 E D hygestat M N K 3 泊松分布 E D poissstat lambda 4 均匀分布 E D unifstat a b 5 指数分布 E D expstat lambda 6 正态分布 E D normstat mu sigma 其他 gamstat tstat fstat chi2stat 等等 2020 3 7 14 随机变量的数字特征 协方差与相关系数的计算 1 随机变量的协方差 cov X Y E X EX Y EY 2 随机变量的相关系数 cov X Y sqrt DX DY 3 统计数据的协方差cov X 当X为向量时 cov X var X 当X为矩阵时 结果为X的协方差矩阵 对角线是X每列的方差 Xij为X的第i列和第j列的协方差值 cov X Y 计算向量X和Y的协方差值4 统计数据的相关系数corrcoef X corrcoef X Y 说明与用法与cov 相同 2020 3 7 15 3 3随机变量的数字特征 矩的计算 1 随机变量的k阶中心矩 Bk moment X k 2 随机变量的k阶原点矩 Ak sum X k length X 三 常见概率分布的函数 MATLAB工具箱对每一种分布都提供5类函数 其命令字符为 概率密度 pdf概率分布 cdf逆概率分布 inv均值与方差 stat随机数生成 rnd 当需要一种分布的某一类函数时 将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来 并输入自变量 可以是标量 数组或矩阵 和参数即可 在MATLAB中输入以下命令 x 6 0 01 6 y normpdf x z normpdf x 0 2 plot x y x z 1 密度函数 p normpdf x mu sigma 当mu 0 sigma 1时可缺省 如对均值为mu 标准差为sigma的正态分布 举例如下 3 逆概率分布 x norminv P mu sigma 即求出x 使得P X x P 此命令可用来求分位数 2 概率分布 P normcdf x mu sigma 4 均值与方差 m v normstat mu sigma 例5求正态分布N 3 52 的均值与方差 命令为 m v normstat 3 5 结果为 m 3 v 25 5 随机数生成 normrnd mu sigma m n 产生m n阶的正态分布随机数矩阵 例6命令 M normrnd 123 456 0 1 2 3 结果为 M 0 95672 01252 88543 83345 02886 1191 此命令产生了2 3的正态分布随机数矩阵 各数分别服从分布 N 1 0 12 N 2 22 N 3 32 N 4 0 12 N 5 22 N 6 32 1 给出数组data的频数表的命令为 N X hist data k 此命令将区间 min data max data 分为k个小区间 缺省为10 返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X 2 描绘数组data的频数直方图的命令为 hist data k 四 直方图的描绘 2020 3 7 21 随机变量及其分布 注 以后碰到命令末尾为 rnd 产生随机数X cdf 产生分布函数F x pdf 产生密度函数p x 或分布列Px P X x inv 计算x F 1 p p F x 2020 3 7 22 常见分布的随机数产生 2020 3 7 23 专用函数计算概率密度函数表 2020 3 7 24 专用函数的累积概率值函数表 2020 3 7 25 常用临界值函数表 2020 3 7 26 常见分布的均值和方差 2020 3 7 27 随机变量及其分布 例3 1某人向空中抛硬币100次 落下为正面的概率为0 5 这100次中正面向上的次数记为X 1 试计算x 45的概率和x 45的概率 2 绘制分布函数图象和分布列图象 程序 clear px pdbinof 45 100 0 5 计算x 45的概率px 0 0485fx binocdf 45 100 0 5 计算x 45的概率fx 0 1841 x 1 100 p1 binocdf x 100 0 5 plot x p1 title 分布函数图 2020 3 7 28 3 1随机变量及其分布 p2 binopdf x 100 0 5 plot x p2 r title 概率分布图 2020 3 7 29 3 1随机变量及其分布 例3 2设X N 2 0 25 1 求概率P 1 X 2 5 2 绘制分布函数图象和分布密度图象 3 画出区间 1 5 1 9 上的分布密度曲线下方区域 程序 1 p normcdf 2 5 2 0 5 normcdf 1 2 0 5 p 0 8186 2 x 0 0 1 4 px normpdf x 2 0 5 fx normcdf x 2 0 5 plot x px b holdon plot x fx r legend 正态分布函数 正态分布密度 3 specs 1 5 1 9 pp normspec specs 2 0 5 2020 3 7 30 3 1随机变量及其分布 31 3 4参数估计 常用分布的参数估计 1 正态分布的参数估计格式 muhat sigmahat muci sigmaci normfit X alpha 功能 数组X服从正态分布 给定显著水平alpha 缺省时为0 05 前二项给出点估计 后二项给出区间估计 X为矩阵时 针对列进行计算 2 二项分布的参数估计 n重已知 p未知 格式 phat puci binofit X n alpha 3 泊松分布的参数估计格式 lbdhat lbdci poissfit X alpha 4 均匀分布的参数估计格式 ahat bhat aci bci unifit X alpha 2020 3 7 32 3 4参数估计 5 指数分布的参数估计格式 lbdhat lbdci expfit X alpha 6 通用命令mle 格式 输出参数项 mle 分布函数名 X alpha N 说明 分布函数名有 bino 二项 geo 几何 hyge 超几何 poiss 泊松 uinf 均匀 unid 离散均匀 exp 指数 norm 正态 t T分布 f F分布 beta 贝塔 gam 伽吗 N当二项时需要 其他没有 2020 3 7 33 例3 8设生成一组均值为15 方差为2 52的正态分布的随机数据 然后对这组数据进行置信度97 的参数估计 程序 clear w normrnd 15 2 5 50 1 或w 15 2 5 randn 50 1 alpha 0 03 mh sh mc sc normfit w alpha 运行一次 mh 15 1076sh 2 4038mc 14 3478 15 8674sc 1 9709 3 0703 3 4参数估计 2020 3 7 34 例3 9设从一大批产品中抽取100个产品 经检验知有60个一级品 求这批产品的一级品率 置信度95 程序 clear alpha 0 05 N 100 X 60 Ph Pc mle bino X alpha N 运行一次 Ph 0 6000Pc 0 4972 0 6967 3 4参数估计 五 参数估计 1 正态总体的参数估计 设总体服从正态分布 则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得 muhat sigmahat muci sigmaci normfit X alpha 此命令在显著性水平alpha下估计数据X的参数 alpha缺省时设定为0 05 返回值muhat是X的均值的点估计值 sigmahat是标准差的点估计值 muci是均值的区间估计 sigmaci是标准差的区间估计 2 其它分布的参数估计 有两种处理办法 一 取容量充分大的样本 n 50 按中心极限定理 它近似地服从正态分布 二 使用MATLAB工具箱中具有特定分布总体的估计命令 1 muhat muci expfit X alpha 在显著性水平alpha下 求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计 2 lambdahat lambdaci poissfit X alpha 在显著性水平alpha下 求泊松分布的数据X的参数的点估计及其区间估计 3 phat pci weibfit X alpha 在显著性水平alpha下 求Weibull分布的数据X的参数的点估计及其区间估计 六 假设检验 在总体服从正态分布的情况下 可用以下命令进行假设检验 1 总体方差已知时 总体均值的检验使用z检验 h sig ci ztest x m sigma alpha tail 检验数据x的关于均值的某一假设是否成立 其中sigma为已知方差 alpha为显著性水平 究竟检验什么假设取决于tail的取值 tail 0 检验假设 x的均值等于m tail 1 检验假设 x的均值大于m tail 1 检验假设 x的均值小于m tail的缺省值为0 alpha的缺省值为0 05 返回值h为一个布尔值 h 1表示可以拒绝假设 h 0表示不可以拒绝假设 sig为假设成立的概率 ci为均值的1 alpha置信区间 例7MATLAB统计工具箱中的数据文件gas mat 中提供了美国1993年1月份和2月份的汽油平均价格 price1 price2分别是1 2月份的油价 单位为美分 它是容量为20的双样本 假设1月份油价的标准偏差是每加仑4分币 4 试检验1月份油价的均值是否等于115 解作假设 m 115 首先取出数据 用以下命令 loadgas然后用以下命令检验 h sig ci ztest price1 115 4 返回 h 0 sig 0 8668 ci 113 3970116 9030 检验结果 1 布尔变量h 0 表示不拒绝零假设 说明提出的假设均值115是合理的 2 sig值为0 8668 远超过0 5 不能拒绝零假设3 95 的置信区间为 113 4 116 9 它完全包括115 且精度很高 2 总体方差未知时 总体均值的检验使用t检验 h sig ci ttest x m alpha tail 检验数据x的关于均值的某一假设是否成立 其中alpha为显著性水平 究竟检验什么假设取决于tail的取值 tail 0 检验假设 x的均值等于m tail 1 检验假设 x的均值大于m tail 1 检验假设 x的均值小于m tail的缺省值为0 alpha的缺省值为0 05 返回值h为一个布尔值 h 1表示可以拒绝假设 h 0表示不可以拒绝假设 sig为假设成立的概率 ci为均值的1 alpha置信区间 返回 h 1 sig 4 9517e 004 ci 116 8120 2 检验结果 1 布尔变量h 1 表示拒绝零假设 说明提出的假设油价均值115是不合理的 2 95 的置信区间为 116 8120 2 它不包括115 故不能接受假设 3 sig值为4 9517e 004 远小于0 5 不能接受零假设 例8试检验例8中2月份油价price2的均值是否等于115 解作假设 m 115 price2为2月份的油价 不知其方差 故用以下命令检验 h sig ci ttest price2 115 3 两总体均值的假设检验使用t检验 h sig ci ttest2 x y alpha tail 检验数据x y的关于均值的某一假设是否成立 其中alpha为显著性水平 究竟检验什么假设取决于tail的取值 tail 0 检验假设 x的均值等于y的均值 tail 1 检验假设 x的均值大于y的均值 tail 1 检验假设 x的均值小于y的均值 tail的缺省值为0 alpha的缺省值为0 05 返回值h为一个布尔值 h 1表示可以拒绝假设 h 0表示不可以拒绝假设 sig为假设成立的概率 ci为与x与y均值差的的1 alpha置信区间 返回 h 1 sig 0 0083 ci 5 8 0 9 检验结果 1 布尔变量h 1 表示拒绝零假设 说明提出的假设 油价均值相同 是不合理的 2 95 的置信区间为 5 8 0 9 说明一月份油价比二月份油价约低1至6分 3 sig 值为0 0083 远小于0 5 不能接受 油价均相同 假设 例9试检验例8中1月份油价price1与2月份的油价price2均值是否相同 解用以下命令检验 h sig ci ttest2 price1 price2 4 非参数检验 总体分布的检验 MATLAB工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令 1 h normplot x 2 h weibplot x 此命令显示数据矩阵x的正态概率图 如果数据来自于正态分布 则图形显示出直线性形态 而其它概率分布函数显示出曲线形态 此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图 如果数据来自于Weibull分布 则图形将显示出直线性形态 而其它概率分布函数将显示出曲线形态 返回 例10一道工序用自动化车床连续加工某种零件 由于刀具损坏等会出现故障 故障是完全随机的 并假定生产任一零件时出现故障机会均相同 工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的 现积累有100次故障纪录 故障出