人教版高中数学1.1.2集合间的基本关系.ppt

1 1 2集合间的基本关系 一 子集的有关概念1 Venn图通常用平面上 的内部代表集合 用Venn图表示集合的优点 形象直观 封闭曲线 2 子集 1 自然语言 一般地 对于两个集合A B 如果集合A中 一个元素 集合B中的元素 我们就说这两个集合有 关系 称集合A为集合B的子集 2 符号语言 记作 或 读作 或 B包含A 3 图形语言 用Venn图表示 任意 都是 A B A含于B 包含 B A 3 真子集如果集合 但存在元素x B 且 我们称集合A是集合B的真子集 记作 BA 4 集合相等如果集合A是集合B的 A B 且集合B是集合A的 B A 此时 集合A与集合B中的元素是 的 因此集合A和集合B相等 记作 思考 与 有什么区别 提示 表示元素与集合之间的关系 而 表示集合与集合之间的关系 A B x A 子集 子集 一样 A B AB 二 空集及集合间关系具有的性质1 空集 指的是 的集合 记作 并规定 空集是 的子集 2 集合间关系具有的性质 1 任何一个集合是它本身的 即 2 对于集合A B C 如果A B 且B C 那么 不含任何元素 任何集合 子集 A A A C 判断 正确的打 错误的打 1 集合 0 是空集 2 集合 x x2 1 0 x R 是空集 3 空集没有子集 提示 1 错误 集合 0 含有一个元素0 是非空集合 2 正确 由于方程x2 1 0在实数范围内无解 故此集合是空集 3 错误 空集是任何集合的子集 也是它本身的子集 答案 1 2 3 知识点拨 1 对子集概念的理解 1 A是B的子集 的含义是 集合A中的任何一个元素都是集合B的元素 即有任意x A能推出x B 2 不能把 A B 理解为 A是B中部分元素组成的集合 因为当A 时 A B 但A中不含任何元素 又当A B时 也有A B 但A中含有B中所有元素 这两种情况都有A B 2 对真子集的理解对真子集概念的理解关键是 真 字 它包括两个方面 首先是某集合的子集 其次不能与原集合相等 3 对集合相等的理解 1 从元素的特征出发表达两个集合相等 即集合A中的元素和集合B中的元素相同 则这两个集合相等 2 从两个集合的关系出发表达两个集合相等 即A B 则对任意x A都有x B 同时B A 则对任意x B都有x A 这说明两个集合的元素是相同的 即两集合相等 4 对空集的理解 1 空集首先是集合 只不过此集合中不含任何元素 2 规定空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 因此遇到诸如A B AB的问题时 务必优先考虑A 是否满足题意 这也是初学者极易出错的地方 5 对集合间关系具有的性质的两点说明 1 对于任何一个集合是它本身的子集的性质要时刻牢记 2 集合间的包含关系满足传递性 同样 集合间的真包含关系也具有传递性 即AB BC 则AC 类型一子集的有关概念 典型例题 1 2013 邵阳高一检测 集合 a b 的子集个数为 A 1B 2C 3D 42 若集合 1 2 M 1 2 3 4 试写出满足条件的所有的集合M 解题探究 1 一个集合的子集可以与其相等吗 空集是它的子集吗 2 题2中满足条件的集合M一定含有哪些元素 可能含有哪些元素 探究提示 1 一个集合的子集可以与其相等 也可以是空集 2 据条件分析 集合M一定含有元素1 2 可能含有元素3 4 解析 1 选D 当子集不含元素时 即为 当子集中含有一个元素时 其子集为 a b 当子集中有两个元素时 其子集为 a b 2 由于 1 2 M 故1 2 M 又M 1 2 3 4 所以符合条件的集合M有 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 3 4 互动探究 若把题2已知条件改为 已知 1 2 M 1 2 3 4 则这样的集合M又有几个 解析 1 2 M M中至少有1 2两个元素 又M 1 2 3 4 故集合M可以是 1 2 1 2 3 1 2 4 拓展提升 求一个集合子集个数的规律及注意点 1 规律 含有n n 1且n N 个元素的集合的子集有2n个 有2n 1个真子集 有2n 2个非空真子集 2 注意点 解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合 即 和集合本身 变式训练 2013 冀州高一检测 同时满足 M 1 2 3 4 5 若a M 则6 a M的非空集合M有 A 16个B 15个C 7个D 6个 解析 选C 1 5 2 4 3 3 6 集合M可能为单元素集合 3 二元素集合 1 5 2 4 三元素集合 1 3 5 2 3 4 四元素集合 1 2 4 5 五元素集合 1 2 3 4 5 共7个 类型二集合间的包含关系的判断 典型例题 1 2013 亳州高一检测 下列关系中 表示正确的是 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 0 1 D 1 0 1 2 集合P x y x2 集合Q y y x2 则P与Q的关系为 A P QB Q PC P QD 以上都不对 3 集合A 2n 1 n Z 集合B 4k 1 k Z 则A与B间的关系是 A A BB ABC A BD A B 解题探究 1 表示元素与集合 集合与集合之间的关系分别用什么符号表示 2 题2中判断两个集合之间的关系时 应先怎样处理集合 3 题3当n k Z时 2n 1 4k 1分别表示什么数 探究提示 1 表示元素与集合之间的关系用符号 表示 表示集合与集合之间的关系用 表示 2 在判断两个集合之间的关系时 要先对集合进行分析 化简 使每个集合的表现形式最简洁 3 当n k Z时 2n 1表示奇数 4k 1也表示奇数 解析 1 选A 表示集合之间的关系 故B C错误 表示元素与集合之间的关系 故D错误 2 选B P x y x2 x x R Q y y x2 y y 0 故Q P 3 选D 整数包括奇数与偶数 n 2k或2k 1 k Z 当n 2k时 2n 1 4k 1 当n 2k 1时 2n 1 4k 1 故A B 拓展提升 集合间关系的判断方法 1 判断A B的常用方法 一般用定义法 即说明集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素 2 判断AB的方法 可以先判断A B 然后说明集合B中存在元素不属于集合A 3 判断A B的方法 可以证明A B 且B A 也可以证明两个集合的元素完全相同 变式训练 2013 肇庆高一检测 下列各组集合M与N中 表示相等集合的是 A M 0 1 N 0 1 B M 0 1 N 1 0 C M 0 1 N x y x 0且y 1 D M N 3 14 解析 C 对A 由于集合M是点集 集合N是数集 故M和N不相等 对B 虽然都是点集 但元素表示不同的点 故M和N不相等 对D 由于 是无理数 3 14是有理数 故M和N不相等 类型三由集合间的关系求参数问题 典型例题 1 2013 长春高一检测 已知集合A 2 9 B m2 2 若A B 则实数m的值为 A 3B 2C D 32 已知集合A x a x 5 B x x 2 且满足A B 求实数a的取值范围 解题探究 1 两个集合相等 其元素有什么关系 2 当两集合是连续数集时 如何确定它们的包含关系 探究提示 1 两个集合相等 其元素是相同的 2 两个集合为连续数集时 可用数轴来分析它们的关系 并以此来确定它们的包含关系 解析 1 选D A 2 9 B m2 2 A B m2 9 m 3 2 当a 5时 A 此时有A B 当a 5时 要使A B 如图 需a 2 所以2 a 5 综上 a的取值范围为a 2 拓展提升 由集合间的关系求参数的方法及注意点 1 对于用列举法表示的集合 根据集合间的包含关系 可直接转为元素间的关系 此时应注意元素的互异性 2 对于用描述法表示的集合 特别是元素个数无限的数集 可借助于数轴 利用数轴分析法 将各个集合在数轴上表示出来 以形定数 此时要注意对端点值验证 变式训练 已知集合A x 3 x 4 集合B x 2m 1 x m 1 且B A 求实数m的取值范围 解题指南 可就集合B是否为空集进行讨论 根据B A列出有关不等式 或组 进而求出实数m的取值范围 解析 B A 1 当B 时 即2m 1 m 1 亦即m 2时 满足要求 2 当B 时 则有解得 1 m 2 综上所述 实数m的取值范围是m 1 规范解答 根据集合间的关系求参数取值范围问题 典例 条件分析 规范解答 1 当a 0时 A 满足条件 3分 2 当a 0时 分两种情况 a 0时 A x 0 a 2 7分 当a 0时 A x x 9分 A B a 2 11分综上可知 a 2或a 0或a 2 12分 失分警示 防范措施 1 特别关注空集此题含有条件A B 解答此类含有集合包含关系的问题时 一定要考虑集合A是否为空集 此类问题往往因为对空集的关注不够而出现不必要的失误 2 分类讨论的意识本题中由于a的取值未限定 因而要考虑不等式组解的情况 即需要分a 0 a 0 a 0三种情况讨论 也就是在解题时要有分类讨论的意识 类题试解 已知集合P x x2 x 6 0 M x mx 1 0 若MP 求满足条件的实数m取值的集合Q 解析 P x x2 x 6 0 3 2 MP M 或M 1 当M 即m 0时 满足MP 2 当M 即m 0时 M x mx 1 0 MP 则必有 3或2 解得m 或 综上所述 Q 0 1 下列集合不是 0 1 的真子集的是 A 1 B 0 C 0 1 D 解析 选C 集合不是它本身的真子集 故选C 2 已知集合M 1 N 1 2 3 能够准确表示集合M与N之间关系的是 A M NB M NC N MD MN 解析 选D 集合M中元素都在集合N中 但是N中元素2 3 M MN 3 已知集合A x x2 3x 2 0 B 1 2 C x x 8 x N 用适当符号填空 A B A C 2 C 2 C 解析 A 1 2 B 1 2 C 0 1 2 3 4 5 6 7 A B A