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数列通项公式的常见求法 专题课一 知识要点归纳 数列的通项公式是数列的核心之一 它如同函数中的解析式一样 有了解析式就可以研究函数的性质 而有了数列的通项公式便可以求出任何一项及其前 项和 所以研究数列的通项往往是解题的关键点和突破口 常用的求数列通项公式的方法有 1 观察法 就是观察数列特征 找出各项共同的构成规律 归纳出通项公式 2 递推公式法 就是根据数列的递推公式 采用迭代 累加 累乘等方法产生 与 或 的关系 得出通项公式 3 前 项和公式法 就是利用 求通项公式的方法 这里应当注意检验 是否符合 时的形式 一 迭代法 对于形如 型的递推公式 采取逐次降低 下标 数值的反复迭代方式 最终使 与初始值 或 建立联系的方法就是迭代法 例1 已知数列 求 小结 方法一 迭代法 方法二 构造辅助数列法 二 累加法 2 当 为 的函数时 用累加法 方法如下 由 得当 时 所以 对于由形如 的递推公式求通项公式 1 当 为常数时 为等差数列 则 为了书写方便 也可以用横式来写 二 累加法 3 已知 其中 可以是关于 的一次函数 二次函数 指数函数 分式函数 求通项 若 是关于 的一次函数 累加后可转化为等差数列求和 若 是关于 的二次函数 累加后可分组求和 若 是关于 的指数函数 累加后可转化为等比数列求和 若 是关于 的分式函数 累加后可裂项求和 例2 已知数列 中 求数列 的通项公式 三 累乘法 1 当 为常数时 即 其中 是不等于零的常数 此时该数列为等比数列 所以 对于形如 型的递推公式求通项公式 2 当 为 的函数时 用累乘法 具体做法如下 由 得 时 例3 已知数列 满足 且 求 四 公式法 所谓公式法 即能使用等差数列或等比数列的通项公式或使用 与 的关系 求通项 例4 已知数列 中 是数列 的前 项的和 且 求 五 待定系数法 形如 形式可用待定系数法 例5 已知数列 中 求 小结 对于 总可以转化成 其中 为待定系数 所以 与 比较系数得 所以有 因此数列 是首项为 公比为 的等比数列 于是 所以 五 待定系数法 小结 1 方法一 在 的形式中 为一次函数时 即 时 可以令 采用待定系数法求出 与 构造数列 方法如本例所示 例6 在数列 中 求数列 的通项公式 2 方法二 还可以用累加法 五 待定系数法 小结 例7 数列 满足 为常数 求数列 的通项公式 在 的形式中 当 且 时 形如 型 1 若 则 可以用累加法求解 五 待定系数法 2 若 则通常按以下三种方法转化求通项 解法一 两边同除以 得 令 则 然后由上述类型 用累加法求通项 特别地 当 时 成为一个等差数列 解法二 两边同除以 得 令 则 然后由上述类型来解 解法三 利用待定系数法 不妨设 则 于是 即
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