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龙 岩 学 院 毕 业 论 文题 目：Nesbitt不等式的推广及类似形式专 业： 数学与应用数学（师）作 者： 魏富华指导教师(职称)： 秦松喜（教授） 2010 年5月13日-18-Nesbitt不等式的推广及类似形式摘要通过引入指数参数和权参数给出Nesbitt不等式的推广形式，建立若干含个变元的Nesbitt型不等式，给出Nesbitt不等式的四种类似形式, 文末提出三个有趣的问题。关键词：Nesbitt不等式 Cauchy-Schwarz不等式 Chebyshev不等式 幂平均不等式 排序不等式推广类似Generalizations and analogues of the Nesbitts inequalityAbstractThe Nesbitts inequality is generalized by introducing exponent parameters and weight parameters. Several Nesbitt-type inequalities for variables are provided, four analogous forms of Nesbitts inequality are given,three interesting open problems are proposed at the end of the paper.Keywords:Nesbitts inequality Cauchy-Schwarz inequality Chebyshevs inequality power mean inequality rearrangement inequality generalization analogue目录摘要I关键词：I第一章 引言1第二章 Nesbitt 不等式的推广1定理11定理21定理32定理43定理53定理63定理74第三章 Nesbitt 不等式的加强7定理8 7定理98定理108第四章 四面体的Nesbitt不等式9定理119定理12 11定理 1313第五章 Nesbitt不等式的类似形式14定理1414定理1515定理1615定理1717第六章 三个有趣的问题17问题117问题217问题317致谢语18References18第一章 引言Nesbitt不等式表述为：设为正数，则 其中等号当且仅当时成立.众所周知，这个循环不等式在证明分式不等式中有着广泛的应用.本文给出Nesbitt不等式的一些推广及类似形式.第二章 Nesbitt 不等式的推广定理1. 设为正数，则 证明:利用Cauchy-Schwarz 不等,得于是 定理1获证.定理2. 设为正数且则 证明：设,于是 根据对称性，不妨设,于是 运用Chebyshev 不等，得它等价于上面即为所求不等式.定理3. 设为正数且，则 证明：运用幂平均不等式及不等式(3), 得到 定理3获证.定理4. 设为正数且，则 证明：利用幂平均不等式，得另一方面,根据对称性，不妨设于是 运用推广的Radon 不等： 我们得到 所以定理4证毕. 在定理4中, 取我们得到定理5.设正数且，则 注记1.特别地，当时，不等式（6）变为Nesbitt不等式.定理6. 设为正数且，则 证明：根据对称性，不妨设，则有 以及 运用排序不等式，得 将上面两个不等式的左右两边分别相加，得到 不等式（7）获证.注记2.作为定理6的特例,当时,不等式（7）转化为Nesbitt不等式.另外,值得注意的是,不等式（6）与（7）的强弱是不可比较的,这一点容易从下面的幂平均不等式看出,即有 和 定理7. 设、x、y、z, , 则当，或 时，有 + + 在命题中取 ，即得（1）.证明：应用柯西不等式，有= . = xz 即当 时，不等式（8）(即（9）成立.当 时，由幂平均不等式及（9），有= 即当时，不等式（8）成立.当时，令，则，不等式（8）等价于 由均值不等式，有3=3而=即（10）成立，故当时，不等式（8）成立，证毕.对于，我们有猜想 设、, 当 时，有 当时，设、是关于T的方程 （*）的两个实根，其中(注)，则（）当 时，有 （）当 时，有 注记 3：我们猜测：当时，关于T的过程（*）在 有且只有两个不等实根，它们互为倒数.特别地，取、，有猜想1-1 设、()是方程的两个实根，,则（）当时，有 （）当 时，有 猜想1-2 设 、()是方程 1+ 的两个实根，=0.155728782725 =6.424142051398, 则（）当 时，有 （）当 时，有 第三章 Nesbitt 不等式的加强定理8 若a、b、c为正数，则 等号成立当且仅当a=b=c证明： 以上三式相加，整理即得（18）式，定理8证毕.将（1）式右端不等式加强，我们得到定理9. 若a、b、c为的边长，则 证明： 原不等式等价于最后这一不等式显然成立，故（19）式成立，定理9证毕由于故（19）式加强了（1）式右端不等式.此外，我们还获得一个与（1）式右端不等式不分强弱的并行结果.定理10. 若a、b、c，R、r为的边长、外接圆及内切圆半径，则 等号成立当且仅当为正三角形证明：故（20）式成立，定理10证毕联合（18）、（19）两式，可得推论：若a、b、c，P、R、r分别为的边长、半周长、外接圆及内切圆半径，则 显见，（21）加强了著名的Euler不等式R 注记4 由中的不等式 可得Euler不等式（22）的一种加细： 注记5 （23）式是（22）式的推广.本节末了，我们提出如下猜想：若a、b、c为ABC的边长，则对自然数n有 第四章 四面体的Nesbitt不等式定理11. 设四面体中，顶点所对的面的三角形面积为，实数则 证明： （运用Cauchy不等式） 由于，运用幂平均不等式及（27）式，得（26）式中左边不等式得证. 设四面体上的二面角为 根据四面体面积射影定理，有 由于利用上面不等式及幂函数的单调性，得 同理可证 将上述不等式的左、右两边分别相加，得 (26)式中右边不等式得证.特别地，在定理中令便得到关于四面体的Nesbitt不等式 四面体中的Nesbitt不等式在另一指数范围内的一个推广定理12. 设四面体中，顶点所对的面的三角形面积为实数，则 证明：利用均值不等式，有= 同理，可得 因为，所以，将（30）、（31）、（32）、（33）式相加，并运用幂平均不等式，有而当，运用幂平均不等式，有.定理12得证.讨论 从以上证明过程中不难发现，实际上（29）式的左边对一切正实数均成立，而（29）式的右侧也不需要条件，即有 推论1 是正实数，且，则 . 推论2 设四面体中，顶点所对的面的三角形面积为，且 ，有 . 现在，很自然的问题是：3/4是否是（34）式成立的最小整数呢？若，（35）式成立吗？作为本定理的结束，我提出：问题 求使（34）式成立的最小正数.猜想 设四面体中，顶点所对的面的三角形面积为，且 ，有 建立了“线形”的四面体Nesbitt不等式，即定理 13. 设四面体六条棱的长分别为 、，s=,实数，则 等号当且仅当四面体为正四面体时成立.证明： 因为 = = -6+运用Cauchy不等式，得， 因为，运用幂平均不等式及（38）式，得 ，所以 .从证明过程知，上不等式中等号当且仅当四面体为正四面体时成立.在四面体以棱为交线的两个面的三角形中，分别运用三角形性质“三角形两边之和大于第三边”得+ （）,即 所以 .于是 .所以 综上，定理得证.特别地，在定理的不等式中令便得到关于四面体的Nesbitt不等式. 第五章 Nesbitt不等式的类似形式定理14.设为正数,则 证明：注意到 利用Cauchy-Schwarz不等式,得所以,要证明不等式（40）,只要证明下面不等式成立.经计算,得到 其中最后一步利用了算术-几何平均不等式.定理7证毕.定理15.设为正数且,则 证明：运用幂平均不等式,得 .不等式（41）获证.注记6. 显然,不等式（41）为不等式（40）的指数推广形式。定理16. 设为正数且满足, 又, 则 证明：运用推广的Radon 不等：我们得到 定理16证毕.在定理16中, 取 即得下面结果：定理17. 设为正数且满足, 又. 则 第六章 三个有趣的问题值得进一步思考的问题是, 不等式(1)、(41)和(43)可否向多元方向推广? 为此，我们提出下面公开问题.问题1. 设为正数, 问: 指数满足什么条件时, 不等式 对大于2的所有自然数成立. 问题2. 设为正数, 问: 指数满足什么条件时, 不等式 对大于2的所有自然数成立.问题3. 设为正数且, 问: 指数满足什么条件时, 不等式 对大于2的所有自然数成立.注记7. 对于不等式(44)，当时即为著名的Shapiro猜想不等式. 该猜想发表于1954年出版的美国数学月刊第61卷第8期. Shapiro猜想提出三十五年后, 才获得完全解决. 1989年, Troesch证明了: Shapiro不等式对于十六个整数成; 而对于其它的正整数该不等式则不恒成立.我们在问题1中引入了指数，根据幂平均的单调性可知，当 (或为更大的数)时, 不等式（44）有可能成立. 因此, 问题1是待解决的一个问题.实际上, Shapiro不等式只是Nesbitt 不等式的一种推广形式, Nesbitt 不等式还有许多不同的推广形式, 从中产生的问题同样具有挑战性. 因此, 关于推广Nesbitt 不等式的研究是一个很有意义的课题.致谢语本论文是在秦松喜教授的亲切关怀和悉心指导下完成的，他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我.在论文的写作和措辞等方面秦老师都会以“专业标准”严格要求我们.此外，这次毕业论文能够顺利完成，还要感谢吴善和老师和各位老师认真负责的授课，使我能够掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现.也正是您们长期不懈的支持和帮助才使得我的毕业论文最终顺利完成.我非常的感谢您们！References1 A. M. Nesbitt, Problem 15114 , Educational Times, 3 (1903), 3738.2 M. O. Drambe, Inequalities - Ideas and Methods, Ed. Gil, Zalau, 2003.3 D.S.Mitrinovic and P.M.Vasic, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York,1970.4 Sh.-H. Wu,An exponential generalization of a Radon inequality, J. Huaqiao Univ.Nat. Sci. Ed.,24 (1)(2003), 109-112.5 Sh.-H.Wu,A result on extending Radons inequality and its application,J.Guizhou Univ.Nat.Sci.Ed.,22 (1)(2004),1-4.6 Sh.-H.Wu,A new generalization of the Radon inequality, Math.Practice Theory,35(9)(2005),134-139.7 Sh.-H.Wu,A class of new Radon type inequalities and their applications, Math.Practice Theory,36(3)(2006),217-224.8 H.S.Shapiro,Problem 4603,Amer.Math. Monthly,61(8) (1954),571-572.9 P.J.Bushel1 and J.B.Mcleod,Shapiros cyclic inequality for even n, J.Inequal.Appl., 7(3)(