2019届高考数学二轮复习专题二导数第4讲导数及其应用学案.docx

第4讲导数及其应用 1. 导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等2. 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式有：(1) 确定函数的零点、图象交点的个数；(2) 由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围1. 若a1，则函数f(x)x3ax21在(0，2)内零点的个数为_答案：1解析：f(x)x22ax，由a1可知，f(x)在x(0，2)时恒为负，即f(x)在(0，2)内单调递减又f(0)10，f(2)4a10，所以f(x)在(0，2)内只有一个零点2. (2018南通中学)已知函数f(x)x32x23m，x0，)若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是_答案：解析：f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0，且b1，函数f(x)exbx，其中e为自然对数的底数(1) 对满足b0，且b1的任意实数b，证明函数yf(x)的图象经过唯一定点；(2) 如果关于x的方程f(x)2有且只有一个解，求实数b的取值范围解：(1)假设yf(x)过定点(x0，y0)，则y0ex0bx0对任意b0，且b1恒成立令b2得y0ex02x0；令b3得y0ex03x0，所以2x03x0，即 1，解得唯一解x00，所以y02，经检验当x0时，f(0)2，所以函数yf(x)的图象经过唯一定点(0，2)(2)令g(x)f(x)2exbx2为R上连续函数，且g(0)0，则方程g(x)0存在一个解 当b1时，g(x)为增函数，此时g(x)0只有一解 当0b0，01，ln b0，令h(x)1 ln b，h(x)为增函数，所以当x(，x0)时，h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)0，g(x)为增函数所以g(x)极小值g(x0)又g(x)的定义域为R，所以g(x)ming(x0) 若x00，g(x)在(，x0)上为减函数，g(x0)0.所以x(x0，ln 2)时，g(x)至少存在另外一个零点，矛盾 若x00，g(x)在(x0，)上为增函数，g(x0)0，所以g(x)在(logb2，x0)上存在另一个解，矛盾 当x0log(ln b)0时，ln b1，解得b，此时方程为g(x)ex20，由(1)得只有唯一解x00，满足条件综上，当b1或b时，方程f(x)2有且只有一个解(2018扬州期末)已知函数f(x)ex，g(x)axb，a，bR. (1) 若不等式f(x)x2m对任意x(0，)恒成立，求实数m的取值范围；(2) 若对任意实数a，函数F(x)f(x)g(x)在(0，)上总有零点，求实数b的取值范围解： (1) 由题意得mexx2，x(0，)恒成立令h(x)exx2，x(0，)，则h(x)ex2x，再令n(x)h(x)ex2x，则n(x)ex2，故当x(0，ln 2)时，n(x)0，n(x)单调递增，从而n(x)在(0，)上有最小值n(ln 2)22ln 20，即有h(x)0在(0，)上恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增，故h(x)h(0)e0021，所以m1. (2) 若a0，F(x)f(x)g(x)exaxb在(0，)上单调递增，故F(x)f(x)g(x)在(0，)上总有零点的必要条件是F(0)1.以下证明当b1时，F(x)f(x)g(x)在(0，)上总有零点 若a0.由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上连续由零点存在定理可知F(x)在上必有零点 若a0.由exx21x2在x(0，)上恒成立取x0ab，则F(x0)F(ab)eaba(ab)b(ab)2a2abbabb(b1)0.由于F(0)1b0，且F(x)在(0，)上连续由零点存在定理可知F(x)在(0，ab)上必有零点综上，实数b的取值范围是(1，),二) 利用导数研究不等式问题,2) (2018贵阳模拟)已知函数f(x)1，g(x)xln x求证：(1) g(x)1；(2) (xln x)f(x)1.证明：(1) g(x)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以g(x)g(1)1，得证(2) f(x)1，f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以f(x)f(2)1.又xln x1，且等号不同时取得，所以(xln x)f(x)1.(2018苏州暑假测试)已知函数f(x)(ax2x)ex，其中e是自然对数的底数，aR.(1) 若f(x)是函数f(x)的导函数，当a0时，解关于x的不等式f(x)ex；(2) 若f(x)在1，1上是单调递增函数，求a的取值范围解： (1) f(x)ax2(2a1)x1ex.不等式f(x)ex可化为ax2(2a1)xex0.因为ex0，故有ax2(2a1)x0.当a0时，不等式f(x)ex的解集是(，)(0，)(2) 由(1)得f(x)ax2(2a1)x1ex， 当a0时，f(x)(x1)ex，f(x)0在1，1上恒成立，当且仅当x1时取等号，故a0符合要求； 当a0时，令g(x)ax2(2a1)x1，因为(2a1)24a4a210，所以g(x)0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1x2，因此f(x)有极大值又有极小值若a0，因为g(1)g(0)a0，所以f(x)在(1，1)内有极值点，故f(x)在1，1上不单调若a0x2，g(0)10，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在1，1上单调，必须满足即所以a0，则f(x)f(0)0；若x0，则f(x)0，则f(x)f(0)0；若xf(0)0，所以f(x)的单调减区间是(0，)，单调增区间是(，0)，所以f(x)在x0处取得极大值，不符合题意 当a2a，即g(x)0，所以函数f(x)在(0，x0)上单调递减，所以f(x)0)， 若a0，注意到ln xx，则ln xx，即ln x()2时，h(x)2axsin x1ln x2ax222a()()0，所以m()2，函数h(x)在(m，)上单调递增 若a0，当x1时，h(x)2axsin x1ln xsin x1ln x0恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由(1) 证明：设h(x)f(x)g(x)ln x，则h(x).令h(x)0，得x(负值舍去)，列表如下：x(0，)(，)h(x)0h(x)极小值所以函数h(x)的最小值为h()0，所以h(x)ln x0，即f(x)g(x)(2) 解：假设存在常数a，b使得f(x)axbg(x)对任意的x0恒成立，即2axbln x对任意的x0恒成立而当x时，ln x，所以2ab，所以2ab，则b2a，所以2axb2ax2a0(*)恒成立， 当a0时，2a0时，则4a2(2a)0，即(2a)20，所以a，则b.令(x)ln xx，则(x)，令(x)0，得x，当0x0，(x)在(0，)上单调递增；当x时，(x)1时，f(x)0得解得0x.故f(x)的单调增区间是(0，)(2) 证明：令F(x)f(x)(x1)，x(1，)则有F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)x1.3. 若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若方程f(x)k有3个解，求实数k的取值范围解：(1) 对函数f(x)求导得f(x)3ax2b，由题意得解得经检验a，b4符合题意，所以函数f(x)的解析式为f(x)x34x4.(2) 由(1)可得f(x)x24(x2)(x