射影几何在中学几何中的应用.doc

西南大学育才学院2012届数学与应用数学专业本科毕业论文目 录摘要1关键词1Abstract1Key words10 引言21 射影几何与中学几何的关系21.1 射影学的对象21.2 射影几何与中学几何的密切关系21.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据21.2.2 居高临下，分析和把握中学几何31.2.3 为中学几何获得命题41.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题42 射影几何对中学的指导意义52.1 仿射变化的应用52.1.1 利用平行射影证明几何题52.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题62.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明72.2 射影变换的应用82.3 用直尺作图103 有关某些实际问题124 综合法与解析法125 结论13参考文献15致 谢16第 16 页 共 17 页射影几何在中学几何中的应用摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。关键词：射影几何 中学几何 仿射 射影Abstract: The projective geometry is the use of the transformation of the view of klein definition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application.Key words : Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection0引言 中学几何是一种比较简单的几何，直观、易懂，而射影几何较抽象、难理解，但射影几何是中学几何的延深课程，二者之间有很深的渊源。射影几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，射影几何知识与中学几何知识的沟通，为我们提供了解决中学几何的一些方法。学好射影几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性、研究方法和内在联系，对解决中学几何提供了更多的方法。1 射影几何与中学几何的关系1.1 射影学的对象什么是几何学？它研究的对象是什么?中学教科书中虽然没有明确的定义，但初中平面几何开卷就告诉我们，几何学要研究图形的“形状、大小和位置关系”。虽然在中学几何中，已知图形的形状、大小是不变的，位置关系也是确定的。但是，离开中学教本，却有不同的情况发生。空间一矩形经太阳光照射，在地面上留下的影子，一般不再是矩形，而是平行四边形。矩形变成非矩形，矩形的形状大小不再有意义！当你站在笔直的铁路上眺望远处的铁轨时，在你的视觉下，本来平行的铁轨似乎相交了。平行和相交这两种在中学几何里不相容的位置关系在一定条件下同一了，区别平行与相交。不再有意义！这些也是图形的性质，但却不是中学几何学中研究的图形性质。它们是几何学研究的对象吗？射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。几何学是与变换群联系在一起的。中学几何的主要内容是属于比较小的运动群附属的欧氏几何。除了运动群外，还有仿射群、射影群等。在仿射群附属的仿射几何学中，矩形可以变成平行四边形，矩形的概念失去了意义；在射影群附属的射影几何中，平行的概念失去了意义，任何两条不同直线必然相交，平行四边形也失去了意义。因此，“研究图形的形状、大小和位置关系”可以作为欧氏几何的定义，但不能作为仿射几何和射影几何的定义。1.2 射影几何与中学几何的密切关系1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据中学解析几何与高等几何均将二次曲线作为主要研究对象，但是中学仅在欧氏几何的范围内研究，而高等几何既在欧氏几何范围内研究，又在仿射几何和射影几何的范围内研究。由于欧氏群仿射群射影群，故就内容多少而言，有欧氏几何仿射几何射影几何。因此，射影性质一定是仿射性质，仿射性质一定是度量性质。这样不但能分清二次曲线各种性质的层次，而且能站在射影几何的高度上，认识中学解析几何中给出的二次曲线的性质。射影几何给了二次曲线的配极定义和射影定义，它们分别从配极变换和一维射影对应的高度深刻地刻画了二次曲线的本质，是椭圆、双曲线和抛物线的相同特征，即共性。从配极定义导出了二次曲线的配极理论，将中学几何涉及的中心、直径、渐近线、焦点和准线统一在极点极线理论之下，使这些对立的概念在射影几何的高度上得到了同一。从射影定义出发，几何上获得了确定一条二次曲线的条件等。从而在射影几何的高度上认识二次曲线。在仿射平面上，抓住二次曲线与无穷远直线的关系，将非退化二次曲线分成了椭圆、双曲线和抛物线三类，刻画出这三种曲线的本质差别，即个性。这就使我们能够解释清楚仅凭中学解析几何知识无法解释的一些问题。例如：抛物线为什么没有中心?抛物线无限伸展时，为什么图形沿开口方向逐渐与对称轴平行?一条直线与二次曲线相交，为什么有的有两个交点，有的只有一个交点?对于椭圆和双曲线的每一切线，都有与它平行的另一条切线。为什么对于抛物线的任何切线，却没有与它平行的另一切线?是否存在与双曲线两支都相切的直线?等等。进一步，抓住保距变换区别于一般仿射变换的特征，将属于同一仿射类的曲线再分类。例如，对属于同一仿射类的椭圆，按不同长轴、短轴分成不同的度量类。利用圆环点，从一般椭圆中刻画出圆的本质特征。这样，我们能解答仅用中学解析几何知识无法解答的一些问题，例如：为什么一般二次曲线由每三点不共线的五点决定，而圆只需要不共线三点? 圆有焦点准线吗?两个椭圆最多可以有四个不同的交点?圆是椭圆的特例，为什么两不同圆最多只能有两个交点?等等。综上所述，高等几何使我们从不同高度上深刻地认识了椭圆、双曲线和抛物线的共性和个性。这样我们就可以用高等几何居高临下处理中学几何中出现的问题了。1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何中学几何有许多概念、定理和定义都可以用高等几何的较高的观点去阐释，使我们能够居高临下的去看待中学几何，使我们开阔视野，加深理解。以平面几何为例，在射影几何中关于二次曲线射影，仿射和变量性质，让我们对中学平面解析几何的内容有了更深的了解。例如：二次曲线射影定义使我们对二次曲线的本质有了很好的把握；还有就是仿射变换的同素性、结合性、平行性及不变性，解决平面几何中的圆形、正方形、等腰三角形、正方形和等腰梯形的图形变换问题。通过学习高等几何还可以解决一些在中学中难以说清的问题。1.2.3 为中学几何获得命题射影几何是比仿射几何和欧氏几何更为抽象的几何学，它的命题有高度的概括性，它的方法适用范围很广。发现新的命题是一种创造性思维活动，射影几何的内容和方法可以帮助我们发现新的中学几何命题。我们要将射影几何知识与中学几何知识沟通。这样，就能从已知的射影几何的命题出发，将命题中的某些条件特殊化，设计出形式多样的中学几何命题，如1978年全国中学数学竞赛第二试的第一题“四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明:另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段”。以及另一题目“已知与一直线L平行的一条线段AC,今要求只用直尺，不用圆规平分线段AC”，熟悉射影几何的人立即可以看到，这二题都是以完全四点形的调和性质为背景的。1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题中学几何的证明题干变万化，精彩纷坛，有不少题目难于找到证明思路。射影几何为我们提供了解决中学几何证明题的一些方法，启发我们获得初等证法。有时其证明过程还能帮助我们找到发现新的命题的关键。我们知道，平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形和等腰梯形经过仿射变换作用后，分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形和梯形。反之，存在仿射变换将一般图形变成它们对应的特殊图形一般图形的特殊仿射像。这样，若一个关于一般图形的命题，仅仅涉及仿射性质和仿射不变量，则可以用题设图形的特殊仿射像来证明。德萨格定理、巴布什定理、帕斯卡定理、布利安香定理都可以用射影不变性来推断他们的性质。例：若两个三点形对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线。如图1.1，三点形与三点形的对应顶点连线，共点于，需要证明对应边的交点共线。saac pqr图1.1建立射影坐标系以后，我们有。由于在上，故它的坐标可以写成，同理有。显然的方程为，不难求出的方程为，于是的坐标是方程组 的解，从而。同理可以求得。由于 ，故共线。2射影几何对中学的指导意义利用射影几何的观点和思想方法，来解决中学几何中出现难以解决的问题，对于学习中学几何和实践具有重要的意义。2.1 仿射变化的应用2.1.1 利用平行射影证明几何题平行射影是最简单的仿射变换。由于平行射影保持平行线段的比不变，故如果一命题的结论涉及平行线段的比，则可选取一投射方向和一像直线，将图形中的不共线的点和线段投射成共线的点和线段，使命题的证明简化。例1：设直线过的重心g，分别交,于m、n，求证： 。(图2.1) 图2.1证明：如图2.1（1）取为像直线，为投射方向，作平行射线，则从而有附注：像直线和投射方向的选取不是唯一的。只是不能选结论中所含线段的方向为投射方向。在图2.1(2)中，选取为投射方向，任意直线为像直线。在图2.1(3)中，选为像直线，为投射方向。2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形和等腰梯形经过仿射变换作用后，分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形和梯形。反过来也可以成立，既然一般图形和它的特殊仿射像有相同的仿射性质，那么一般图形的原命题随着特殊图形的新命题的证明而得到证明。例2：求椭圆所围成的图形的面积。解：作仿射变换T： 则题设椭圆的像为圆： ，设椭圆和圆的面积分别为和。由于在仿射变换T之下，面积比保持不变，故。2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明例3：已知在四边形中，两组对边延长后交点为,且,延长交于 ，求证：。(本题是全国中学生数学竞赛题，可用添辅助线或西瓦准则证出。现用仿射变换的基本性质及不变化量来证明） 图2.2分析：我们发现四边形是梯形，其结论中包含中点，这恰好是仿射变换下不变的，因此可由等腰梯形仿射变化下后得到，而等腰梯形两腰的交点，对角线的交点，上底的中点和下底的中点四点共线。若用仿射变换求证则显得简捷。证：（如图2.2）设梯形是由一个等腰梯形仿射变换下后得到，作仿射变换T，根据变换的性质知，等腰梯形梯形，中点的中点，的中点的中点。由，得，点唯一确定，又由，得点唯一确定，则任意梯形上、下底的中点，对角线交点，两腰交点四点共线，即有。本题不仅证出也可以证得。例4：平行四边形的顶点在平行四边形的各边上，求证：对角线、共点。证：（如图2.3）本题图形可由正方形的顶点在正方形的各边上仿射变换下后得到。作仿射变换T，即图(a)图(b)，而在图(a)情况，易证得对角线、共点。而由正方形平行四边形ABCD，。，即 ，=，得，点唯一确定。因此。对角线、共点。（a） (b)图2.3例5：在平行四边形中，、分别在、上。且，求证：和的面积相等。分析：由于正方形和平行四边形为仿射对应图形。因此先证明在正方形中结论成立。证:(如图2.4)设此平行四边形由一个正方形仿射变换下后得到：在正方形中，则作仿射变换T，根据仿射变的性质知，且 则 图2.42.2 射影变换的应用中学几何中, 大量的几何命题只涉及图形的射影性质及射影不变量, ,此类命题的证明如用射影变换的原理及方法可达事半功倍之效果。例6：若三点形与三点形对应的顶点连线共点于，求证：对应边的交点共线（见图2.5）图2.5证明：将直线投射到无穷远，则为证原命题，只须证明新命题：共点与，且，求证：。这是容易证明的，因为，故：；又因为，故，所以，于是。例7：已知中，垂直于, 是上任意一点，连直线 ,分别交对边于 , 。求证： 平分（见图2.6） 图2.6分析：既然,故要证平分，只须证=-1由于，故只须证明，由完全四点形的调和性质，上式是显然的。例 8:(蝴蝶定理)圆内任意弦的中点为 ,过任做二弦, , 连结、, 分别交于、, 求证:。图2.7证明:由透视和施泰纳定理有 ,所以 ,即 .由于,故 .即,从而,故.该定理在初等几何中已有多种证法, 方法各异、难易不一,各有千秋, 可以说较容易的方法是翻折法, 然而远不如射影方法简单明了。2.3 用直尺作图用射影几何方法处理中学几何的作图题，只需要无刻度的直尺。这是因为在射影几何中，既没有长度的概念，也没有圆的概念。我们称这种作图为直尺作图。尽管工具很简单，但它不仅可以解决几何的一些困难问题，而且还可以解决仅用解析几何知识无法解决的一些关于二次曲线的作图题。下面我们将重点了解二次曲线的作图。给定能确定二次曲线的五个条件，如何作出这条二次曲线?给定一条二次曲线的二切线点或切点，如何作出此二次曲线在这些点处的切线?这是解析几何中饶有兴味的问题。但是，仅用中学解析几何知识，这些问题是无法解决的。采用射影几何的方法，这些问题得到了圆满的解决。例9:设点在二次曲线上，试作曲线在点的切线。作法（利用帕斯卡定理）如图2.8，在上任取四点。考虑曲线的内接六点形，作连直线。作，则直线就是所求的直线。24pyzx3图2.8例10:设点是二次曲线的二切线点，试过作曲线的切线。作法:如图2.9，利用二次曲线的内接完全四点形的对角三点形是二次曲线的自级三角形这条性质，作出点的极线，设与交与则就是所求作的切线。pqr图2.93 有关某些实际问题 对于某些实际问题, 利用射影变换的原理和方法往往显得方便且更加巧妙例 12:“ 九棵树栽十行, 每行必有三棵树” 、“ 十一棵树栽十二行, 其中四棵共线有四行, 每三棵共线有八行”等等有关问题, 射影几何中“ 巴卜什命题”可直接解答。巴卜斯命题设：, , 与, , 为同一平面内两直线上的两组共线点,与 交与,与交于,与交于(图2.11(a), 则三点、 、 共线。利用巴卜什命题解决问题（如图2.10）,由以上可知, 射影变换的原理及方法, 不仅能较高观点的处理中学几何问题, 而且加深对中学几何的理解, 使一些知其然不知其所以然的问题, 可通过射影变换的原理及方法得以解决。例如椭圆为什么是封闭曲线, 而双曲线和抛物线是无限伸展的曲线？当时, 抛物线与双曲线上的点坐标的趋势有什么不同?为什么?无心曲线是没有中心吗?什么是二次曲线的焦点和准线?圆的焦点在哪里准线又在何方?非退化的二次曲线需要每三点不共线的五个点才能唯一确定, 为什么圆只需不共线的三个点便可确定?这些问题, 通过射影变换的原理及方法都可解决。（a） (b)图2.104 综合法与解析法中学平面几何和立体几何采用的基本方法是综合法，中学解析几何的基本方法是解析法。所谓综合法，就是在已有的概念和定理的基础上，借助图形直观进行逻辑推理，获得命题结论的方法；所谓解析法，就是借助于坐标系和解析工具，将几何命题翻译成代数方程，再通过解析运算获得结果，并翻译成几何结论的方法。高等几何课的研究方法是，综合法和解折法并用，以解析法为主。这就既能培养人们借助几何直观思考问题、研究问题的能力，又能培养从几何直观分析入手，将几何转化为代数，在代数和几何结合上解决问题，再由代数转化为几何的能力。这不仅能适应进一步学习和研究的需要，而且经过这种训练，能加深对解析几何基本方法的理解，提高掌握这种方法的熟练程度。这就有助于我们较快地适应未来的中学解析几何课的教学。解析法的优点在于比较容易找到解决问题的途径，缺点是往往比较繁琐；综合法的优点是优美、简洁，缺点是千变万化，难于找到解题思路。但是，在解析法和综合法之间，并没有不可逾越的鸿沟。解析法可以诱发综合法。首先，解析法往往要通过坐标系写出几何关系的表达式，再进行计算。于是，只要能找到这些表达式相应的几何直观背景，就能启发我们获得综合法的证明；其次，对于给定命题，解析法可以提示我们，哪些工具能获得命题证明的信息，帮助我们思考；最后，解析法的解题过程有时能启发我们，应当如何添加辅助线，以便找到综合法证明的出发点和关键。总之，灵活运用这两种方法，不但有助于解析几何的教学，而且对于解决中学平面几何的难题，也是大有好处的。结论射影几何是数学专业的一门重要的基础理论课。射影几何的涵义较为广泛。我国现在开设的高等几何课内容上以射影几何为主，兼顾其他，方法上采用代数法兼综合法而侧重代数法。目的旨在使学生系统接受射影几何而主要又是实射影平面几何的基本知识，认识射影空间的基本特性，研究方法和几何学的本质，深化几何空间的概念，为进一步学习近代数学奠定基础。从理论和实践的结合上学好射影几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，确认几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握中学几何的内涵和外延。我们明白了射影几何与中学几何的内在联系，扩大了关于几何学的眼界，就有助于我们从几何学的全局与整体来理解和分析中学几何教材，就能对中学几何中的许多问题作透彻的理解，使我们获得驾驭教材的本领，减少教学中的盲目性，避免发生错误。掌握了射影几何，对处理中学几何问题的能力增强了，此外，大家知道我们的数学教学，不只是给学生传授书本上的知识，还要在传授知识的同