第12章 全等三角形复习课件.ppt

全等三角形复习 全等图形 定义 性质 能够完全重合的图形 形状大小都相等 平移翻折旋转 知识回顾 知识点回顾 全等三角形 SAS ASA AAS SSS 包括直角三角形 不包括其它形状的三角形 全等三角形的对应边相等 对应角相等 全等三角形的周长相等 面积相等 全等三角形的对应边上的对应中线 角平分线 高线分别相等 HL 要使两个三角形全等 应至少有组元素对应相等 3 6选3 边边边 SSS 两边一角 两角一边 角角角 两边和它的夹角 SAS 两边和它一边的对角 两角和夹边 ASA 两角和一角的对边 AAS 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等 SSA 6 练一练 一 挖掘 隐含条件 判全等 20 5cm 3cm 学习提示 公共边 公共角 对顶角这些都是隐含的边 角相等的条件 7 4 如图 已知AD平分 BAC 要使 ABD ACD 根据 SAS 需要添加条件 根据 ASA 需要添加条件 根据 AAS 需要添加条件 AB AC BDA CDA B C 友情提示 添加条件的题目 首先要找到已具备的条件 这些条件有些是题目已知条件 有些是图中隐含条件 二 添条件判全等 8 5 已知 B DEF BC EF 现要证明 ABC DEF 若要以 SAS 为依据 还缺条件 若要以 ASA 为依据 还缺条件 若要以 AAS 为依据 还缺条件 并说明理由 AB DE ACB F A D 9 试一试 三 熟练转化 间接条件 判全等 8 三月三 放风筝 如图 6 是小东同学自己做的风筝 他根据AB AD BC DC 不用度量 就知道 ABC ADC 请用所学的知识给予说明 解答 解答 解答 10 6 如图 4 AE CF AFD CEB DF BE AFD与 CEB全等吗 为什么 解 AE CF 已知 A D B C F E AE FE CF EF 等量减等量 差相等 即AF CE 在 AFD和 CEB中 AFD CEB SAS 11 解 CAE BAD 已知 CAE BAE BAD BAE 等量减等量 差相等 即 BAC DAE 在 ABC和 ADE中 ABC ADE AAS 12 8 三月三 放风筝 如图 6 是小东同学自己做的风筝 他根据AB AD BC DC 不用度量 就知道 ABC ADC 请用所学的知识给予说明 解 连接AC ADC ABC SSS ABC ADC 全等三角形的对应角相等 在 ABC和 ADC中 13 实际运用9 测量如图河的宽度 某人在河的对岸找到一参照物树木 视线 与河岸垂直 然后该人沿河岸步行 步 每步约0 75M 到O处 进行标记 再向前步行10步到D处 最后背对河岸向前步行20步 此时树木A 标记O 恰好在同一视线上 则河的宽度为米 15 A B O D C 1 如图 ABC中 AD BC 垂足为D BE AC 垂足为E AD BE相交于点F 如果BF AC 那么 ABC的度数是 A 400B 450C 500D 600 B F D E B C A 2 如图 Rt ABE Rt ECD 则结论 AE DE AE DE BC AB CD AB DC 成立的是 A 仅 B 仅 C D D B C D A E 3 如图 ACB 90 AC BC BE CE AD CE 垂足分别为E D 图中有哪条线段与AD相等 并说明理由 解 AD CE因为BE CE AD CE 所以 BEC CDA 90 又因 ACB 90 即 BCE ACE 90 DAC ACD 90 所以 BCE DAC 又因为AC BC根据AAS 可以知道 BEC CDA所以AD CE 18 例 如图 已知AB AC AD AE AB DC相交于点M AC BE相交于点N 1 2 试说明 1 ABE ACD 2 AM AN 创造条件 4 如图为人民公园中的荷花池 现在测量荷花池两旁A B两棵大树间的距离 不得直接量得 请你根据图形全等的知识 用一根足够长的绳子及标杆为工具 设计两种不同的测量方案 要求 1 画出设计的测量示意图 2 写出测量方案的理由 A B A B D C E 21 感悟与反思 平行 角相等 对顶角 角相等 公共角 角相等 角平分线 角相等 垂直 角相等 中点 边相等 公共边 边相等 旋转 角相等 边相等 22 一 挖掘 隐含条件 判全等 二 添条件判全等 三 转化 间接条件 判全等 方法指引 证明两个三角形全等的基本思路 1 已知两边 找第三边 SSS 找夹角 SAS 2 已知一边一角 已知一边和它的邻角 已知一边和它的对角 找这边的另一个邻角 ASA 找这个角的另一个边 SAS 找这边的对角 AAS 找一角 AAS 3 已知两角 找两角的夹边 ASA 找夹边外的任意边 AAS 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 用法 QD OA QE OB QD QE 点Q在 AOB的平分线上 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用法 QD OA QE OB 点Q在 AOB的平分线上 QD QE 二 角的平分线 1 角平分线的性质 2 角平分线的判定 1 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE 12 c A B D E 三 练习 2 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF PD PE PF 即点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 3 如图 已知 ABC的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 证明 过点F作FG AE于G FH AD于H FM BC于M G H M 点F在 BCE的平分线上 FG AE FM BC FG FM 又 点F在 CBD的平分线上 FH AD FM BC FM FH FG FH 点F在 DAE的平分线上 4 已知 ABC和 ECD都是等边三角形 且点B C D在一条直线上求证 BE AD 变式 以上条件不变 将 ABC绕点C旋转一定角度 大于零度而小于六十度 以上的结论海成立吗 5 如图 已知E在AB上 1 2 3 4 那么AC等于AD吗 为什么 解 AC AD 证明 练习 7 如图 已知 EG AF 请你从下面三个条件中 再选出两个作为已知条件 另一个作为结论 推出一个正确的命题 只写出一种情况 AB AC DE DF BE CF已知 EG AF求证 高 8 如图 已知 A D AB DE AF CD BC EF 求证 BC EF 9 如图 已知AC BD EA EB分别平分 CAB和 DBA CD过点E 则AB与AC BD相等吗 请说明理由 要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法 1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段 然后证明剩余的线段与另一条线段相等 割 2 把一个三角形移到另一位置 使两线段补成一条线段 再证明它与长线段相等 补 10 如图 在四边形ABCD中 点E在边CD上 连接AE BE并延长AE交BC的延长线于点F 给出下列5个关系式 AD BC DE EC 1 2 3 4 AD BC AB 将其中三个关系式作为已知 另外两个作为结论 构成正确的命题 请用序号写出两个正确的命题 书写形式 如果 那么 1 2 11 如图 在R ABC中 ACB 45 BAC 90 AB AC 点D是AB的中点 AF CD于H交BC于F BE AC交AF的延长线于E 求证 BC垂直且平分DE 12 已知 如图 在 ABC中 BE CF分别是AC AB两边上的高 在BE上截取BD AC 在CF的延长线上截取CG AB 连结AD AG 求证 ADG为等腰直角三角形 13 已知 如图21 AD平分 BAC DE AB于E DF AC于F DB DC 求证 EB FC 14 如图 在 ABC中 AD为BC边上的中线 试说明AB AC与2AD之间的大小关系 解 延长AD至E 使DE AD 在 ABD与 ECD中 BD DC 中线的定义 ADB EDC 对顶角相等 AD DE ABD ECD SAS 根据全等三角形对应边相等 AB EC 在 AEC中 AC EC AE 又 AE 2AD AB AC 2AD 小结 对于三角形的中线 我们可以通过延长中线的1倍 来构造全等三角形 联想 对于三角形的角平分线 有时我们也可进行翻折构造全等三角形 15 已知在 ABC中 AD是角平分线 且AC AB BD 试说明 B 2 C 解 在AC上截取AE AB 连结DE 在 AED与 ABD中 AE AB EAD BAD 角平分线的定义 AD AD 公共边 AED ABD SAS 根据全等三角形对应边 对应角相等 ED BD AED B 又 AC AB BD CE DE 根据等腰三角形的两个底角相等 C EDC 又 AED C EDC AED 2 C B 2 C E C A B D 16 如图 已知AB AE BC ED B E BAF EAF 试说明AF CD 解答 连结AC AD 在 ABC与 AED中 AB AE B E BC ED SAS ABC AED AC AD BAC EAD 又 BAF EAF BAF BAC EAF EAD 即 CAF DAF 在 CAF与 DAF中 AC AD CAF DAF AF AF 公共边 SAS CAF DAF CFA DFA 而 CFA DFA 1800 CFA DFA 900 即 AF CD 17 ABC中 AC BC C 900 将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处 将三角板绕P点旋转 三角形的两直角边分别交AC CB于D E两点 如图所示 1 问PD与PE有何大小关系 并以图 为例加以说明 2 在旋转过程中 还会存在与图 不同的情形吗 若存在 请在图 中画出 并加以说明 1 分析 若PD AC PE CB 如图 可以说明 ADP BEP PD PE 若如图 可连接CP 可以发现 DPC EPB DCP B 450 PC PB PDC PEB ASA PD PE 2 如图 所示 与图 一样可以说明 PCD PBE 从而PD PE 总结提高 学习全等三角形应注意以下几个问题 1 要正确区分 对应边 与 对边 对应角 与 对角 的不同含义 2 表示两个三角形全等时 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上 3 要记住 有三个角对应相等 或 有两边及其中一边的对角对应相等 的两个三角形不一定全等 4 时刻注意图形中的隐含条件 如 公共角 公共边 对顶角 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 用法 QD OA QE OB QD QE 点Q在 AOB的平分线上 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用法 QD OA QE OB 点Q在 AOB的平分线上 QD QE 二 角的平分线 1 角平分线的性质 2 角平分线的判定 1 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE 12 c A B D E 三 练习 2 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF PD PE PF 即点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 3 如图 已知 ABC的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 证明 过点F作FG AE于G FH AD于H FM BC于M G H M 点F在 BCE的平分线上 FG AE FM BC FG FM 又 点F在 CBD的平分线上 FH AD FM BC FM FH FG FH 点F在 DAE的平分线上 4 已知 ABC和 ECD都是等边三角形 且点B C D在一条直线上求证 BE AD 变式 以上条件不变 将 ABC绕点C旋转一定角度 大于零度而小于六十度 以上的结论海成立吗 1 如图 在 ABC中 C 900 AD平分 BAC DE AB交AB于E BC 30 BD CD 3 2 则DE 12 c A B D E 三 练习 2 如图 ABC的角平分线BM CN相交于点P 求证 点P到三边AB BC CA的距离相等 BM是 ABC的角平分线 点P在BM上 PD PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 同理 PE PF PD PE PF 即点P到三边AB BC CA的距离相等 证明 过点P作PD AB于D PE BC于E PF AC于F 3 如图 已知 ABC的外角 CBD和 BCE的平分线相交于点F 求证 点F在 DAE的平分线上 证明 过点F作FG AE于G FH AD于H FM BC于M G H M 点F在 BCE的平分线上 FG AE FM BC FG FM 又 点F在 CBD的平分线上 FH AD FM BC FM FH FG FH 点F在 DAE的平分线上 4 已知 ABC和 ECD都是等边三角形 且点B C D在一条直线上求证 BE AD 变式 以上条件不变 将 ABC绕点C旋转一定角度 大于零度而小于六十度 以上的结论海成立吗 5 如图 已知E在AB上 1 2 3 4 那么AC等于AD吗 为什么 解 AC AD 证明 练习 7 如图 已知 EG AF 请你从下面三个条件中 再选出两个作为已知条件 另一个作为