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3 在二阶椭圆型方程中的应用接下来我们应用山路引理来证明变系数二阶椭圆型方程边值问题的非平凡解的存在性。问题 设是有界区域，充分光滑，设满足Caratheodory条件，并且满足下列增长性条件： 存在常数以及 , 使得考虑下列问题 在中弱解的存在性(其中)。令则可知,I是上的C1泛函，并且因此，边值问题(1)是泛函I的Euler-Lagrange方程。于是，为了求(1)在中的弱解，我们只需求泛函I在中的临界点。下面定义为，下面我们来证明它是空间中的一个范数。证：首先由于的定义，可以知道是一个非负函数。接下来验证其满足范数的条件。(a) 已知,由的构造我们可以得到。(b) 另一方面由于不等式成立,所以可以得出。(c) 故上述定义的是一个范数，亦与范数为等价范数。定理3：设是有界区域，且具有充分光滑的边界，再设除满足Caratheodory条件和之外还满足: 存在常数，以及M使得当时， 对一致成立； 对一致成立；其中是在Dirichlet零边界条件下的第一特征值。则边值问题(1)至少有一个非零解。证明: 为了利用山路引理，我们需要逐条验证该引理的条件。 验证P.S.条件。设，满足 欲证明有强收敛的子列。首先证明有界。由可得，因此，当时，在上一致有界。结合以及(2)第一式可得，存在，使得其中是本文中定义的范数。 由于，所以当n充分大时，有于是。由此可以得到有界。 再证有强收敛的子列。由于已知在中有强收敛的子列，不妨假设本身强收敛。因此，对任何0，存在N，使得当时，有同时，由(2)的第二式，也有让，则同理，将(4)与(5)合并，并利用(3)可得，由此可得，即是中的Cauchy列，从而收敛。 验证存在正常数，使得，其中是中以零点为中心，以为半径的球。事实上，由条件可得，存在常数，以及0，使得当时，从而，当时，有联合条件，存在常数使得利用Sobolev嵌入定理以Poincar不等式可得，其中是常数，从而由于1，可取足够小，以致即得。 找，使得，且。 让表示在Dirichlet零边界条件下的第一特征函数。则，且为了方便可让。考虑下列函数条件蕴含了存在，以及0，当s时，于是，存在与t无关的常数M,M，使得由于当时，故当t充分大时，从而，因此，
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