没有扩散的年龄结构模型

没有扩散的年龄结构模型2.1 没有扩散的年龄结构模型的介绍连续的种群动态的理论已经被许多数学家研究。其中最重要的一个改进是考虑到了人口年龄的分布。F.R. Sharpe和A. Lotka在1911年与A.G. McKendrick在1926年分别提出了两个第一类连续年龄结构模型。考虑了一个单一种群的数量，并且用来表示以个体年龄数a和时间t为参数的密度函数。上面所提到的模型（Sharpe-Lotka-McKendrick），可以用下面的方程描述。方程如下： （2.1.3）其中表示这个种群中年龄的最大值。表示死亡率，且仅与年龄a相关。代表p对于方程（1.1）的方向导数。比如：如果P足够光滑，那么这个导数等同于。出生过程被所谓的出生定律所描述如下（2.1.4）其中表示在某一时间t，新出生的人口数量。表示出生率仅与年龄a相关。这里表示了在父母年龄为a时t时刻的人口出生密度。初始的年龄分布可以表示为 （2.1.5）其中是一个已知的函数。方程(2.1.3)-(2.1.5)构成了年龄依赖于种群动态的经典线性模型。(1.3)-(1.5)的分析在大时间渐近行为的解决方案上，与马尔萨斯模型得出了相似的结论。这已经被证明了，仅在少数情况下它的解趋近于一个非平凡的均衡状态对于t趋近于无穷。事实上，它的实数解是存在的。已被证实，在现实情况下出生率与死亡率也是依赖于人口总数，正如在Verhulst模型中。由于过度拥挤和资源限制的影响。死亡率是一个关于函数P的增函数，出生率是一个关于函数P的减函数。这些考虑导出了一个非线性的年龄人口依赖模型，这个模型是具有现实意义的。这种模型分别被M.E. Gurtin 和R.C.MacCamy在1974年与F. Hoppensteadt在1975年提出。所提出的种群人口数量方程如下：（2.1.6）其中出生过程被非局部边界条件的描述如下：（2.1.7）其中，参数的含义，与上面提到的相同。出生率和死亡率是依赖于三个单独变量的函数。这就是为什么这些非线性人口年龄相关性模型，提供了一个生物学上更现实的人口行为的描述。 fHoppensteadt ,b.Charlesworth,j梅茨和o .迪克曼72和j默里76提供了一个年龄结构模型的适用性的调查。年龄结构人口数量增长的线性模型是人口统计学的一个基本数学工具。N. Keyfitz的著作包含了基础理论和一些应用程序的人口数据。2.2没有扩散的年龄结构模型的解的分析假设我们所用的系统模型为： (2.2.1)其中为方向数,固定常数分别表示个体最高寿命和控制周期, ,表示时刻年龄为的个体数量,表示控制函数.表示出生率和死亡率，它们的结构表明不同年龄的个体对种群的演化有不同的影响, 表示种群数量的增长率.为初始年龄分布.考虑控制问题, (2.2.2)其中是下列方程组的解 (2.2.3)这里 .为控制集合,为收获控制.积分表示总收获. 模型(1)假设： 在上延拓到0.系统(1)解的存在性:系统(1)的解可表示为函数,在几乎所有特征线上绝对连续且应满足 (2.2.4)定理1 系统(2.2.1)存在唯一非负解.证明 设为方程(2.2.1)的解,由于在几乎所有特征线上绝对连续,所以上述关系(2.2.4)的2、3有意义，且,.由特征线法可将表示为 （2.2.5）,对任意及 (2.2.6) , 对于任意.其中 . (2.2.7)若,则由(2.2.5)、(2.2.6)表示的是下述方程的解, (2.2.8)此时的也满足(2.2.4)式,所以也是方程(2.2.1)的解.对于几乎所有,对于几乎所有 (若) .则满足Volterra方程 ,令,上式等价于, (2.2.9)这里 (2.2.10), (2.2.11) (若),且 (2.2.12)由假设(A1)(A3)及式(2.2.10)(2.2.12)可得 (2.2.13)以及. (2.2.14)在空间上定义等价范数:, 对于任意的. (其中为常数)定义算子:, .对于,有 .可得,对于,为到自身的压缩映射.根据压缩映像原理,在上存在唯一的不动点,即(2.2.9)有唯一解,所以系统(1)有唯一解.进一步，(2.2.9)的解可通过以下迭代步骤得到： ,.序列在上收敛到式(2.2.9)的解.由式(2.2.1