化归方法在高等数学中的应用.pdf

化归方法在高等数学中的运用 河北省唐县第一中学 于会 茹 摘要 本文分析了化归方法的思维结构 并结合高等数学的相关内容 探讨了化归方法在高等数学中的运用 对恒等变形化归方法 变量代换 化归方法 参数变易化归方法 构造模式化归方法给以举例说明 关键词 化归方法 所谓 化归 就是转化和归结 化归方法 就是通过变换 促使 转化 将复杂问题转化为较为简单的问题 将困难的问题转化为较为 容易的问题 将未知的问题转化为已知的问题 著名的数学家路莎 彼 得在 无穷的玩艺 中指出 数学家们往往不是对问题进行正面的攻 击 而是不断地将它变形 直到把它转变为能够得到解决的问题 化归方法的一般模式是 化归方法不仅是中学数学问题解决的方法 而且在高等数学中存在 着广泛应用 由于化归途径多种多样 因此应当采用且必须采取具体问 题具体分析的方法来解决 一 恒等变形化归方法 有些题目 相当繁杂 进行恒等变形后 则能化归为较为简单的 问题 待解决问题 A 容易解决的问题 B 问题 A 的解答 问题 B 的解答 转换 还原 例 1 已知 xx xx y sin3sin 2cossin 2 求 y 解 y xx xx sin3sin 2cossin 2 xx xx sin2cos2 2cossin 2 2 sin x 所以 y 2 cosx 恒等变形化归方法 在积分中有相当广泛的应用 在不定积分的直 接积分法中 实际上就是通过恒等变形 将不易求的积分化归成易求 的积分 例 2求 dx xx 3 cossin 1 解 由恒等变形 该积分可以转化为较为简单的两个积分 即 dx xx 3 cossin 1 dx xx xx 3 22 cossin cossin dx x x 3 cos sin dx x x 2 cos 1 cot xcos2 1 xd x tan tan 1 xcos2 1 xtanln C 转化是解题的重要环节 对此题表面上看是变得更复杂了 而实 际上对于积分是变得简单了 也就是说对所给对象适当改造加工往往 会使解答简捷 达到事半功倍的效果 二 变量代换化归方法 变量代换化归方法 几乎在微积分学的所有问题中都有广泛的应 用 极限计算中的等价无穷小代换 积分学中的第一类换元积分和第二 类换元积分法都是变量代换化归法 例 3 已知 xx xx x x y 2 2 ln 2 arctan 2 22 求 dx dy 解 令 x x u 2 2 则 1 1 ln 2 1 arctan u u uy 1ln1ln 2 1 arctan uuu 因为 dx dy dx du du dy 且 2 2 22 xx dx du dx dy 2 1 1 u 12 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 22 4 2 x xx u u uu 所以 dx dy dx du du dy 12 2 2 22 x xx 2 2 22 xx 1 2 2 2 x x 对于较复杂的不好直接应用求导公式和求导法的函数 在求导时 利用变量代换 将问题转化为可以直接求导的问题 正是求导中最常 用的转化方法 有时还需进行多次变量替换 多次化归才能解决问题 例4 求 2 1 0 arcsin lim t t t t 解 令 xttxsin arcsin I 2 1 0 arcsin lim t t t t 2 sin 1 0 sin lim x x x x x x x ex sin ln sin 1 2 lim 0 因为 0 x 时 1 sinsin ln sin 22 x x x x xx 故 x x x x sin ln sin 1 lim 2 0 2 0 1 sin lim x x x x 6 1 6 sin lim 3 cos1 lim sin lim 0 2 0 3 0 x x x x x xx xxx 所以 I 6 1 e 解法中引入新的变量 x 将幂指函数转化为以 e 为底的指数函数 实现了将生疏问题化归成比较熟悉的问题 以便充分利用我们已有的 知识和经验 类似的 利用变量代换法可以证明诸如下面定积分的等式或不等 式成立 dxxfdxxf 2 0 2 0 cossin d xxfd xxxf 0 2 2 0 sinsin dx xxdxxx m n n m 1 0 1 0 11 dx x x dx x x 2 0 2 2 0 2 1 cos 1 sin 0sin 2 0 2 dxx 答案留给读者作为练习 自己给出 三 参数变易化归方法 高等数学中的不少问题 乍一看 感到十分棘手 无从下手 仔细 一想 悟出技巧 柳暗花明 引进适当的参数 可使问题的表现形式或 解的结构 处于某种可变的状态之中 从而使问题迎刃而解 解一阶线 性微分方程的 常数变易法 求多元函数条件极值问题的 拉格朗 日乘数法 等 实际上就是这类化归方法的典型 下面的几个例子 将 使读者充分体会这种方法的奇特作用和效果 例 5 求三元函数 u 222 zyx 在方程 3 2 2 1 1 zy x 约束 下的最小值 解 引入参数 t 将对称式直线方程转化为参数式直线方程 即 tz ty tx 32 21 1 于是 u 222 zyx 6101432211 2 222 ttttt 这样就将三元函数的条件极值问题 转化为求以参数 t 为变量的 一元函数的极值问题 原问题也被大大简化了 例 6设 xf在 ba 上连续可导 0 bfaf 且 1 2 b a dxxf 证明 4 1 22 2 b a b a dxxfxdxxf 证明 引入参数 t 则 0 2 xtxfxf 若 0 2 xtxfxf 则 0 xtxfxf 利用常数变易法解得 2 2x t cexf 因为 0 bfaf 且0 2 2 x t e恒成立 所以 0 c 即 0 xf 与 1 2 b a dxxf 矛盾 所以 0 2 xtxfxf 于是 0 2 b a dxxtxfxf 即 0 2 2 222 b a b a b a dxxfdxxfxxftdxxfxt 因为参数 2 t 的系数 b a dxxfx0 22 否则 0 2 2 b a b a dxxfdxxfxxft 不恒成立 所以关于 t 的二次三项式的判别式必小于 0 即 2 2 22 b a b a b a dxxfxxfdxxfdxxfx 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 222 2 2 b a b a dxxf a b xxfxxdf 参数变易法在二重积分 三重积分 曲线积分与曲面积分中也有 十分成功的应用 例 7 求三重积分 dvxyxI 2 其中 由 2 1 2 1 22 zzyxz 围成 解 设 kzzyxzyxvk 0 2 22 则 3 3 2 0 5 3 2 0 2 2 23 2 0 2 0 2 33 2 cos cos 2 k k dr r krd dzrdrddvxkI k k r k vk 从而 dvxyxI 2 3 7 12 2 IIdvx 这里由简化性原则将原积分转化为 dvx2 进而又将区域 上的 积分视为 2 v与 1 v两积分之差 对于同类型积分 1 2 v dvx 与 2 2 v dvx 引 入参数 k 去归结为 kI 的一项计算 这里反映了统一和谐的原则 四 构造模式化归方法 闭区间上连续函数的零点定理的 构造性证明方法 微分中值 定理证明中构造的辅助函数 求二阶常系数齐次线性微分通解公式等 等 都是高等数学中构造化归法这种精彩的思维方法典型的例子 构 造化归方法的神奇作用是其他化归方法所不能取代的 为了说明这一 点 以下举几个例子 例 8证明不等式 e e 证明 由 lnlnee ee e 要证 lnee ee 只需证明 0ln e 一般化只需证明 xexxfln 在 e是增函数 且 0 ef 故构造辅助函数 xexxfln x e xf 1 当ex 时 0 xf 故当 ex 时 xexxfln 为单调递增函数 所以 fef 且 0ln eeeef 所以 0 f 即 0ln ef 所以 ee ee ln 此题先构造出辅助函数 xf 后由函数单调性的判别方法证明该 不等式 如果不能构造出这个辅助函数 不等式恐怕就很难证明了 例 9证明 极限0 lim n n n n 证明 记 n n n n a 构造正项级数 1n n a 由于 nn nn n n n n n n n n n n a a 1 1 1 1 1 1 1 1 n lim1 1 1 1lim 1 1 1 1 lim 1 e nn a a n n n n n n 根据正项级数的比值审敛法 知级数 1n n a收敛 再根据收敛的 必要条件即得 n n alim0 lim n n n n 通过构造级数求极限为我们提供了方便 但反之 有时我们也 将某些和式的极限计算转化为相应的定积分 再由牛顿 莱布尼兹公式 去求 这也是化难为易的途径 例 10 求 n n nnnn n 1221 1 lim 解 记 n A n nnnn n 1221 1 则 n A n n nn n n n n n n121 1 0 1ln 1 ln n k n n k n A 考虑到定积分的定义有 n n n Alimlnlim 1 0 1ln 1 n k n k n e dxx 4 ln12ln21ln 1 0 所以原极限为 e eeeA e A A n n n n nn 4 limlim 4 lnlnlim ln 数学中化归方法博大精深且源远流长 从认识论的角度看 化归思 想方法使用联系 发展运动的观点来认识问题 从方法论的角度看 化归是使原问题归结为我们所熟悉的或者容易解决的问题 从化归思 想和化归方法的角度去理解高等数学的教材 有利